디리클레 베타 함수

수학에서 디리클레 베타 함수(Dirichlet beta function) 혹은 카탈랑 베타 함수(Catalan beta function)는 리만 제타 함수와 밀접한 관련이 있는 특수 함수이다. 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

정의

디리클레 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.

\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx

\beta (0)={\frac {1}{2}}

\beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}

\beta (2)\;=\;G

, 여기서

G

는 카탈랑 상수를 의미한다.

\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}

\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}

\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}

$0$ 이상의 정수 $k$ 에 대하여 $\beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}$ 이다. 여기서 ${E_{n}}$ 는 오일러 수를 의미한다.

오일러 수 ${E_{n}}$ 은 $n$ 이 홀수일 때 $0$ 이기 때문에, $k$ 가 홀수일 때 $\beta (-k)=0$ 임을 알 수 있다.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet Beta Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.