기하학 에서 CAT(κ ) 공간 (-空間, 영어 : CAT(κ ) space )은 단면 곡률 이 어디서나
κ
{\displaystyle \kappa }
거리 공간 이다.
임의의 실수
κ
∈
R
{\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} }
Σ
κ
{\displaystyle \Sigma _{\kappa }}
단면 곡률 이
κ
{\displaystyle \kappa }
연결 단일 연결 공간 형식 이라고 하자. 즉,
κ
>
0
{\displaystyle \kappa >0}
구 ,
κ
=
0
{\displaystyle \kappa =0}
유클리드 평면 ,
κ
<
0
{\displaystyle \kappa <0}
쌍곡 평면 이다. 이 공간 형식의 지름 은 다음과 같다.
diam
Σ
κ
=
{
π
/
κ
κ
>
0
∞
κ
≤
0
{\displaystyle \operatorname {diam} \Sigma _{\kappa }={\begin{cases}\pi /{\sqrt {\kappa }}&\kappa >0\\\infty &\kappa \leq 0\end{cases}}}
측지선 거리 공간 (영어 : geodesic metric space )
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
길이 거리 공간 이다.
임의의 두 점
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
측지선
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}
γ
(
0
)
=
x
{\displaystyle \gamma (0)=x}
γ
(
1
)
=
y
{\displaystyle \gamma (1)=y}
d
(
γ
(
s
)
,
γ
(
t
)
)
=
|
t
−
s
|
(
s
,
t
∈
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle d(\gamma (s),\gamma (t))=|t-s|\qquad (s,t\in [0,1])}
두 점
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
γ
x
y
:
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle \gamma _{xy}\colon [0,1]\to X}
측지선 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
x
′
,
y
′
,
z
′
∈
Σ
κ
{\displaystyle x',y',z'\in \Sigma _{\kappa }}
△
x
y
z
{\displaystyle \triangle xyz}
CAT
(
κ
)
{\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle d(x,y)=d(x',y')}
d
(
y
,
z
)
=
d
(
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle d(y,z)=d(y',z')}
d
(
z
,
x
)
=
d
(
z
′
,
x
′
)
{\displaystyle d(z,x)=d(z',x')}
△
x
y
z
{\displaystyle \triangle xyz}
△
x
′
y
′
z
′
{\displaystyle \triangle x'y'z'}
임의의
s
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle s,t\in [0,1]}
d
(
γ
x
y
(
s
)
,
γ
y
z
(
t
)
)
≤
d
(
γ
x
′
y
′
(
s
)
,
γ
y
′
z
′
(
t
)
)
{\displaystyle d(\gamma _{xy}(s),\gamma _{yz}(t))\leq d(\gamma _{x'y'}(s),\gamma _{y'z'}(t))}
임의의
s
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle s,t\in [0,1]}
d
(
γ
y
z
(
s
)
,
γ
z
x
(
t
)
)
≤
d
(
γ
y
′
z
′
(
s
)
,
γ
z
′
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle d(\gamma _{yz}(s),\gamma _{zx}(t))\leq d(\gamma _{y'z'}(s),\gamma _{z'x'}(t))}
임의의
s
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle s,t\in [0,1]}
d
(
γ
z
x
(
s
)
,
γ
x
y
(
t
)
)
≤
d
(
γ
z
′
x
′
(
s
)
,
γ
x
′
y
′
(
t
)
)
{\displaystyle d(\gamma _{zx}(s),\gamma _{xy}(t))\leq d(\gamma _{z'x'}(s),\gamma _{x'y'}(t))}
측지선 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
x
,
y
,
z
∈
X
{\displaystyle x,y,z\in X}
CAT
(
κ
)
{\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
CAT
(
κ
)
{\displaystyle \operatorname {CAT} (\kappa )}
완비
CAT
(
0
)
{\displaystyle \operatorname {CAT} (0)}
아다마르 공간 (영어 : Hadamard space )이라고 한다.
CAT(κ ) 공간의 개념은 알렉산드르 알렉산드로프 가 도입하였다. 알렉산드로프는 이를 원래 "
R
κ
{\displaystyle {\mathfrak {R}}_{\kappa }}
미하일 그로모프 가 1987년의 유명한 논문에서 "CAT(κ ) 공간"이라는 용어를 도입하였다. 이름에서 "CAT"는 앙리 카르탕 (Cartan) · 알렉산드르 알렉산드로프(Александров) · 빅토르 안드레예비치 토포고노프 (Топоногов)의 머릿글자를 딴 것이다.
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ca01f43292d9201ba7b9d04bfff1dc493670d8)
![{\displaystyle d(\gamma (s),\gamma (t))=|t-s|\qquad (s,t\in [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7397aabfffab1443b8258bb64c6532ef3e82fa0d)
![{\displaystyle \gamma _{xy}\colon [0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03bd5d1142e1ef0f748ae50b40b19e8e543c4e2d)
![{\displaystyle s,t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6a49122ac9606d199707bb728ce4677de81204)
