두 실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
부분합 은 유계 수열 이다. 즉,
sup
n
∈
N
|
∑
k
=
0
n
a
k
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\left|{\sum _{k=0}^{n}a_{k}}\right|<\infty }
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
단조수열 이다. 즉,
b
0
≥
b
1
≥
b
2
≥
⋯
{\displaystyle b_{0}\geq b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots }
b
0
≤
b
1
≤
b
2
≤
⋯
{\displaystyle b_{0}\leq b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots }
lim
n
→
∞
b
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}
디리클레 판정법 에 따르면, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}}
는 수렴 한다.[ 1] :182 [ 2] :315, °2
두 실수 값 함수
f
,
g
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
⊆
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}
리만 적분 가능하며, 또한
sup
x
∈
[
a
,
∞
)
|
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{x\in [a,\infty )}\left|\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|<\infty }
g
{\displaystyle g}
단조함수 이다. (특히,
g
{\displaystyle g}
[
a
,
b
]
⊆
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}
리만 적분 가능하다.)
lim
x
→
∞
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0}
그렇다면, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
는 수렴한다.
M
=
1
+
sup
x
∈
[
a
,
∞
)
|
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
|
∈
R
+
{\displaystyle M=1+\sup _{x\in [a,\infty )}\left|\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|\in \mathbb {R} ^{+}}
이라고 하자. 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
|
g
(
x
)
|
<
ϵ
4
M
(
∀
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle |g(x)|<{\frac {\epsilon }{4M}}\qquad (\forall x>N(\epsilon ))}
인
N
(
ϵ
)
>
a
{\displaystyle N(\epsilon )>a}
제2 적분 평균값 정리 에 따라, 임의의
y
>
x
>
N
(
ϵ
)
{\displaystyle y>x>N(\epsilon )}
c
(
x
,
y
)
∈
[
x
,
y
]
{\displaystyle c(x,y)\in [x,y]}
|
∫
x
y
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
|
=
|
g
(
x
)
∫
x
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
+
g
(
y
)
∫
c
(
x
,
y
)
y
f
(
t
)
d
t
|
≤
ϵ
4
M
(
|
∫
a
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
|
+
|
∫
a
y
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
|
)
≤
ϵ
4
M
(
2
M
+
2
M
)
=
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{x}^{y}f(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\\&\leq {\frac {\epsilon }{4M}}\left(\left|\int _{a}^{c(x,y)}f(t)\,dt-\int _{a}^{x}f(t)\,dt\right|+\left|\int _{a}^{y}f(t)\,dt-\int _{a}^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|\right)\\&\leq {\frac {\epsilon }{4M}}(2M+2M)\\&=\epsilon \end{aligned}}}
따라서, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
은 수렴한다.
집합
X
{\displaystyle X}
(
f
n
,
g
n
:
X
→
R
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (f_{n},g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }}
함수 항 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}
균등 유계 함수열 이다. 즉,
sup
n
∈
N
sup
x
∈
X
|
∑
i
=
0
n
f
i
(
x
)
|
<
∞
{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\sup _{x\in X}\left|\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x)\right|<\infty }
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
(
g
n
(
x
)
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }}
단조수열 이다.
(
g
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
0
:
X
→
R
{\displaystyle 0\colon X\to \mathbb {R} }
균등 수렴 한다.그렇다면, 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
g
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}}
는 균등 수렴 한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 디리클레 판정법의 증명과 유사하다.
X
{\displaystyle X}
한원소 집합 인 경우, 이는 단순히 실수 항 급수에 대한 디리클레 판정법이다.
↑ 가 나 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8 ↑ Knopp, Konrad (1951). 《Theory and application of infinite series》 (영어). 번역 Young, R. C. H.. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. 2판. London–Glasgow: Blackie & Son. Zbl 0042.29203 . ↑ Démonstration d’un théorème d’Abel . Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), pp. 253-255 Archived 2011년 7월 21일 - 웨이백 머신 .
![{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c274f2ee602fdde02ddcde46fefd86f610583828)
![{\displaystyle c(x,y)\in [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc8b0f64c4246d7823ec22c20ae33f62a63df71)
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