르베그 수

위상수학에서, 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수(Lebesgue數, 영어: Lebesgue number)는 열린 덮개의 섬세함을 측정하는 수이다. 구체적으로, 르베그 수보다 더 작은 지름을 갖는 집합은 열린 덮개의 한 원소에 속하게 된다. 르베그 수의 존재는 콤팩트 거리 공간과 완비 거리 공간 사이에 있는 성질이다.

정의

유사 거리 공간 $(X,d)$의 덮개 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수는 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $\delta >0$이다.

• 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $\operatorname {diam} Y<\delta$라면 $Y\subseteq U$인 $U\in {\mathcal {U}}$가 존재한다.

여기서

$\operatorname {diam} Y=\sup\{d(x,y)\colon x,y\in Y\}$

는 유사 거리 공간의 지름이다.

성질

유일성

유사 거리 공간 $(X,d)$의 덮개 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수 $\delta$가 존재한다면, $\delta$보다 작은 양의 실수는 마찬가지로 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수이다.

정의에 따라, 유사 거리 공간 $(X,d)$의 덮개 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수가 존재한다면, 그 최대 르베그 수가 존재하며, 이는 덮개의 불변량이다.

존재

르베그 수 보조정리(-數補助定理, 영어: Lebesgue's number lemma)에 따르면, 콤팩트 유사 거리 공간의 열린 덮개의 르베그 수는 항상 존재한다.

증명:

콤팩트 유사 거리 공간 $(X,d)$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$가 주어졌다고 하자. 콤팩트성에 따라 유한 부분 덮개

$\{U_{1},\dots ,U_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}$

가 존재한다. 이제,

$\delta =\min _{x\in X}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,X\setminus U_{i})>0$

이 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수임을 보이면 된다. (우변의 최솟값은 콤팩트 공간에 정의된 연속 함수에 대하여 취한 것이므로 반드시 존재하며, 양의 실수이다.) 임의의

$Y\subseteq X$

$\operatorname {diam} Y<\delta$

가 주어졌다고 하자. 임의의 $y_{0}\in Y$를 고르자. 그렇다면,

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(y_{0},X\setminus U_{i})\geq \delta$

이므로,

$d(y_{0},X\setminus U_{i})\geq \delta$

인 $i\in \{1,\dots ,n\}$이 존재한다. 임의의 $y\in Y$에 대하여,

$d(y_{0},y)\leq \operatorname {diam} Y<\delta$

이므로, $y\in U_{i}$이다. 즉, $Y\subseteq U_{i}$이다.

유사 거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 임의의 열린 덮개의 르베그 수가 존재한다.
• 임의의 거리 공간 $(Y,d')$ 및 연속 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $f$는 균등 연속 함수이다.
• 임의의 연속 함수 $X\to \mathbb {R}$는 균등 연속 함수이다.
• 임의의 서로소 닫힌집합 $A,B\subseteq X$에 대하여, $d(A,B)>0$

여기서

$d(A,B)=\inf\{d(a,b)\colon a\in A,\;b\in B\}$

이다.

콤팩트 유사 거리 공간이 첫 번째 조건을 만족시키는 것은 르베그 수 보조정리의 내용이다. 콤팩트 유사 거리 공간이 두 번째 조건을 만족시키는 것은 하이네-칸토어 정리이다.

유사 거리 공간 $(X,d)$의 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는다면, $(X,d)$는 완비 유사 거리 공간이다. 특히, 하이네-보렐 정리에 따라, 유사 거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 완전 유계 공간이며, 임의의 열린 덮개의 르베그 수가 존재한다.

유사 거리 공간 $(X,d)$의 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는다면, $X$의 유도 집합 $X'$은 콤팩트 공간이다. 특히, 임의의 열린 덮개가 르베그 수를 갖는 자기 조밀 유사 거리 공간은 콤팩트 공간이다.

예

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 닫힌구간 $[a,b]\subsetneq \mathbb {R}$의, 유한 개의 열린구간들로 구성된 덮개

${\mathcal {U}}=\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),\dots ,(a_{n},b_{n})\}$

를 생각하자. 그렇다면,

$\delta =\min\{|x-y|\colon x,y\in \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\},\;x\neq y\}\in (0,\infty )$

는 ${\mathcal {U}}$의 르베그 수이다.

증명:

각 $x\in [a,b]$에 대하여, $x\in (a_{i(x)},b_{i(x)})$인 $i(x)\in \{1,2,\dots ,n\}$을 취하자. 그렇다면, 길이 $\delta$ 미만의 구간

$[x,y]\subset [a,b]$

$y-x<\delta$

에 대하여, 만약

$[x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}=\varnothing$

이라면,

$[x,y]\subset (a_{i(x)},b_{i(x)})$

이다. 반대로 만약

$c\in [x,y]\cap \{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n}\}$

이라면,

$[x,y]\subset (a_{i(c)},b_{i(c)})$

이다.

콤팩트 공간이 아닌, 모든 열린 덮개의 르베그 수가 존재하는 거리 공간

이산 거리 공간 $(X,d_{\operatorname {disc} })$에서, 모든 열린 덮개는 르베그 수를 갖지만, 무한 이산 공간은 콤팩트 공간이 아니다.

르베그 수가 존재하지 않는 열린 덮개가 존재하는 완비 거리 공간

실수선 $\mathbb {R}$ 위의 표준적인 거리 함수는 완비 거리 공간을 이룬다. 그러나,

$\{(-\infty ,1)\}\cup \left\{\left({\sqrt {n}},{\sqrt {n+2}}\right)\colon n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}$

는 열린 덮개이지만 르베그 수를 갖지 않는다.

응용

르베그 수 보조정리는 다음과 같은 문제들을 풀 때 사용될 수 있다.

• 르베그 측도가 측도의 성질을 만족하는 것을 보일 때^:32
• 하이네-칸토어 정리의 증명
• 점렬 콤팩트 거리 공간이 콤팩트 공간임을 보일 때

외부 링크

• “Lebesgue number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lebesgue number lemma”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Lebesgue number lemma”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition: Lebesgue number”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Lebesgue's number lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Open cover may not have Lebesgue number”. 《ProofWiki》 (영어).