가우스 합성

이차 형식 이론에서, 가우스 합성(Gauß合成, 영어: Gauss composition)은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.

정의

이차 형식

가환환 $R$ 위의 2차 자유 가군 $R^{2}$ 위의 두 이차 형식

$Q,Q'\colon R^{2}\to R$

이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 동치라고 하자.

$Q\sim Q'\iff \exists M\in \operatorname {GL} (2;R),r\in R^{\times }=\operatorname {GL} (1;R)\colon rQ(M(-))=Q'$

이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차 $R$-자유 가군 $L$의 값을 갖는 함수

$Q\colon V\to L$

로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은

$Q\in \operatorname {Sym} _{R}^{2}V^{*}\otimes _{R}L=L\otimes _{R}{\frac {V^{*}\otimes _{R}V^{*}}{(u\otimes _{R}v-v\otimes _{R}u)_{u,v\in V^{*}}}}$

이다.

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 계수 2의 ${\mathcal {O}}_{X}$-국소 자유 가군층 $V$ 및 ${\mathcal {O}}_{X}$-가역 가군층 $L$이 주어졌을 때, $V$ 위의 $L$ 값의 이차 형식

$Q\in \Gamma (X;\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L)$

은 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층 $\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L$의 단면이다.

판별식

만약 $R$가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군 $R^{2}$ 위의 이차 형식

$Q\colon R^{2}\to R$

$Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$

의 판별식은 $\operatorname {Disc} (Q)=b^{2}-4ac$이다.

보다 일반적으로, 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의, 2차 ${\mathcal {O}}_{X}$-국소 자유 가군층 ${\mathcal {M}}$ 위의, ${\mathcal {O}}_{X}$-가역층 ${\mathcal {L}}$ 값의 이차 형식

$Q\in \Gamma (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(M^{*})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}})$

의 판별식 $\operatorname {Disc} (Q)$는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은 ${\mathcal {O}}_{X}$-가역층의 대역적 단면을 이룬다.

$\operatorname {Disc} (Q)\in \Gamma \left(X;\left(\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(M^{*})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}\right)^{\otimes 2}\right)$

이차 대수

가환환 $R$ 위의 이차 대수(영어: quadratic algebra) $R\to A$는 다음과 같은 가환 $R$-결합 대수이다.

• 임의의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R$에 대하여 $A\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}$는 2차 $R_{\mathfrak {p}}$-자유 가군이다. (즉, $A$는 계수 2의 $R$-평탄 가군이다.)

$R$ 위의 이차 대수 $A$ 위의 가군 $M$이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각합 가능 가군(영어: traceable module)이라고 한다.

• $M$은 $R$ 위의 계수 2의 평탄 가군이다.
• 임의의 원소 $a\in A$에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

  $\operatorname {tr} _{A/R}\colon A\to R$

  $\operatorname {tr} _{A/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{R}(a\cdot \colon A\to A)$

  $\operatorname {tr} _{M/R}\colon A\to R$

  $\operatorname {tr} _{M/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{R}(a\cdot \colon M\to M)$

보다 일반적으로, 임의의 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 이차 대수층은 ${\mathcal {O}}_{X}$-가환 대수층 가운데 2차 ${\mathcal {O}}_{X}$-국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층 ${\mathcal {A}}$ 위의 대각합 가능 가군층 ${\mathcal {M}}$은 ${\mathcal {A}}$-가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.

• ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$의 단면 $a\in \Gamma (U;{\mathcal {A}})$에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.

  $\operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {A}})\to \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})$

  $\operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}(a\cdot \colon A\to A)$

  $\operatorname {tr} _{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon A\to R$

  $\operatorname {tr} _{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}(a\cdot \colon M\to M)$

두 $A$-가군 $M,M'$이 주어졌을 때, 텐서곱 $M\otimes _{A}M'$을 정의할 수 있으므로, $A$-가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다. $A$-가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.

판별식

스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 이차 대수층 ${\mathcal {A}}$ 위의 대각합 가능 가군층 ${\mathcal {M}}$의 판별식은 대각합 사상

$\operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {O}}_{X}$

의 행렬식

$\operatorname {Disc} ({\mathcal {A}},{\mathcal {M}})=\det \left(\operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\right)\in \Gamma \left(X;\left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}\right)$

이다. 이는 ${\mathcal {O}}_{X}$-가역층 $\textstyle \left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}$의 대역적 단면이다.

