호프 대수

수학에서 호프 대수(영어: Hopf algebra)는 곱셈과 쌍대곱셈(comultiplication)이 정의되고, 두 구조가 앤티포드(영어: antipode)라는 연산을 통해 호환되는 결합 대수이다.

정의

R가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. R계수를 가진 호프 대수 H는 다음과 같은 구조를 갖춘다.

• (곱셈 영어: multiplication) $\nabla \colon H\otimes H\to H$
• (단위원 영어: unit) $\eta \colon R\to H$
• (쌍대곱셈 영어: comultiplication) $\Delta \colon H\to H\otimes H$
• (쌍대단위원 영어: counit) $\epsilon \colon H\to R$
• (앤티포드 영어: antipode) $S\colon H\to H$

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다. ($a,b,c\in H$, $r\in R$)

• $H$는 $R$에 대한 가군이고, $\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon ,S$ 모두 R-선형 변환이다.
• $(H,\nabla ,\eta )$는 결합법칙을 만족시키고, 단위원을 갖춘 대수다. 즉,
  • (결합법칙) $\nabla \circ (\operatorname {id} \otimes \nabla )=\nabla \circ (\nabla \otimes \operatorname {id} )$
  • (단위원의 존재) $\nabla \circ (\operatorname {id} \otimes \eta )=\nabla \circ (\eta \otimes \operatorname {id} )=\operatorname {id}$
• $(H,\Delta ,\epsilon )$은 쌍대결합법칙을 만족시키고, 쌍대단위원을 갖춘 쌍대대수다. 즉,
  • (쌍대결합법칙) $(\operatorname {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \operatorname {id} )\circ \Delta$
  • (쌍대단위원의 존재) $(\operatorname {id} \otimes \epsilon )\circ \Delta =(\epsilon \otimes \operatorname {id} )\circ \Delta =\operatorname {id}$
• 대수 구조와 쌍대대수 구조가 서로 호환돼, H는 이중대수(영어: bialgebra)를 이룬다. 즉,
  • (곱셈과 쌍대곱셈의 호환성) $\Delta \circ \nabla =(\nabla \otimes \nabla )\circ (\operatorname {id} \otimes \tau \otimes \operatorname {id} )\circ (\Delta \otimes \Delta )$. 여기서 $\tau \colon a\otimes b\to b\otimes a$이다.
  • (곱셈과 쌍대단위원의 호환성) $\epsilon \otimes \epsilon =\epsilon \circ \nabla$
  • (쌍대곱셈과 단위원의 호환성) $\eta \otimes \eta =\Delta \circ \eta$
  • (단위원과 쌍대단위원의 호환성) $\epsilon \circ \eta =\operatorname {id}$
• (앤티포드) $\nabla \circ (S\otimes \operatorname {id} )\circ \Delta =\eta \circ \epsilon =\nabla \circ (\operatorname {id} \otimes S)\circ \Delta$

마지막 공리는 다음과 같은 가환 그림(영어: commutative diagram)으로 나타낼 수 있다.

역사와 어원

하인츠 호프의 이름을 땄다.

예

	조건	쌍대곱	쌍대단위원	앤티포드
군대수 $R[G]$	$G$는 임의의 군	Δ(g) = g ⊗ g	ε(g) = 1	S(g) = g−1
텐서 대수 T(V)	V는 임의의 벡터 공간	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ V)	ε(x) = 0	S(x) = −x (x ∈ V)
보편 포락 대수 $U({\mathfrak {g}})$	${\mathfrak {g}}$는 리 대수	Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x (x ∈ ${\mathfrak {g}}$)	ε(x) = 0	S(x) = −x

응용

호프 대수의 개념은 이론물리학에서 특수한 대칭을 묘사하기 위하여 사용된다.

역사

호프 대수의 개념은 하인츠 호프가 1941년에 콤팩트 리 군의 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다.

같이 보기

• 양자군

외부 링크

• Onishchik, A.L. (2001). “Hopf algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Timothy Kohl. “Hopf algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.