2차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.
기호
이름
무게
h
{\displaystyle h}
SU(2) R대칭 표현
페르미온 수
F
{\displaystyle F}
T
(
z
)
{\displaystyle T(z)}
에너지-운동량 텐서
2
1
0
G
a
(
z
)
{\displaystyle G^{a}(z)}
초전류
3/2
2
{\displaystyle \mathbf {2} }
+1
G
¯
a
¯
(
z
)
{\displaystyle {\bar {G}}^{\bar {a}}(z)}
초전류
3/2
2
¯
{\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}}
−1
J
i
(
z
)
{\displaystyle J^{i}(z)}
R대칭 보존류
1
3
=
s
u
(
2
)
{\displaystyle \mathbf {3} ={\mathfrak {su}}(2)}
0
k
{\displaystyle k}
중심 원소
0
1
0
위 표에서
G
a
{\displaystyle G^{a}}
를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며,
G
a
{\displaystyle G^{a}}
의 에르미트 수반은
G
¯
a
¯
{\displaystyle {\bar {G}}^{\bar {a}}}
이다.
중심 원소
k
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle k=0,1,2,3,\dots }
는 SU(2) 아핀 리 대수 의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하
c
{\displaystyle c}
는 다음과 같다.
c
=
6
k
=
0
,
6
,
12
,
18
,
…
{\displaystyle c=6k=0,6,12,18,\dots }
이들의 연산자 곱 전개 는 다음과 같다. 여기서
⋯
{\displaystyle \cdots }
는
z
→
0
{\displaystyle z\to 0}
에서 비특이항을 나타낸다.
T
(
z
)
T
(
0
)
=
3
k
z
−
4
+
2
z
−
2
T
(
0
)
+
z
−
1
∂
T
(
0
)
+
⋯
{\displaystyle T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots }
T
(
z
)
G
(
0
)
=
3
2
z
−
2
G
(
0
)
+
z
−
1
∂
G
(
0
)
+
⋯
{\displaystyle T(z)G(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots }
T
(
z
)
J
(
0
)
=
z
−
2
J
(
0
)
+
z
−
1
∂
J
(
0
)
+
⋯
{\displaystyle T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots }
J
i
(
z
)
J
j
(
0
)
=
1
2
k
z
−
2
δ
i
j
+
i
z
−
1
ϵ
i
j
k
J
k
+
⋯
{\displaystyle J^{i}(z)J^{j}(0)={\frac {1}{2}}kz^{-2}\delta ^{ij}+iz^{-1}\epsilon ^{ijk}J^{k}+\cdots }
J
i
(
z
)
G
a
(
0
)
=
−
1
2
σ
a
b
i
z
−
1
G
b
(
0
)
+
⋯
{\displaystyle J^{i}(z)G^{a}(0)=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}z^{-1}G^{b}(0)+\cdots }
G
a
(
z
)
G
¯
b
¯
(
0
)
=
4
k
δ
a
b
z
−
3
−
4
σ
a
b
¯
i
z
−
2
J
i
(
0
)
+
z
−
1
(
2
δ
a
b
T
(
z
)
−
2
σ
a
b
¯
i
∂
J
i
(
0
)
)
+
⋯
{\displaystyle G^{a}(z){\bar {G}}^{\bar {b}}(0)=4k\delta ^{ab}z^{-3}-4\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}z^{-2}J^{i}(0)+z^{-1}\left(2\delta ^{ab}T(z)-2\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}\partial J^{i}(0)\right)+\cdots }
이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.
T
(
z
)
=
∑
n
z
n
−
2
L
−
n
{\displaystyle T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}}
G
(
z
)
=
∑
r
∈
Z
+
η
z
r
−
3
/
2
G
−
r
{\displaystyle G(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} +\eta }z^{r-3/2}G_{-r}}
J
i
(
z
)
=
∑
n
z
n
−
1
J
−
n
i
{\displaystyle J^{i}(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}^{i}}
여기서 NS 경계 조건의 경우
η
=
0
{\displaystyle \eta =0}
이며 R 경계 조건의 경우
η
=
1
/
2
{\displaystyle \eta =1/2}
이다.
