꼬임 없는 가군

환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 $r\in R$ 및 $m\in M$ 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" $rm\neq 0$ 인 가군 $_{R}M$ 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 $r\in R$ 및 $m\in M$ 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" $r^{-1}m$ 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 $_{R}M$ 이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환 $R$ 및 왼쪽 가군 $M$ 에서, 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여 만약 $rs=0$ 이라면, 당연히 $r(sM)=0$ 이다. 따라서, 임의의 $m\in M$ 에 대하여 $rm\neq 0$ 일 필요 조건은 $m\not \in sM$ 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, $M$ 을 꼬임 없는 가군이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환 $R$ 및 왼쪽 가군 $M$ 에서, 임의의 $s,r\in R$ 에 대하여 $sr=0$ 이라고 하자. 그렇다면 $s(rM)=0$ 이므로, 임의의 $m\in M$ 에 대하여 $r^{-1}m$ 이 존재할 필요 조건은 $sm=0$ 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, $M$ 을 나눗셈 가군이라고 한다.

정의

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(영어: divisible left module)이라고 한다.

임의의 $r\in R$ 및 $m\in M$ 에 대하여, $\operatorname {Ann} (_{R}r)m=0$ 이라면, $m\in rM$ 이다.^[1]^:§1^[2]^{:70, Definition 3.16}
임의의 $r\in R$ 에 대하여, $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/Rr,M)=0$ 이다.^[1]^{:Proposition 1′}

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_{R}M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(영어: torsion-free left module)이라고 한다.

임의의 $r\in R$ 및 $m\in M$ 에 대하여, $m\not \in \operatorname {Ann} (r_{R})M$ 이라면, $rm\neq 0$ 이다.^[1]^:§1^[3]^{:83, §2.8}
임의의 $r\in R$ 에 대하여, $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/rR,M)=0$ 이다.^[1]^{:Proposition 1}
임의의 $r\in R$ 에 대하여, 자연스러운 군 준동형 $rR\otimes _{R}M\to rM$ 은 아벨 군의 동형이다.^[3]^{:83, Proposition 2.8.4}

여기서

\operatorname {Ann} (_{R}r)=\{s\in R\colon sr=0\}

\operatorname {Ann} (r_{R})=\{s\in R\colon rs=0\}

는 각각 $r$ 의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,

\operatorname {Ann} (r_{R})M=\{s_{1}m_{1}+s_{2}m_{2}+\cdots +s_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {s}}\in R^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}

이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.

성질

모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.^[1]^{:Proposition 2}^[2]^{:Corollary 3.17′} 이는 왼쪽 가군 $M$ 이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {A}}$ 에 대하여 $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0$ 인 것이기 때문이다.^[4]^{:Lemma 4.1.11}

환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환(영어: von Neumann regular ring) 또는 절대 평탄환(영어: absolutely flat ring)이라고 한다.

임의의 $r\in R$ 에 대하여, $r=rsr$ 인 $s\in R$ 가 존재한다.
모든 $R$ -왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.^[1]^{:149, §2}
모든 $R$ -오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.^[1]^{:149, §2}
모든 $R$ -왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.^[1]^{:149, §2}
모든 $R$ -오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.^[1]^{:149, §2}
모든 $R$ -왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
모든 $R$ -왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r\in R$ 에 대하여, $Rr=Re$ 이자 $e^{2}=e$ 인 $e\in R$ 가 존재한다.
모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r\in R$ 에 대하여, $rRr=eR$ 이자 $e^{2}=e$ 인 $e\in R$ 가 존재한다.
모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R$ 에 대하여, $Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re$ 이자 $e^{2}=e$ 인 $e\in R$ 가 존재한다.
모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\in R$ 에 대하여, $Rr_{1}+Rr_{2}+\cdots +Rr_{k}=Re$ 이자 $e^{2}=e$ 인 $e\in R$ 가 존재한다.

평탄 가군과의 관계

모든 왼쪽 평탄 가군 $_{R}M$ 은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.^[1]^{:Proposition 2}^[2]^{:128, Proposition 4.20} 이는 왼쪽 가군 $M$ 이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R}$ 에 대하여 $\operatorname {Tor} _{R}^{1}(R/{\mathfrak {A}},M)=0$ 인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 $_{R}M$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]^{:84, Proposition 2.8.5}

평탄 왼쪽 가군이다.
임의의 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R$ 에 대하여, ${\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M$ 이다.
임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 ${\mathfrak {A}}_{R},{\mathfrak {B}}_{R}\subseteq R$ 에 대하여, ${\mathfrak {A}}M\cap {\mathfrak {B}}M=({\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {B}})M$ 이다.

여기서

{\mathfrak {A}}M=\{a_{1}m_{1}+a_{2}m_{2}+\cdots +a_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;{\vec {a}}\in {\mathfrak {A}}^{k},\;{\vec {m}}\in M^{k}\}

이다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Hattori, Akira (1960). “A foundation of torsion theory for modules over general rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 17: 147–158. ISSN 0027-7630. MR 0137745. Zbl 0117.02202.
↑ ^가 ^나 ^다 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
↑ ^가 ^나 ^다 Tuganbaev, Askar. 《Rings close to regular》. Mathematics and its Applications (영어) 545. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-015-9878-1. ISBN 978-90-481-6116-4.
↑ Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.

Matlis, Eben (1973년 1월). 《Torsion-free modules》 (영어). The University of Chicago Press. ISBN 978-022651074-3. MR 0344237.

외부 링크

“Torsion-free module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Torsion submodule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[Hattori-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Hattori, Akira (1960). “A foundation of torsion theory for modules over general rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 17: 147–158. ISSN 0027-7630. MR 0137745. Zbl 0117.02202.

[Lam-2] 가 ^나 ^다 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

[Tuganbaev-3] 가 ^나 ^다 Tuganbaev, Askar. 《Rings close to regular》. Mathematics and its Applications (영어) 545. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-015-9878-1. ISBN 978-90-481-6116-4.

[4] Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.

[1]

[2]

[3]

[4]