대수기하학 에서 모듈라이 공간 (moduli空間, 영어 : moduli space )은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학 의 분류 공간 과 유사한 개념이다.
스킴 을 집합 으로 대응시키는 함자
F
:
Sch
op
→
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
섬세한 모듈라이 공간 (영어 : fine moduli space )
(
M
,
τ
)
{\displaystyle (M,\tau )}
F
{\displaystyle F}
표현 이다. 즉,
M
∈
Sch
{\displaystyle M\in \operatorname {Sch} }
스킴 이다.
τ
:
F
⟹
hom
Sch
(
−
,
M
)
{\displaystyle \tau \colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)}
자연 동형 이다.이 정의는 다음과 같이 해석한다.
함자
F
(
B
)
{\displaystyle F(B)}
B
{\displaystyle B}
τ
{\displaystyle \tau }
B
{\displaystyle B}
B
→
M
{\displaystyle B\to M}
B
{\displaystyle B}
B
→
M
{\displaystyle B\to M}
M
{\displaystyle M}
영어 : universal family )의 당김으로 유도된다.함자
F
:
Sch
op
→
Set
{\displaystyle F\colon \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
거친 모듈라이 공간 (영어 : coarse moduli space )
(
M
,
τ
)
{\displaystyle (M,\tau )}
M
∈
Sch
{\displaystyle M\in \operatorname {Sch} }
τ
:
F
⟹
hom
Sch
(
−
,
M
)
{\displaystyle \tau \colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)}
자연 변환 이다.모든 대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
τ
Spec
K
:
F
(
Spec
K
)
→
hom
Sch
(
Spec
K
,
M
)
{\displaystyle \tau _{\operatorname {Spec} K}\colon F(\operatorname {Spec} K)\to \hom _{\operatorname {Sch} }(\operatorname {Spec} K,M)}
전단사 함수 이다.
임의의 스킴
M
~
{\displaystyle {\tilde {M}}}
τ
~
:
F
⟹
hom
Sch
(
−
,
M
~
)
{\displaystyle {\tilde {\tau }}\colon F\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,{\tilde {M}})}
τ
~
=
σ
∘
τ
{\displaystyle {\tilde {\tau }}=\sigma \circ \tau }
σ
:
hom
Sch
(
−
,
M
)
⟹
hom
Sch
(
−
,
M
~
)
{\displaystyle \sigma \colon \hom _{\operatorname {Sch} }(-,M)\implies \hom _{\operatorname {Sch} }(-,{\tilde {M}})}
이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.
일반적으로, 자기 동형 사상 을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택 과 같은 대상을 사용하여야 한다.
어떤
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
그라스만 다양체
G
(
n
,
V
)
{\displaystyle G(n,V)}
V
{\displaystyle V}
n
{\displaystyle n}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
사영 공간
저우 다양체
Chow
(
d
,
P
3
)
{\displaystyle \operatorname {Chow} (d,\mathbb {P} ^{3})}
P
3
{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
d
{\displaystyle d}
힐베르트 스킴 은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.
종수가
g
{\displaystyle g}
비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를
M
g
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}
안정 곡선 을 추가하여 콤팩트화하면, 종수
g
{\displaystyle g}
M
¯
g
{\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}
g
{\displaystyle g}
비특이 (또는 안정 ) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.
Harris, Joe; Ian Morrison (1998). 《Moduli of Curves》 (영어). Springer. ISBN 0-387-98429-1 
