2차원 𝒩=2 초등각 장론

양자장론에서, 2차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 장론(二次元${\mathcal {N}}=2$超等角場論, 영어: two-dimensional ${\mathcal {N}}=2$ superconformal theory)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=2 초등각 대수

2차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

기호	이름	무게 $h$	U(1) R대칭 전하 $q$
$T(z)$	에너지-운동량 텐서	2	0
$G^{\pm }(z)$	초전류	3/2	±½
$J(z)$	R대칭 보존류	1	0
$c$	중심 원소	0	0

통상적으로, ${\hat {c}}$를 다음과 같이 정의한다.

${\hat {c}}=c/3$

이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.^:(2.1) 여기서 $\cdots$는 $z\to 0$에서 비특이항을 뜻한다.

$T(z)T(0)={\frac {3}{2}}{\hat {c}}z^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots$

$T(z)G^{\pm }(0)={\frac {3}{2}}z^{-2}G^{\pm }(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots$

$T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots$

$J(z)J(0)={\hat {c}}z^{-2}+\cdots$

$J(z)G^{\pm }(0)=\pm z^{-1}G^{\pm }(0)+\cdots$

$G^{\pm }(z)G^{\pm }(0)=\cdots$

$G^{\pm }(z)G^{\mp }(0)={\hat {c}}z^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}\left(T(0)\pm {\frac {1}{2}}\partial J(0)\right)+\cdots$

모드 전개

${\mathcal {N}}=2$ 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.^:(2.2)

$T(z)=\sum _{n}z^{n-2}L_{-n}$

$G^{\pm }(z)=\sum _{r\in \mathbb {Z} \pm \eta }z^{r-3/2}G_{-r}^{\pm }$

$J(z)=\sum _{n}z^{n-1}J_{-n}$

여기서 NS 경계 조건의 경우 $\eta =0$이며 R 경계 조건의 경우 $\eta =1/2$이다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.^{:178, (5.14):(2.3):(1.1)}

c는 모든 원소와 가환

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {1}{4}}{\hat {c}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}$

$[L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}$

$[J_{m},J_{n}]={\hat {c}}m\delta _{m+n,0}$

$\{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_{r+s}+{\frac {1}{2}}(r-s)J_{r+s}+{\frac {1}{2}}{\hat {c}}(r^{2}-{1 \over 4})\delta _{r+s,0}$

$\{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}$

$[L_{m},G_{r}^{\pm }]=(m/2-r)G_{r+m}^{\pm }$

$[J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }$

대역적 대수

NS 대수에서, $L_{0}$, $L_{\pm 1}$, $J_{0}$, $G_{1/2}^{\pm }$, $G_{-1/2}^{\pm }$는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 ${\mathfrak {osp}}(2|2)$이다. 이 리 초대수의 보손 성분 ${\mathfrak {so}}(2)\oplus {\mathfrak {usp}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)\oplus {\mathfrak {so}}(3)$는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, $L_{0}$, $J_{0}$, $G_{0}^{\pm }$, $c$는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

$\{G_{0}^{+},G_{0}^{-}\}=L_{0}-c/24$

$[J_{0},G_{0}^{\pm }]=\pm G_{0}^{\pm }$

$[L_{0},G_{0}^{\pm }]=[L_{0},L_{0}]=[L_{0},J_{0}]=\{G_{0}^{\pm },G_{0}^{\pm }\}=[J_{0},J_{0}]=0$

이는 콤팩트 리만 다양체에서 $\Delta$, $d$, $d^{\dagger }$가 이루는 대수와 같다.

표현

베르마 가군

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 영어: superprimary field) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 $|\phi \rangle$은 다음 조건을 만족시킨다.

$L_{n}|\phi \rangle =G_{r}|\phi \rangle =0\qquad \forall n,r>0$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

$L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{k}}G_{-r_{1}}^{+}G_{-r_{2}}^{+}\cdots G_{-r_{p}}^{+}G_{-s_{1}}^{-}G_{-s_{2}}^{-}\cdots G_{-s_{q}}^{-}|\phi \rangle \qquad (0<n_{1}\leq n_{2}\leq \cdots \leq n_{k},\;0<r_{1}<r_{2}<\cdots <r_{p},\;0\leq s_{1}<\cdots <s_{q}$

여기서 $r_{i}<r_{i+1}$ 및 $s_{i}<s_{i+1}$인 것은

$(G_{r}^{+})^{2}+=(G_{s}^{-})^{2}=0$

이기 때문이다. 또한, $0<r_{1}$인 것은 라몽 대역 초등각 대수 $(G_{0}^{+},G_{0}^{-},L_{0},J_{0},c)$의 작용을 대각화시켜, 초1차장 $|h,q\rangle$에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.

$G_{0}^{+}|h,q\rangle =0$

유니터리 초1차장의 범위

$c=6$ ${\mathcal {N}}=2$ NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 $g_{r}^{\operatorname {NS} }=0$으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 $f_{1,2}^{\operatorname {NS} }=0$에 의하여 정의된다.

$c=6$ ${\mathcal {N}}=2$ R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 $g_{r}^{\operatorname {R} }=0$으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 $f_{1,2}^{\operatorname {R} }=0$에 의하여 정의된다.

다음과 같은 함수들을 정의하자.

$g_{r}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^{2}-1/4)\quad (r\in \mathbb {Z} +1/2)$

$g_{r}^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^{2}-1/4)-1/4\quad (r\in \mathbb {Z} )$

$f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^{2}+{\frac {1}{4}}(c/3+1)^{2}-{\frac {1}{4}}(c/3-1)^{2}$

$f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^{2}+{\frac {1}{4}}(c/3+1)^{2}$

$q_{k,l,m}^{\text{NS}}=-{\frac {m}{k+2}}$

$q_{k,l,m}^{\text{R}}=-{\frac {m}{k+2}}+{\frac {1}{2}}$

$h_{k,l,m}^{\text{NS}}={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}$

$h_{k,l,m}^{\text{R}}={\frac {l(l+2)-m^{2}}{4(k+2)}}+{\frac {1}{8}}$

$g_{r}=0$은 $(q,h)$ 반평면에 직선을 정의하며, $f_{1,2}=0$은 $(q,h)$ 반평면에 포물선을 정의한다.

그렇다면, ${\mathcal {N}}=2$ 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.

	$c$ 범위	NS 조건	R 조건
유질량 표현	$c\geq 3$	$\forall r\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\colon g_{r}^{\text{NS}}>0$	$\forall r\in \mathbb {Z} \colon g_{r}^{\text{R}}>0$
무질량 표현	$c\geq 3$	$f_{1,2}^{\operatorname {NS} }\geq 0,\;\exists r\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\colon g_{r}^{\text{NS}}=0,\;g_{r+\operatorname {sgn} r}\leq 0$	$f_{1,2}^{\operatorname {R} }\geq 0,\;\exists r\in \mathbb {Z} \colon g_{r}^{\text{R}}=0,\;g_{r+\operatorname {sgn} r}\leq 0$
최소 모형의 표현	$c=3k/(k+2)<3,\quad (k=1,2,\dots )$	$\exists l,m\colon (h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{NS}},q_{k,l,m}^{\text{NS}})$, $0\leq l\leq k$, $|m|\leq l$	$\exists l,m\colon (h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{R}},q_{k,l,m}^{\text{R}})$, $0\leq l\leq k$, $m\in [1-l,l-1]\cup \{l+1\}$

$c\geq 3$일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. $c<3$일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 ${\mathcal {N}}=2$ 최소 모형에 등장하는 것들이다.

특히, $G_{r}^{+}$에서 $r\in \mathbb {Z} +\epsilon$이라고 한다면,

$0\leq \langle h,q|G_{\epsilon }^{\pm }G_{-\epsilon }^{\mp }|h,q\rangle +\langle h,q|G_{-\epsilon }^{\mp }G_{+\epsilon }^{\pm }|h,q\rangle =\langle h,q|\{G_{\epsilon }^{\pm },G_{-\epsilon }^{\mp }\}|h,q\rangle =\langle h,q|(L_{0}\pm \epsilon J_{0}+c(\epsilon ^{2}-1/4)/6)|h,q\rangle =h\pm \epsilon q+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}$

이므로, 항상

$h+c{\frac {4\epsilon ^{2}-1}{24}}\geq |\epsilon q|$

가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는

$h\geq 2|q|$

이며 ($g_{\pm 1/2}^{\text{NS}}\geq 0$), R 경계 조건에서는

$h\geq c/24$

이다 ($g_{0}^{\text{R}}\geq 0$). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

$g_{r}=g_{r+\operatorname {sgn} r}=0$이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.

${\frac {q^{2}}{2(c/3-1)}}={\begin{cases}h&{\text{NS}}\\h-1/8&{\text{R}}\end{cases}}$

즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 $h\geq q^{2}/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}$에만 존재할 수 있다.

c=3인 경우

유니터리 표현의 분류는 $c=3$인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,

$g_{r}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)\quad (r\in \mathbb {Z} +1/2)$

$g_{r}^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4\quad (r\in \mathbb {Z} )$

$f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^{2}$

이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.

$|q|\leq 1$

$h={\begin{cases}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots &{\text{NS}}\\1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots &{\text{R}}\end{cases}}$

BPS 상태

NS 초1차장 가운데 만약

$q=\pm 2h$

인 상태 $|h,\pm 2h\rangle$가 있다면,

$G_{-1/2}^{\pm }|h,\pm 2h\rangle =0$

이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(영어: chiral field), − 부호일 경우 반손지기장(영어: antichiral field)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 $f_{1,2}^{\text{NS}}\geq 0$ 조건에 의하여

$2h=|q|\leq c/3$

이다.^:378

특별한 경우로, 진공 $h=q=0$일 경우에는

$L_{-1}|0,0\rangle =G_{-1/2}^{\pm }|0,0\rangle =0$

이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 $h=c/24$일 경우,

$G_{0}^{\pm }|c/24,q\rangle =0$

이 성립한다. 이는 $g_{0}^{\text{R}}=0$과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태(영어: Ramond ground state)라고 한다. 유니터리 라몽 초1차장의 경우 $f_{1,2}^{\text{R}}\geq 0$ 조건에 의하여

$|q|\leq c/6+1/2$

이다.

초공간

2차원 ${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초대칭은 초공간 $\mathbb {R} ^{2|4}$를 사용하여 나타낼 수 있다.^:271–276 이 경우, 보손 좌표 $\mathbb {R} ^{2}$는 복소평면 $\mathbb {C}$로 여겨, 복소수 좌표 $(z,{\bar {z}})$로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 $(\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\mp })$로 나타낼 수 있다. 이 때

$(\theta ^{\pm })^{*}={\bar {\theta }}^{\mp }$

이다. 이 경우, $\theta ^{\pm }$ 및 ${\bar {\theta }}^{\pm }$은 각각 스핀 $\pm 1/2$를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수

${\mathcal {C}}^{\omega }(\mathbb {C} )\otimes _{\mathbb {C} }\bigwedge (\mathbb {C} ^{2})$

의 층을 갖는 환 달린 공간이다.

일반적 초장은

$\Phi (z,{\bar {z}},\theta ^{\pm },{\bar {\theta }}^{\mp })=\phi (z,{\bar {z}})+\theta ^{+}f_{+}(z,{\bar {z}})+\theta ^{-}f_{-}(z,{\bar {z}})+{\bar {\theta }}^{+}g_{+}(z,{\bar {z}})+{\bar {\theta }}^{-}g_{-}(z,{\bar {z}})+\theta ^{+}\theta ^{-}h(z,{\bar {z}})$

와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 $D^{\pm }$, ${\bar {D}}^{\pm }$을 정의하면 손지기 초장(영어: chiral superfield)

${\bar {D}}_{\pm }\Phi =0$

및 반손지기 초장(영어: antichiral superfield

${\bar {D}}_{\pm }\Phi =0$

및 뒤틀린 손지기 초장(영어: twisted chiral superfield)

${\bar {D}}_{+}\Phi =D_{-}\Phi =0$

및 뒤틀린 반손지기 초장(영어: twisted antichiral superfield)

$D_{+}\Phi ={\bar {D}}_{-}\Phi =0$

이 존재한다. 이들은 ${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

성질

위상 뒤틀림

정칙 ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위에

$Q^{2}=(G_{-1/2}^{\pm })^{2}=0$

이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, $G_{-1/2}^{\pm }$를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은

$h=\pm q/2$

인 것들, 즉 ($Q=G_{-1/2}^{+}$인 경우) 손지기장 또는 ($Q=G_{-1/2}^{-}$인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(영어: chiral ring) 및 반손지기환(영어: antichiral ring)이라는 등급 가환환을 이룬다.

비정칙 ${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.^:403

$Q_{A}={\bar {G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}$

$Q_{B}={\bar {G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{+}$

이 경우, A-뒤틀림은

$(h,{\bar {h}})=(-q/2,{\bar {q}}/2)$

인 것들을 남기고 (ac환 영어: ac ring), B-뒤틀림은

$(h,{\bar {h}})=(q/2,{\bar {q}}/2)$

인 것들을 남긴다 (cc환 영어: cc ring). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기(영어: (anti)chiral)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

스펙트럼 흐름

${\mathcal {N}}=2$ NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름(영어: spectral flow)이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 $\eta \in \mathbb {R}$에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, $\eta =1/2$라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, $\eta =1$이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.^{:186, (5.35)}

$h\mapsto h-\eta q+c\eta ^{2}/6$

$q\mapsto q-c\eta /3$

스펙트럼 흐름 아래

$h-{\frac {3}{2c}}q^{2}$

는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.

${\binom {\sqrt {2ch/3}}{q}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}{\binom {\sqrt {2ch/3}}{q}}$

여기서

${\sqrt {2ch/3}}\,d\theta ={\frac {c}{3}}\,d\eta$

이므로,

$\eta ={\sqrt {6h/c}}(\sinh \theta )+{\frac {3q}{c}}(\cosh \theta -1)$

이다.

이에 따라, $\eta =1/2$일 때 손지기장 $h=q/2$은 $(h',q')=(c/24,q-c/6)$인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, $\eta =1$인 경우, 손지기장 $h=q/2$는 반손지기장 $(h',q')=(c/6-q/2,q-c/3)$으로 대응된다.

$\eta =-1$	$\eta =-1/2$	$\eta =0$	$\eta =1/2$	$\eta =1$
		손지기장 $(h,q)=(h,2h)$	라몽 바닥 상태 $(h,q)=(c/24,2h-c/6)$	반손지기장 $(h,q)=(c/6-h,2h-c/3)$
	손지기장 $(h,q)=(c/12+q/2,c/6+q)$	라몽 바닥 상태 $(h,q)=(c/24,q)$	반손지기장 $(h,q)=(c/12-q/2,q-c/6)$
손지기장 $(h,q)=(c/6-h,c/3-2h)$	라몽 바닥 상태 $(h,q)=(c/24,-2h+c/6)$	반손지기장 $(h,q)=(h,-2h)$

모듈러 불변성

${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티

$y=\exp(2\pi iz)$

${\bar {y}}=\exp(-2\pi i{\bar {z}})$

$q=\exp(2\pi i\tau )$

${\bar {q}}=\exp(-2\pi i{\bar {\tau }})$

를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.

$Z(q,{\bar {q}},y,{\bar {y}})=\operatorname {tr} _{\operatorname {NS} }\left(q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-c/24}y^{J_{0}}{\bar {y}}^{{\bar {J}}_{0}}\right)=\sum _{(h,{\bar {h}},q,{\bar {q}})}q^{h-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {h}}-c/24}y^{j}{\bar {y}}^{\bar {j}}$

이는 모듈러 군의 S변환

$S\colon (\tau ,z)\mapsto (\tau ',z')=(-1/\tau ,z/\tau )$

아래 다음과 같이 변환한다.

$Z(\tau ,z)=\exp(-\pi icz^{2}/3\tau )\exp(\pi ic{\bar {z}}^{2}/3{\bar {\tau }})Z(\tau ',z')$

즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 $(-1)^{F}=\exp(i\pi (J_{0}-{\bar {J}}_{0}))$를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, 영어: elliptic genus)를 정의할 수 있다.^:(2.1)

$Z(\tau ,z)=\operatorname {tr} _{\operatorname {R} }\left((-1)^{F}q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-c/24}y^{J_{0}}\right)$

이는 위튼 지표의 일반화이며, $\tau$ 및 $z$에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.^{:(2.4), (2.5), (2.6)}

$Z(\tau ,z)=Z(\tau ,-z)=Z(\tau +1,z)$

$Z(\tau ,z)=\exp(-\pi icz^{2}/3\tau )Z(-1/\tau ,z/\tau )$

따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 ${\hat {c}}/2$의 약한 야코비 형식을 이룬다.

예

자유 이론

2차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 $c=3$을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.

경계 조건	장	무게 $h$	R대칭 전하 $q$	설명
	1	0	1	진공
NS	$Q^{+}=\psi ^{+}\partial \phi ^{*}$	3/2	+1	초전류
NS	$Q^{-}=\psi ^{-}\partial \phi$	3/2	−1	반초전류
NS	$J=\psi ^{+}\psi ^{-}$	1	0	R대칭 보존류
NS	$\psi ^{+}$	½	+1	페르미온
NS	$\partial \phi =G_{-1/2}^{-}\partial \psi ^{+}$	1	0	보손
NS	$\psi ^{-}$	½	−1	반페르미온
NS	$\partial \phi ^{*}=G_{-1/2}^{+}\partial \psi ^{-}$	1	0	반보손
R	$U_{1/2}1=U_{-1/2}\psi ^{-}$	⅛	−½	라몽 바닥 상태
R	$U_{1/2}\psi ^{+}=U_{-1/2}1$	⅛	½	라몽 바닥 상태

이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 $\psi ^{+}$과 하나의 반손지기 초1차장 $\psi ^{-}$를 갖는다. 즉, 손지기환은 $\mathbb {Z} /(2)$와 동형이다.

이들로부터 정의되는 ${\mathcal {N}}=2$ 대수는 구체적으로 다음과 같다.^:240 복소수 보손 $\phi$의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 $a_{n}$, $b_{n}$이라고 하고, 복소수 페르미온 $\psi$의 모드 전개를 $e_{r}$라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

$\displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}$

$\displaystyle {\{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.}$

그렇다면 다음과 같이 ${\hat {c}}=1$ ${\mathcal {N}}=2$ 초등각 대수를 구성할 수 있다.

$L_{n}=\sum _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\sum _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\sum _{r}(r+{n \over 2}):e_{r}^{*}e_{n+r}:$

$J_{n}=\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:$

$G_{r}^{+}=\sum (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m}$

$G_{r}^{-}=\sum (a_{r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}$

최소 모형

 이 부분의 본문은 최소 모형 (등각 장론)입니다.

${\hat {c}}<1$인 일련의 ${\mathcal {N}}=2$ 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 ${\mathcal {N}}=2$ 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.

잉여류 모형

단순 리 군 $G$ 및 닫힌 부분군 $H\leq G$가 주어졌으며, $\operatorname {rank} G=\operatorname {rank} H$이며, $H$의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 $G/H$는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형(영어: Kazama–Suzuki model)이라는 ${\mathcal {N}}=2$ 등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치(일본어: 風間 洋一)와 스즈키 히사오(일본어: 鈴木 久男)가 도입하였다.

시그마 모형

복소수 $d$차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 ${\hat {c}}=c/3=d$인 ${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

• 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
• ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
• ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.

타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 ($d\leq 3$)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.

응용

${\mathcal {N}}=2$ 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 ${\mathcal {N}}=1$ 진공해를 얻기 위하여 사용된다.^:191–192

역사

1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다. 그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.

같이 보기

• 2차원 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 2차원 𝒩=4 초등각 장론
• 끈 이론
• 초대칭
• 최소 모형 (등각 장론)
• 야코비 형식

외부 링크

• “2d SCFT”. 《nLab》 (영어). 
• “2d (2,0)-superconformal QFT”. 《nLab》 (영어). 
• “Gepner model”. 《nLab》 (영어).