황금비

황금비(黃金比, 영어: Golden Ratio) 또는 황금분할(黃金分割)은 어떤 두 수의 비율이 그 합과 두 수중 큰 수의 비율과 같도록 하는 비율로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 또한 수학적으로 $(a+b)/a=a/b{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\varphi$ 로 정의된다.

유클리드(원론 3, 141)가 그 특징을 연구한 이래로 많은 수학자들이 자연에서 찾을 수 있는 황금비율을 연구해 왔다.

정의

황금비는 어떠한 선으로 이등분하여 한쪽의 평방을 다른쪽 전체의 면적과 같도록 하는 분할이다. 즉, 선 AB위에 점 C가 있을 때 (AC)^2＝BC×AB 또는 AC：CB＝AB：AC가 되도록 분할하는 것이다. 이 비의 값은 ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ 로, 1.61803398....：1 또는 1：1.61803398...이 되는데 이것을 황금비라 한다.

(이 황금비는 이차방정식 $x^{2}-x-1$ 의 해와 같다)

황금비는 고대 그리스인에 의하여 발견되었고, 이후 유럽에서 가장 조화롭고 아름다운 비례(프로포션)로 간주되었다. 근대에 이르러 르 코르뷔지에는 황금비를 피보나치(Fibonacci) 수열의 원리에서 착안하여 인체비례와 결부시켜 '모듈(황금기준척)'을 고안했다. '섹숑 도르'(프랑스어: Section d'Or, 황금비율)라는 이름을 붙인 입체파의 화가그룹도 있다.

황금비 $\color {Blue}\varphi$ (phi)는 선분을 $a,b$ 길이로 둘로 나눌 때, 다음과 같은 값으로 정의

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi

이 때,

\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}+1\qquad \qquad (*)

가 성립하고,

황금비를 소수점 이하 50자리까지 나타내면 다음과 같다.

1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576

수학적 성질

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 수학 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다. 예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비는 황금비이다.

정십이면체에서 나오는 황금비율의 표현

정이십면체에서 표현되는 황금비의 표현

또한 오각형에서 황금비가 발견되는 만큼 오각형과 관련이 있는 도형은 황금비와도 관련이 있는 경우가 많다. 예를 들어, 각 면이 정오각형으로 이루어진 정십이면체와 정십이면체의 각 면의 무게중심을 꼭짓점으로 하는 정이십면체는, 모든 꼭짓점을 한 면에 평행한 평면에 정사영시켰을 때 나오는 도형에서 바깥쪽의 꼭짓점들을 지나는 원과 안쪽의 꼭짓점들을 지나는 원의 반지름의 비는 황금비이다. 입체도형의 정사영이 가지는 성질에 비추어 볼 때, 이는 정십이면체와 정이십면체를 눈으로 볼 때 황금비가 관찰되는 것으로 해석할 수 있다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 황금비이다.

황금비의 다른 표현

연분수로 표현한 황금비

\varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}=[1;1,1,1,\dots ]

다중근호로 표현한 황금비

${\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1...}}}}}}}}}}=\varphi$

반론

황금비가 오래전부터 널리 이용되어 왔으며, 자연속에서도 황금비가 자주 보인다는 주장에는 여러 반론이 있다. 먼저, 자연에는 무수한 비율이 존재하는데 우연히 얼마 안되는 황금비와 일치하는 경우를 가지고 과장하는 경우가 많다. 또한 알려진 유명 사례중에는 전혀 황금비가 아닌 경우가 많다. 유명한 그리스/로마 시대 조각이나 파르테논 신전과 같은 유명 고대 건축물, 이집트의 피라미드가 황금비를 기초로 만들어졌다는 것은 대표적으로 잘못 알려진 상식이다. 또한 자연물 중에 앵무조개와 같은 조개류의 껍데기에 황금비가 존재한다는 것도 마찬가지로 사실이 아니다.^[1] 그외에도 명함, 담배갑 , 신용카드와 같은 사각형 물체의 비율이나, HDTV, 와이드 모니터 등의 비율을 황금비의 근사치라 얘기하는 경우가 많지만, 실제로는 황금비와 차이가 많이 나기 때문에 황금비의 범주에 넣는 것은 무리가 있다. 이것들이 황금비의 근사치라는 주장에는 두 가지 문제점이 있다. 먼저 애초에 디자인하는 과정에서 황금비가 고려된적이 없는 경우가 대부분이다. 두번째로, 어느 정도의 오차 범위까지를 황금비의 속성을 가진 근사치로 볼 것인지 알 수 없다. 흔히 황금비의 속성이라 일컫는 조화로운 아름다움에 대한 수치적 근사 범위가 연구/결정되어 있지 않으므로, 알려진 황금비의 근사치들은 임의적이고 주관적이라고 보기도 한다

같이 보기

각주

↑ EBS 다큐프라임. 황금 비율의 비밀. 2014년 8월 방송분. 링크

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참고 문헌

이 문서에는 다음커뮤니케이션(현 카카오)에서 GFDL 또는 CC-SA 라이선스로 배포한 글로벌 세계대백과사전의 "황금분할" 항목을 기초로 작성된 글이 포함되어 있습니다.

외부 링크

위키미디어 공용에 황금비 관련 미디어 자료가 있습니다.
"Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

[1] EBS 다큐프라임. 황금 비율의 비밀. 2014년 8월 방송분. 링크

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