그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.[ 1]
[
L
m
,
L
n
]
=
(
m
−
n
)
L
m
+
n
+
1
2
k
(
m
3
−
m
)
δ
m
+
n
,
0
{\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{2}}k(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}
[
L
m
,
G
r
a
]
=
(
m
/
2
−
r
)
G
m
+
r
a
{\displaystyle [L_{m},G_{r}^{a}]=(m/2-r)G_{m+r}^{a}}
[
L
m
,
J
n
i
]
=
−
n
J
m
+
n
i
{\displaystyle [L_{m},J_{n}^{i}]=-nJ_{m+n}^{i}}
[
J
m
i
,
J
n
j
]
=
i
ϵ
i
j
k
J
m
+
n
k
+
1
2
m
k
δ
i
j
δ
m
+
n
,
0
{\displaystyle [J_{m}^{i},J_{n}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{m+n}^{k}+{\frac {1}{2}}mk\delta ^{ij}\delta _{m+n,0}}
[
J
m
i
,
G
r
a
]
=
−
1
2
σ
a
b
i
G
m
+
r
b
{\displaystyle [J_{m}^{i},G_{r}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{m+r}^{b}}
{
G
r
a
,
G
s
b
}
=
0
{\displaystyle \{G_{r}^{a},G_{s}^{b}\}=0}
{
G
r
a
,
G
¯
s
b
¯
}
=
2
δ
a
b
¯
L
r
+
s
−
2
(
r
−
s
)
σ
a
b
¯
i
J
r
+
s
i
+
1
2
k
(
4
r
2
−
1
)
δ
r
+
s
,
0
{\displaystyle \{G_{r}^{a},{\bar {G}}_{s}^{\bar {b}}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{r+s}-2(r-s)\sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{r+s}^{i}+{\frac {1}{2}}k(4r^{2}-1)\delta _{r+s,0}}
NS 대수에서,
L
±
1
{\displaystyle L_{\pm 1}}
,
L
0
{\displaystyle L_{0}}
,
G
±
1
/
2
a
{\displaystyle G_{\pm 1/2}^{a}}
,
G
¯
±
1
/
2
a
¯
{\displaystyle {\bar {G}}_{\pm 1/2}^{\bar {a}}}
,
J
0
i
{\displaystyle J_{0}^{i}}
는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다.
[
L
1
,
L
−
1
]
=
2
L
0
{\displaystyle [L_{1},L_{-1}]=2L_{0}}
[
L
±
1
,
L
0
]
=
±
L
0
{\displaystyle [L_{\pm 1},L_{0}]=\pm L_{0}}
[
G
±
12
a
,
L
0
]
=
±
1
2
G
±
12
a
{\displaystyle [G_{\pm 12}^{a},L_{0}]=\pm {\frac {1}{2}}G_{\pm 12}^{a}}
[
L
1
,
G
1
/
2
a
]
=
[
L
−
1
,
G
−
1
/
2
a
]
=
0
{\displaystyle [L_{1},G_{1/2}^{a}]=[L_{-1},G_{-1/2}^{a}]=0}
[
L
±
1
,
G
∓
1
/
2
a
]
=
±
G
±
1
/
2
a
{\displaystyle [L_{\pm 1},G_{\mp 1/2}^{a}]=\pm G_{\pm 1/2}^{a}}
[
J
0
i
,
L
0
]
=
[
J
0
i
,
L
±
1
]
=
0
{\displaystyle [J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0}
[
J
0
i
,
J
0
j
]
=
i
ϵ
i
j
k
J
0
k
{\displaystyle [J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}}
{
G
±
1
/
2
a
,
G
±
1
/
2
b
}
=
{
G
±
1
/
2
a
,
G
∓
1
/
2
b
}
=
0
{\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\pm 1/2}^{b}\}=\{G_{\pm 1/2}^{a},G_{\mp 1/2}^{b}\}=0}
{
G
±
1
/
2
a
,
G
¯
±
1
/
2
b
}
=
2
δ
a
b
¯
L
±
1
{\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\pm 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{\pm 1}}
{
G
±
1
/
2
a
,
G
¯
∓
1
/
2
b
}
=
2
δ
a
b
¯
L
0
∓
σ
a
b
¯
i
J
0
i
{\displaystyle \{G_{\pm 1/2}^{a},{\bar {G}}_{\mp 1/2}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}\mp \sigma _{a{\bar {b}}}^{i}J_{0}^{i}}
[
J
0
i
,
G
±
1
/
2
a
]
=
−
1
2
σ
a
b
i
G
±
1
/
2
b
{\displaystyle [J_{0}^{i},G_{\pm 1/2}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{\pm 1/2}^{b}}
마찬가지로, R 대수에서,
L
0
{\displaystyle L_{0}}
,
G
0
a
{\displaystyle G_{0}^{a}}
,
G
¯
0
a
¯
{\displaystyle {\bar {G}}_{0}^{\bar {a}}}
,
J
0
i
{\displaystyle J_{0}^{i}}
,
k
{\displaystyle k}
는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.
