특이점 (대수기하학)

대수기하학에서 특이점(特異點, 영어: singular point)은 대수다양체를 정의하는 다항식들의 야코비 행렬의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

정의

스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 정칙 스킴(영어: regular scheme)이라고 한다.

임의의 (닫힌 점이 아닐 수 있는) 점 $x\in X$ 에 대하여, 줄기 국소환 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 가 정칙 국소환이다.

마찬가지로, 스킴 $X$ 의 특이점은 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 가 정칙 국소환이 아니게 되는 점 $x\in X$ 이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X\to \operatorname {Spec} K$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 정칙 스킴이라면, $X$ 를 비특이 대수다양체(영어: nonsingular variety)라고 한다.^[1]^:32

성질

아핀 대수다양체 $X=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {a}}$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$x$ 는 $X$ 의 특이점이 아니다.
${\mathfrak {a}}$ 가 $(f_{1},\dots ,f_{k})$ 으로 생성된다면, $k\times n$ 행렬 $(\partial f_{i}/\partial x_{j})(x)$ 의 계수는 $n-\dim X$ 이다.^[1]^:31

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 모든 정칙 스킴은 정규 스킴이며, 임의의 체 $K$ 에 대하여 모든 매끄러운 $K$ -스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$ -스킴 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X\to \operatorname {Spec} K$ 는 매끄러운 사상이다.
정칙 스킴이며, $X\to \operatorname {Spec} K$ 는 국소 유한형 사상이다.

예

임의의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 및 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, 아핀 공간 $\mathbb {A} _{K}^{n}=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ 및 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ 은 각각 비특이 $K$ -대수다양체를 이룬다.