두 실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
단조수열 이자 유계 수열 이다.아벨 판정법 에 따르면, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}}
역시 수렴한다.[ 1] :181 [ 2] :314, °1
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
단조수열 유계 수열 이므로, 어떤 실수로 수렴한다.
b
=
lim
n
→
∞
b
n
∈
R
{\displaystyle b=\lim _{n\to \infty }b_{n}\in \mathbb {R} }
라고 하자.
(
b
n
−
b
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n}-b)_{n=0}^{\infty }}
단조수열 이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열 이다. 디리클레 판정법 에 의하여, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
b
n
−
b
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)}
는 수렴한다. 따라서, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
b
n
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
b
n
−
b
)
+
b
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)+b\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
역시 수렴한다.
실수 값 함수
f
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
f
{\displaystyle f}
[
a
,
b
]
⊆
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}
리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
g
{\displaystyle g}
단조함수 이자 유계 함수 이다.그렇다면, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
는 수렴한다.
g
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
단조 유계 함수 이므로, 극한
g
(
∞
)
=
lim
x
→
∞
g
(
x
)
∈
R
{\displaystyle g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R} }
가 존재한다. 함수
x
↦
g
(
x
)
−
g
(
∞
)
{\displaystyle x\mapsto g(x)-g(\infty )}
단조함수 이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
가 수렴하므로,
x
↦
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt}
는 유계 함수 이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법 에 의하여, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
g
(
∞
)
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx}
는 수렴한다. 따라서, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
∞
f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
g
(
∞
)
)
d
x
+
g
(
∞
)
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx+g(\infty )\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
역시 수렴한다.
g
(
∞
)
=
lim
x
→
∞
g
(
x
)
∈
R
{\displaystyle g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R} }
이라고 하자. 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
|
g
(
x
)
|
<
2
|
g
(
∞
)
|
(
∀
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle |g(x)|<2|g(\infty )|\qquad (\forall x>N(\epsilon ))}
|
∫
x
y
f
(
t
)
d
t
|
<
ϵ
4
|
g
(
∞
)
|
+
1
(
∀
y
>
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle \left|\int _{x}^{y}f(t)\,dt\right|<{\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\qquad (\forall y>x>N(\epsilon ))}
인
N
(
ϵ
)
>
a
{\displaystyle N(\epsilon )>a}
제2 적분 평균값 정리 에 따라, 임의의
y
>
x
>
N
(
ϵ
)
{\displaystyle y>x>N(\epsilon )}
c
(
x
,
y
)
∈
[
x
,
y
]
{\displaystyle c(x,y)\in [x,y]}
|
∫
x
y
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
|
=
|
g
(
x
)
∫
x
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
+
g
(
y
)
∫
c
(
x
,
y
)
y
f
(
t
)
d
t
|
≤
2
|
g
(
∞
)
|
(
|
∫
x
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
|
+
|
∫
c
(
x
,
y
)
y
f
(
t
)
d
t
|
)
≤
2
|
g
(
∞
)
|
⋅
2
⋅
ϵ
4
|
g
(
∞
)
|
+
1
<
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{x}^{y}f(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\\&\leq 2|g(\infty )|\left(\left|\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\right)\\&\leq 2|g(\infty )|\cdot 2\cdot {\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\\&<\epsilon \end{aligned}}}
따라서, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
은 수렴한다.
집합
X
{\displaystyle X}
실수 값 함수 의 열
(
f
n
,
g
n
:
X
→
R
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (f_{n},g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }}
함수 항 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}
균등 수렴 한다.
(
g
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
균등 유계 함수열 이다. 또한, 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
(
g
n
(
x
)
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }}
단조수열 이다.그렇다면, 함수 항 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
g
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}}
역시 균등 수렴 한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로,
(
g
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
g
:
X
→
R
{\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }
g
{\displaystyle g}
균등 수렴 할 필요가 없다. 만약
X
{\displaystyle X}
한원소 집합 이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.
↑ 가 나 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8 ↑ 가 나 Knopp, Konrad (1951). 《Theory and application of infinite series》 (영어). 번역 Young, R. C. H.. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. 2판. 런던 -글래스고 : Blackie & Son. Zbl 0042.29203 .
![{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c274f2ee602fdde02ddcde46fefd86f610583828)
![{\displaystyle c(x,y)\in [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc8b0f64c4246d7823ec22c20ae33f62a63df71)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{n}}a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6c8fc1f070632c7520f95514c7a2428080d553)
