유리형 함수

복소해석학에서 유리형 함수(有理型函數, 영어: meromorphic function)는 극점을 가질 수 있지만 본질적 특이점을 가지지 않고, 특이점을 제외한 다른 모든 점에서 정칙인 복소 함수다.

감마 함수는 복소평면 위의 유리형 함수이다.

비슷한 이름의 유리 함수에 관해서는 해당 문서를 참고하십시오.

정의

$\Sigma$가 리만 곡면(1차원 복소다양체)이라고 하자. ${\widehat {\mathbb {C} }}$가 리만 구 (무한대 ${\widehat {\infty }}$를 추가한 복소평면)라고 하자. 그렇다면 $\Sigma$위의 유리형 함수는 (${\widehat {\infty }}$ 상수 함수가 아닌) 정칙 함수 $\Sigma \to {\hat {\mathbb {C} }}$이다. 즉, 유리형 함수는 극점을 제외하고는 나머지 모든 점에서 ($\mathbb {C}$값을 가진) 정칙 함수인 함수다.

성질

콤팩트하지 않은 리만 곡면 위의 유리형 함수는 두 정칙 함수의 비다.

콤팩트 리만 곡면에서는 모든 정칙 함수는 상수 함수지만, 상수 함수가 아닌 유리형 함수가 존재한다. 리만 구 ${\hat {\mathbb {C} }}$위의 유리형 함수는 모두 유리 함수다. 복소 타원 곡선도 콤팩트 리만 곡면의 일종인데, 타원 곡선 위의 유리형 함수를 타원 함수라고 한다.

유리형 함수는 모든 점에서 로랑 급수로 전개할 수 있으며, 그 주부(principal part)는 유한개의 항만을 포함한다.

연결 리만 곡면 위의 유리형 함수들의 집합은 체를 이루며, 이는 (상수 함수로 간주한) 복소수체의 확대이다.

예

복소해석학에서 다루는 대부분의 함수는 유리형 함수다.

모든 유리 함수

$f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}$ ($p(z)$, $q(z)$는 다항식)

는 유리형 함수다. 감마 함수나 리만 제타 함수는 유리 함수가 아니지만 유리형 함수이다.

함수 $z\mapsto \exp(1/z)$는 $z=0$에서 극점이 아닌 본질적 특이점(essential singularity)를 가지므로, 복소평면에서 유리형 함수가 아니다. (물론 0을 제외한 복소평면 위에서는 유리형 함수이자 정칙 함수다.)

같이 보기

• 쿠쟁 문제
• 미타그레플레르 정리
• 바이어슈트라스의 곱 정리

외부 링크

• “Meromorphic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Meromorphic mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Meromorphic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.