[
L
0
,
L
0
]
=
[
G
0
a
,
L
0
]
=
[
G
¯
0
a
¯
,
L
0
]
=
0
{\displaystyle [L_{0},L_{0}]=[G_{0}^{a},L_{0}]=[{\bar {G}}_{0}^{\bar {a}},L_{0}]=0}
[
J
0
i
,
L
0
]
=
[
J
0
i
,
L
±
1
]
=
0
{\displaystyle [J_{0}^{i},L_{0}]=[J_{0}^{i},L_{\pm 1}]=0}
[
J
0
i
,
J
0
j
]
=
i
ϵ
i
j
k
J
0
k
{\displaystyle [J_{0}^{i},J_{0}^{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{0}^{k}}
{
G
0
a
,
G
0
b
}
=
0
{\displaystyle \{G_{0}^{a},G_{0}^{b}\}=0}
{
G
0
a
,
G
¯
0
b
}
=
2
δ
a
b
¯
L
0
−
1
2
k
{\displaystyle \{G_{0}^{a},{\bar {G}}_{0}^{b}\}=2\delta ^{a{\bar {b}}}L_{0}-{\frac {1}{2}}k}
[
J
0
i
,
G
0
a
]
=
−
1
2
σ
a
b
i
G
0
b
{\displaystyle [J_{0}^{i},G_{0}^{a}]=-{\frac {1}{2}}\sigma _{ab}^{i}G_{0}^{b}}
2차원
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게
h
{\displaystyle h}
및 SU(2) 아이소스핀
l
=
0
,
1
/
2
,
1
,
…
{\displaystyle l=0,1/2,1,\dots }
에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현 (영어 : massive representation )과 무질량 표현 (영어 : massless representation )으로 나뉜다.[ 2]
NS 경계 조건
R 경계 조건
무질량 표현
h
=
k
/
4
{\displaystyle h=k/4}
,
0
≤
l
≤
k
/
2
{\displaystyle 0\leq l\leq k/2}
h
=
l
{\displaystyle h=l}
,
0
≤
l
≤
k
/
2
{\displaystyle 0\leq l\leq k/2}
유질량 표현
h
>
k
/
4
{\displaystyle h>k/4}
,
0
≤
l
≤
k
/
2
−
1
/
2
{\displaystyle 0\leq l\leq k/2-1/2}
h
>
l
{\displaystyle h>l}
,
1
/
2
≤
l
≤
k
/
2
{\displaystyle 1/2\leq l\leq k/2}
유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식 을 만족시킨다.
h
≥
k
/
4
(
NS
)
{\displaystyle h\geq k/4\qquad ({\text{NS}})}
h
≥
|
l
|
(
R
)
{\displaystyle h\geq |l|\qquad ({\text{R}})}
무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표 가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
초등각 장론에서는
N
=
2
{\displaystyle {\mathcal {N}}=2}
인 경우 와 달리
(
−
1
)
F
≠
(
−
1
)
J
0
{\displaystyle (-1)^{F}\neq (-1)^{J_{0}}}
이며, 따라서 분배 함수 에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭 의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하)
q
{\displaystyle q}
에 대한 퓨가시티
z
{\displaystyle z}
와 페르미온 수
F
{\displaystyle F}
에 대한 퓨가시티
y
{\displaystyle y}
를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.[ 2]
Z
(
q
,
z
,
y
)
=
∑
(
h
,
q
,
F
)
q
h
−
k
/
4
z
q
y
F
{\displaystyle Z(q,z,y)=\sum _{(h,q,F)}q^{h-k/4}z^{q}y^{F}}
이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
초등각 장론에 위상 뒤틂 을 가하여
N
=
4
{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}
위상 끈 이론 을 정의할 수 있다.[ 3]
Sevrin, A.; Troost, W.; Van Proeyen, A. (1988년 7월 21일). “Superconformal algebras in two dimensions with
N
=
4
{\displaystyle N=4}
”. 《Physics Letters B》 (영어) 208 (3–4): 447–450. Bibcode :1988PhLB..208..447S . doi :10.1016/0370-2693(88)90645-4 .
Schwimmer, Adam; Seiberg, Nathan (1987년 1월 29일). “Comments on the
N
=
2
,
3
,
4
{\displaystyle N=2,3,4}
superconformal algebras in two dimensions”. 《Physics Letters B》 (영어) 184 (2–3): 191–196. Bibcode :1987PhLB..184..191S . doi :10.1016/0370-2693(87)90566-1 .
Ooguri, Hirosi (1989년 10월 20일). “Superconformal symmetry and geometry of Ricci-flat Kähler manifolds” (PDF) . 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 4 (17): 4303. Bibcode :1989IJMPA...4.4303O . doi :10.1142/S0217751X89001801 . [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )]