사다리 연산자

양자역학에서 사다리 연산자(영어: ladder operator)는 어떤 연산자의 한 고유벡터를 다른 고유벡터로 바꾸는 연산자다. 고윳값을 증가시키는 올림 연산자(영어: raising operator)와 감소시키는 내림 연산자(영어: lowering operator)가 있다. 이를 써서 주어진 연산자의 한 고유벡터로부터 다른 모든 고유벡터를 찾는다.

정의

주어진 에르미트 연산자 $N$ 에 대하여, 연산자 $X$ 가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$ 를 $N$ 의 사다리 연산자라고 한다.

[N,X]=cX

여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.

{\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}

즉,

X|n\rangle \sim |n+c\rangle

이다. c 가 양수인 경우 $X$ 는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$ 를 올림 연산자, c가 음수인 경우 $X$ 는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$ 를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$ 의 에르미트 수반 연산자 $X^{\dagger }$ 또한 사다리 연산자이며

[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }

고유벡터의 고유값을 $X$ 의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, $N$ 의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, $c<0$ 이며 $N$ 의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 $|n_{\text{max}}\rangle$ 가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 $X$ 를 사용하여

|n\rangle ,X|n\rangle ,X^{2}|n\rangle ,\cdots

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자 $X^{\dagger }$ 를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

예

양자 조화 진동자

사다리 연산자의 가장 단순한 예는 정준 교환 관계

[x,p]=i

의 표현이다. 이는 하이젠베르크 군의 리 대수에 해당한다. 이 경우, 소멸 연산자 $a$ 와 생성 연산자 $a^{\dagger }$ 및 입자수 연산자 $N$ 을 다음과 같이 정의하자.

a=(x+ip)/{\sqrt {2}}

a^{\dagger }=(x-ip)/{\sqrt {2}}

N=a^{\dagger }a

여기서 $N$ 은 (질량과 각진동수를 1로 놓은) 양자 조화 진동자의 진동 모드 수이며, $x$ 와 $p$ 는 그 위치 및 운동량이다. 그렇다면

[N,a]=-a

[H,a^{\dagger }]=a^{\dagger }

[a,a^{\dagger }]=1

이다. 따라서, $N$ 의 고유벡터 $|n\rangle$ 이 주어지면

a^{\dagger }|n\rangle \propto |n+1\rangle

a|n\rangle \propto |n-1\rangle

N|n\rangle =n|n\rangle

이 된다. 즉, 바닥 상태 $|0\rangle$ 으로부터 생성 연산자를 가해, 하이젠베르크 군의 표현을 지을 수 있다.

{\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|0\rangle ,a^{\dagger }|0\rangle ,(a^{\dagger })^{2}|0\rangle ,\dots \right\}

각운동량

양자역학에서, 각운동량의 이론은 회전군 SO(3) 또는 Spin(3)=SU(2)의 군 표현론에 의하여 결정된다. 이 경우, 각운동량 연산자 $J_{1},J_{2},J_{3}$ 은 SU(2)의 리 대수

[J_{i},J_{j}]=i\epsilon ^{ijk}J_{k}

를 따른다. 이 경우, 다음과 같은 사다리 연산자를 정의한다.

J_{+}=J_{1}+iJ_{2}

,

J_{-}=J_{1}-iJ_{2}=(J_{+})^{\dagger }

그렇다면 이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

[J_{3},J_{\pm }]=\pm J_{\pm }

따라서, 상태들을 $J_{3}$ 의 고유상태 $|m\rangle$ 로 나타내면,

J_{\pm }|m\rangle \propto |m\pm 1\rangle

이 된다. 최고 스핀 상태 $|l\rangle$ 는 $J_{+}$ 로 상쇄되는 상태이다.

J_{+}|l\rangle =0

그렇다면 최고 스핀 상태로부터 시작하여, 내림 연산자를 가해 SU(2)의 표현을 지을 수 있다.

{\mathcal {H}}=\operatorname {Span} \left\{|l\rangle ,J_{-}^{\dagger }|0\rangle ,(J_{-})^{2}|0\rangle ,\dots \right\}

SU(2)의 표현이 유한하며 모든 상태가 양의 노름을 가지려면, $l$ 은 정수 또는 반정수이며, 또한

(J_{-})^{2l+1}|l\rangle =0

이 되어야 한다. 즉, SU(2)의 유한 차원 유니터리 표현은 최대 각운동량 $2l\in \mathbb {N}$ 에 의해 결정되며, 그 차원은 $2l+1$ 이다.

단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다.^[1] 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(영어: highest-weight state)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

등각 대수

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }

[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }

[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }

[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })

[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })

[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })

따라서, $-iD$ 에 대하여,

[-iD,K_{\mu }]=-K_{\mu }

[-iD,P_{\nu }]=P_{\mu }

이므로, 특수 등각 변환 $K$ 는 내림 연산자, 운동량 $P$ 는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(영어: radial quantization)의 경우 $D$ 가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. $K$ 에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(영어: primary state)라고 하며, 이는 $D$ 와 $M_{\mu \nu }$ 에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 $P$ 를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(영어: secondary state)라고 한다.