가우스 합성

임의의 가환환 $R$ 및 그 위의 2차 자유 가군 $V=R^{2}$에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• $V$ 위의 이차 형식들 $Q\colon V\to L$의 동치류들의 집합
• $R$ 위의 이차 대수 $A$와 그 위의 대각합 가능 가군 $M$들의 동치류들의 집합

구체적으로, $(A,M)$이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운 $R$-가군 준동형을 생각하자.

$(A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)$

$(a+R)\otimes _{R}(m\wedge _{R}m')\mapsto (am)\otimes _{R}m'-m\otimes _{R}(am')$

이는 $R$-가군

$\left((A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{*}\otimes _{R}\operatorname {Sym} ^{2}(M;R)$

의 원소를 정의하며, 이는 $M^{*}$ 위에 정의된,

$L=\left((A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{*}$

값의 이차 형식을 이룬다.

또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식 $Q$가 원시 이차 형식(영어: primitive quadratic form)인 것은 $M$이 $A$-가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 가우스 합성이라고 한다.

예

정수환의 경우

$\mathbb {Z}$ 위의 이차 형식의 $\operatorname {GL} (2;\mathbb {Z} )\times \operatorname {GL} (1;\mathbb {Z} )$-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.

• 2차 $\mathbb {Z}$-환 $A_{D}$. 이는 그 판별식 $D\in 4\mathbb {Z} +\{0,1\}$으로부터 다음과 같이 결정된다.

  $A_{D}={\begin{cases}\mathbb {Z} [t]/(t^{2})&D=0\\\mathbb {Z} \cdot (1,1)+{\sqrt {D}}(\mathbb {Z} ^{2})&{\sqrt {D}}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {D+{\sqrt {D}}}{2}}\right]&{\sqrt {D}}\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}$

• $A$-가군 $M$ 가운데 아벨 군으로서 $\mathbb {Z} ^{2}$이며, $\operatorname {tr} _{A/\mathbb {Z} }\colon A\to \mathbb {Z}$가 $\operatorname {tr} _{M/\mathbb {Z} }\colon A\to \mathbb {Z}$가 같은 것 (둘째 조건은 $M$이 $A$-아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).

특히, $D\neq 0$일 때, $M$은 항상 $A_{D}$의 아이디얼과 동형이다. 그러나 $D=0$일 경우 일반적으로 $M$은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우 $A_{0}=\mathbb {Z} [t]/(t^{2})$이며 $M=\mathbb {Z} x\oplus \mathbb {Z} y$, $tx=ty=0_{M}$이다.

$\mathbb {Z}$ 위의 이차 형식의 $\operatorname {GL} (2;\mathbb {Z} )$-동치류를 분류하려면, $(A,M)$ 및 $M$의 방향 $\epsilon \in \{\pm 1\}$을 사용하여야 한다.

정역의 경우

가환환 $R$가 정역일 때, $R$ 계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수 $A$ 및 $A$-가군 $M$에 대하여, $M$은 항상 $A$의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.

역사

카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다. 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수 및 스킴 계수의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.

같이 보기

• 페르마 두 제곱수 정리
• 르장드르 기호

각주

• Wood, Melanie Eggers Matchett (2009년 6월). 《Moduli spaces for rings and ideals》 (PDF) (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 만줄 바르가바). 프린스턴 대학교. 
• Bhargava, Manjul (2004). “Higher composition laws I: a new view on Gauss composition, and quadratic generalizations” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (영어) 159 (1): 217–250. 
• Bhargava, Manjul (2004). “Higher composition laws II: on cubic analogues of Gauss composition”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 159 (2): 865–886. 
• Bhargava, Manjul (2004). “Higher composition laws III: the parametrization of quartic rings”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 159 (3): 1329–1360. 
• Beintema, Mark; Khosravani, Azar (2009). “The origins of the genus concept in quadratic forms” (PDF). 《The Montana Mathematics Enthusiast》 (영어) 6 (1–2): 137–150. ISSN 1551-3440. 2015년 5월 28일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 29일에 확인함. 
• Belabas, Karim (2004년 6월). “Paramétrisation de structures algébriques et densité de discriminants (d’après M. Bhargava)”. 《Séminaire Bourbaki》 (프랑스어) 46: 267–300. ISSN 0303-1179. MR 2167210. Zbl 1090.11066. 

외부 링크

• “Binary quadratic form”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Gowers, Timothy (2014년 8월 15일). “ICM2014 — Bhargava laudatio”. 《Gowers’s Weblog》 (영어).