추상대수학 에서 값매김환 (-環, 영어 : valuation ring ) 또는 부치환 (賦値環)은 정수 의 환의 국소화
Z
(
p
)
{\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}
와 유사한 성질을 가지는 정역 이다.
정역
D
{\displaystyle D}
위의 값매김 (영어 : valuation )
(
Γ
,
≤
,
ν
)
{\displaystyle (\Gamma ,\leq ,\nu )}
은 다음과 같은 순서쌍 이다.
아벨 군
Γ
{\displaystyle \Gamma }
. 이를 값군 (값群, 영어 : value group )이라고 한다.
Γ
{\displaystyle \Gamma }
위의 전순서
≤⊆
Γ
2
{\displaystyle \leq \subseteq \Gamma ^{2}}
군 준동형
ν
:
(
Frac
D
)
×
→
Γ
{\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to \Gamma }
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(전순서의 병진 불변성) 임의의
g
,
h
,
k
∈
Γ
{\displaystyle g,h,k\in \Gamma }
에 대하여,
g
≤
h
{\displaystyle g\leq h}
라면
g
+
k
≤
h
+
k
{\displaystyle g+k\leq h+k}
이다.
D
=
{
x
∈
(
Frac
D
)
×
:
0
≤
ν
(
x
)
}
∪
{
0
}
{\displaystyle D=\{x\in (\operatorname {Frac} D)^{\times }\colon 0\leq \nu (x)\}\cup \{0\}}
D
{\displaystyle D}
가 정역 이고, 그 분수체 가
Frac
D
{\displaystyle \operatorname {Frac} D}
이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환 이라고 한다.
임의의
x
∈
Frac
D
{\displaystyle x\in \operatorname {Frac} D}
에 대하여,
x
=
0
{\displaystyle x=0}
이거나
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
이거나
x
−
1
∈
D
{\displaystyle x^{-1}\in D}
이다.
베주 정역 이자 국소환 이다.
D
{\displaystyle D}
의 아이디얼 들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합 을 이룬다.
D
{\displaystyle D}
의 주 아이디얼 들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합 을 이룬다.
임의의
a
,
b
∈
D
{\displaystyle a,b\in D}
에 대하여,
a
∣
b
{\displaystyle a\mid b}
이거나
b
∣
a
{\displaystyle b\mid a}
이다.
적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.
임의의 값매김환
D
{\displaystyle D}
에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.
Γ
=
(
Frac
D
)
×
/
D
×
{\displaystyle \Gamma =(\operatorname {Frac} D)^{\times }/D^{\times }}
ν
:
(
Frac
D
)
×
→
G
{\displaystyle \nu \colon (\operatorname {Frac} D)^{\times }\to G}
ν
:
x
↦
[
x
]
=
x
+
D
×
{\displaystyle \nu \colon x\mapsto [x]=x+D^{\times }}
[
x
]
≤
[
y
]
⟺
x
y
−
1
∈
D
{\displaystyle [x]\leq [y]\iff xy^{-1}\in D}
즉, 값군
G
{\displaystyle G}
는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환 이며, 값매김
ν
{\displaystyle \nu }
는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은
(
D
∖
{
0
}
)
/
D
×
{\displaystyle (D\setminus \{0\})/D^{\times }}
이다.
또한, 통상적으로
ν
(
0
)
=
∞
{\displaystyle \nu (0)=\infty }
이며,
ν
(
0
)
>
ν
(
a
)
∀
a
≠
0
{\displaystyle \nu (0)>\nu (a)\forall a\neq 0}
이라고 하자. 그렇다면 값매김
ν
{\displaystyle \nu }
는 다음과 같은 성질을 만족한다.
ν
(
a
b
)
=
ν
(
a
)
+
ν
(
b
)
{\displaystyle \nu (ab)=\nu (a)+\nu (b)}
ν
(
a
+
b
)
≥
min
{
ν
(
a
)
,
ν
(
b
)
}
{\displaystyle \nu (a+b)\geq \min\{\nu (a),\nu (b)\}}
ν
(
a
)
=
∞
{\displaystyle \nu (a)=\infty }
일 필요충분조건은
a
=
0
{\displaystyle a=0}
이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식
−
|
a
+
b
|
≥
−
|
a
|
−
|
b
|
{\displaystyle -|a+b|\geq -|a|-|b|}
를 강화한 것이다.
