퍼지 구

비가환 기하학에서 퍼지 구(fuzzy球, 영어: fuzzy sphere)는 일반적인 구를 비가환 공간으로 일반화한 경우다. 3차원 각운동량 연산자로 생성된다.

정의

스핀이 $j$인 SU(2) 표현 $J_{i}$ ($i=1,2,3$)를 생각하자. 이들은 $(2j+1)\times (2j+1)$ 에르미트 행렬이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.

$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}$

여기서 $\epsilon _{ijk}$는 3차원 레비치비타 기호다.

다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자.

$\mathbf {J} ^{2}=J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)$

이제 다음과 같이 좌표 $\mathbf {x}$를 정의하자.

$x_{i}={\frac {J_{i}R}{\hbar {\sqrt {j(j+1)}}}}$

그렇다면

$\mathbf {x} ^{2}=R^{2}$

이 되므로, $\mathbf {x}$를 반지름이 $R$인 구의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 퍼지 구(영어: fuzzy sphere)라고 한다. 영어: fuzzy 퍼지^[*]는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다.

퍼지 구의 좌표들 $x_{i}$는 서로 가환하지 않는다.

$[x_{i},x_{j}]={\frac {R}{\sqrt {j(j+1)}}}i\epsilon _{ijk}x_{k}$

다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 $j\to \infty$을 취하면, $[x_{i},x_{j}]\to 0$이 되어 가환구로 수렴하게 된다.

퍼지 구 위의 미적분

퍼지 구 위의 함수는 $(2j+1)\times (2j+1)$ 에르미트 행렬이다. 이러한 함수 $F$의 미분은 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\mathbf {x} \times \nabla F=i{\frac {\sqrt {j(j+1)}}{R}}[\mathbf {x} ,F]$

이는 $F=x_{i}$를 대입하면 올바른 결과를 얻는 것을 알 수 있다. 이를 사용하여 라플라스 연산자도 유사하게 정의할 수 있다.

적분은 대각합에 비례하게 다음과 같이 정의한다.

$\int F={\frac {2\pi R^{2}}{\sqrt {j(j+1)}}}\operatorname {tr} (F)$

이렇게 하면, 상수함수 $F=I$ (단위행렬)을 대입해 퍼지 구의 겉넓이를 구할 수 있다.

$\int I={\frac {2\pi R^{2}}{\sqrt {j(j+1)}}}\operatorname {tr} (F)=4\pi R^{2}{\frac {j+1/2}{\sqrt {j(j+1)}}}$

따라서 고전적 극한 $j\to \infty$를 취하면 겉넓이가 가환구의 겉넓이 $4\pi R^{2}$로 수렴하는 것을 알 수 있다.

역사

존 마도어(영어: John Madore)가 1991년에 도입하였다.

각주

• Alekseev, A. Y.; A. Recknagel, V. Schomerus (1999). “Non-commutative worldvolume geometries: D-branes on SU(2) and fuzzy spheres”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 1999 (9): 23. arXiv:hep-th/9908040. Bibcode:1999JHEP...09..023A. doi:10.1088/1126-6708/1999/09/023. ISSN 1126-6708. 
• Douglas, Michael R.; Nikita A. Nekrasov (2001년 11월 29일). “Noncommutative field theory”. 《Reviews of Modern Physics》 (영어) 73 (4): 977–1029. arXiv:hep-th/0106048. Bibcode:2001RvMP...73..977D. doi:10.1103/RevModPhys.73.977. ISSN 0034-6861. 
• Jens, Hoppe (2002). “Membranes and matrix models” (영어). arXiv:hep-th/0206192. Bibcode:2002hep.th....6192H. 
• D’Andrea, Francesco; Fedele Lizzi, Joseph C. Várilly (2013년 2월). “Metric properties of the fuzzy sphere”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 103 (2): 183–205. arXiv:1209.0108. Bibcode:2013LMaPh.103..183D. doi:10.1007/s11005-012-0590-5. ISSN 0377-9017. MR 3010459. Zbl pre06137157. 
• Plazas, Jorge (2008). 〈Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds〉. 《An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005》 (영어). World Scientific. 419–445쪽. arXiv:math/0703849. Bibcode:2007math......3849P. ISBN 978-981-270-616-4. Zbl 1146.58007.