베주 정역

가환대수학에서 베주 정역(Bézout整域, 영어: Bézout domain)은 베주 항등식을 만족시키는 정역이다.

정의

환 $R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 베주 환(영어: left Bézout ring)이라고 한다.

모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 주 아이디얼이다.
두 주 왼쪽 아이디얼의 합이 주 왼쪽 아이디얼이다. 즉, 임의의 두 원소 $r,s\in R$ 에 대하여, $Rr+Rs=Rt$ 가 되는 $t\in R$ 가 존재한다.

마찬가지로, 오른쪽 베주 환(영어: right Bézout ring)을 정의할 수 있다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

정역 $D$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 베주 정역이라고 한다.

왼쪽 베주 환이다.
오른쪽 베주 환이다.
(베주 항등식) 임의의 $a,b\in D$ 에 대하여, 최대공약수 $\gcd\{a,b\}\in D$ 가 존재하며, 또한 $\gcd\{a,b\}=ac+bd$ 인 $c,d\in D$ 가 존재한다.
모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$ 에 대하여, 국소화 $D_{\mathfrak {p}}$ 가 값매김환이다.
모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$ 에 대하여, 국소화 $D_{\mathfrak {m}}$ 이 값매김환이다.

베주 정역은 최대공약수 정역(영어: GCD domain)이자 프뤼퍼 정역(영어: Prüfer domain)이다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

오른쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 왼쪽 가군의 개념은 평탄 왼쪽 가군과 일치한다.^[1]^:§1^[2]^{:128, Proposition 4.20} (여기서, 꼬임 없는 왼쪽 가군 $_{R}M$ 은 임의의 $r\in R$ 에 대하여 $\operatorname {Tor} _{R}^{1}(R/rR,M)=0$ 인 것이다.) 반대로, 왼쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 오른쪽 가군의 개념은 평탄 오른쪽 가군과 일치한다.

모든 대수적 정수의 정역은 베주 정역이지만, 뇌터 환이 아니며 유일 인수 분해 정역도 아니다.

↑ Hattori, Akira (1960). “A foundation of torsion theory for modules over general rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 17: 147–158. ISSN 0027-7630. MR 0137745. Zbl 0117.02202.
↑ Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.

“Bezout ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Definition and basic properties of Bezout domains”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 11월 4일.
“Exhibit a Bezout domain that is not a PID”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 12월 22일.
“Definition: Bézout domain”. 《ProofWiki》 (영어).
“Bezout ring”. 《CommAlg》 (영어).
“Bezout domain”. 《CommAlg》 (영어).
“Bezout implies gcd”. 《CommAlg》 (영어).
“Gcd not implies Bezout”. 《CommAlg》 (영어).
“What is the divisibility theory for Bezout domains?” (영어). Math Overflow.