모든 값매김환은 국소환 이며, 베주 정역 이다.
값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
값매김
(
Γ
,
ν
)
{\displaystyle (\Gamma ,\nu )}
를 갖춘 값매김환
D
{\displaystyle D}
의 아이디얼 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
값군
Γ
{\displaystyle \Gamma }
의 선분 (영어 : segment )은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합
Δ
⊆
Γ
{\displaystyle \Delta \subseteq \Gamma }
이다.
임의의
δ
∈
Δ
{\displaystyle \delta \in \Delta }
에 대하여,
[
−
δ
,
δ
]
⊆
Δ
{\displaystyle [-\delta ,\delta ]\subseteq \Delta }
이다. 여기서
[
,
]
{\displaystyle [,]}
는 전순서 에 대한 닫힌구간 이다.
값군
Γ
{\displaystyle \Gamma }
의 고립 부분군 (영어 : isolated subgroup )은 선분이자 부분군 인 진부분 집합이다.
D
{\displaystyle D}
의 진 아이디얼
a
⊊
D
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\subsetneq D}
에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.
a
↦
Γ
∖
⋃
a
∈
a
∖
{
0
}
{
ν
(
a
)
,
−
ν
(
a
)
}
{\displaystyle {\mathfrak {a}}\mapsto \Gamma \setminus \bigcup _{a\in {\mathfrak {a}}\setminus \{0\}}\{\nu (a),-\nu (a)\}}
그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
이 함수는
D
{\displaystyle D}
의 진 아이디얼들과,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
의 선분들 사이의 일대일 대응 을 정의한다.
이 함수는
D
{\displaystyle D}
의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 들과,
Γ
{\displaystyle \Gamma }
의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응 을 정의한다.
원점에서 극점 을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수 들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수 들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.
p
{\displaystyle p}
가 임의의 소수 라고 하자. 그렇다면 국소화
Z
(
p
)
{\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}
는 이산 값매김환 이며, 그 분수체는 유리수체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
, 값매김군은
Z
≅
{
p
n
:
n
∈
Z
}
{\displaystyle \mathbb {Z} \cong \{p^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}}
이다. 이 경우, 그 값매김은
ν
(
p
n
(
a
/
b
)
)
=
n
{\displaystyle \nu (p^{n}(a/b))=n}
(
a
,
b
{\displaystyle a,b}
는
p
{\displaystyle p}
와 서로소 )가 된다. 이를 p진 값매김 (영어 : p -adic valuation )이라고 하며, 이는 대수적 수론 에서 오스트롭스키 정리 에 따라 유리수체 의 유한 자리 들을 구성한다.
p진 정수
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
들의 가환환 은 이산 값매김환 이며, 그 분수체는 p진수체
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
다.
모든 체는 값매김환이다. 체
K
{\displaystyle K}
의 경우 값매김군은 자명군 이다. 자명군의 선분은
[
0
,
0
]
=
{
0
}
{\displaystyle [0,0]=\{0\}}
밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.
임의의 체
K
{\displaystyle K}
에 대하여, 1변수 형식적 멱급수환
K
[
[
x
]
]
{\displaystyle K[[x]]}
은 값매김환이다. 그 분수체는 형식적 로랑 급수 의 체
K
(
(
x
)
)
{\displaystyle K((x))}
이며, 그 위의 값매김은 다음과 같다.
ν
(
∑
i
∈
Z
p
i
x
i
)
=
min
{
i
∈
Z
:
p
i
≠
0
}
{\displaystyle \nu \left(\sum _{i\in \mathbb {Z} }p_{i}x^{i}\right)=\min\{i\in \mathbb {Z} \colon p_{i}\neq 0\}}
(형식적 로랑 급수의 정의에 따라 우변은 유한하다.)