선형대수학 에서 무어-펜로즈 유사역행렬 (Moore-Penrose疑似逆行列, 영어 : Moore–Penrose pseudoinverse matrix )은 모든 모양의 행렬에 대하여 정의되는 연산이며, 가역 행렬 의 역행렬 연산을 일반화한다.[ 1] :제8장 [ 2] :제13장 [ 3] :제6장 특잇값 분해 를 통해 계산할 수 있다.
체
K
{\displaystyle K}
대합
a
¯
:
K
→
K
{\displaystyle {\bar {\color {White}a}}\colon K\to K}
a
¯
∘
a
¯
=
id
K
{\displaystyle {\bar {\color {White}a}}\circ {\bar {\color {White}a}}=\operatorname {id} _{K}}
이 주어졌다고 하자. (예를 들어, 복소수체의 복소켤레 등이 있다. 이를 항등 함수 로 놓을 수도 있다.) 그렇다면,
K
{\displaystyle K}
에르미트 수반
(
−
)
∗
:
Mat
(
m
,
n
;
K
)
→
Mat
(
n
,
m
;
K
)
{\displaystyle (-)^{*}\colon \operatorname {Mat} (m,n;K)\to \operatorname {Mat} (n,m;K)}
의 개념이 정의된다.
임의의
K
{\displaystyle K}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
행렬
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
의 무어-펜로즈 유사역행렬
A
+
∈
Mat
(
n
,
m
;
K
)
{\displaystyle A^{+}\in \operatorname {Mat} (n,m;K)}
은 다음 네 조건들을 모두 만족시키는 행렬이다.
A
A
+
A
=
A
{\displaystyle AA^{+}A=A}
즉, AA + A
A
+
A
A
+
=
A
+
{\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+}}
(
A
A
+
)
∗
=
A
A
+
{\displaystyle (AA^{+})^{*}=AA^{+}}
(
A
+
A
)
∗
=
A
+
A
{\displaystyle (A^{+}A)^{*}=A^{+}A}
무어-펜로즈 유사역행렬은 항상 존재하며, 유일하다. 즉, 임의의 행렬
A
{\displaystyle A}
A
+
{\displaystyle A^{+}}
반면, 이 네 조건 가운데 하나를 제거하면 이는 더 이상 유일하지 않다.
무어-펜로즈 유사역행렬 연산은 전치 행렬 연산 · 성분별 켤레 · 켤레전치 와 교환 법칙을 따른다.
(
A
⊤
)
+
=
(
A
+
)
⊤
{\displaystyle (A^{\top })^{+}=(A^{+})^{\top }}
(
A
¯
)
+
=
A
+
¯
{\displaystyle ({\bar {A}})^{+}={\overline {A^{+}}}}
(
A
∗
)
+
=
(
A
+
)
∗
{\displaystyle (A^{*})^{+}=(A^{+})^{*}}
행렬
A
{\displaystyle A}
A
+
{\displaystyle A^{+}}
(
α
A
)
+
=
α
−
1
A
+
∀
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
,
α
∈
K
×
{\displaystyle (\alpha A)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}\qquad \forall A\in \operatorname {Mat} (m,n;K),\;\alpha \in K^{\times }}
무어-펜로즈 유사역행렬은 스스로의 역함수이다.
(
A
+
)
+
=
A
∀
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle (A^{+})^{+}=A\qquad \forall A\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
무어-펜로즈 유사역행렬은 (역행렬 연산과 달리) 일반적으로 행렬 곱셈과 호환되지 못한다. 다만, 호환을 보장하는 충분 조건 들이 존재한다.
구체적으로, 임의의 두 행렬
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
B
∈
Mat
(
n
,
p
;
K
)
{\displaystyle B\in \operatorname {Mat} (n,p;K)}
이 주어졌으며, 다음 네 조건 가운데 적어도 하나 이상이 성립한다고 하자.
A
∗
A
=
1
n
×
n
{\displaystyle A^{*}A=1_{n\times n}}
B
B
∗
=
1
n
×
n
{\displaystyle BB^{*}=1_{n\times n}}
A
{\displaystyle A}
선형 독립 이며, 또한
B
{\displaystyle B}
선형 독립 이다.
A
=
B
∗
{\displaystyle A=B^{*}}
그렇다면, 다음과 같이 무어-펜로즈 유사역행렬은 행렬 곱셈과 호환된다.
(
A
B
)
+
=
B
+
A
+
{\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}
그러나 이는 임의의 행렬에 대하여 성립하지 않는다.
A
+
{\displaystyle A^{+}}
A
{\displaystyle A}
구체적으로, 만약
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
K
{\displaystyle K}
선형 독립 이라면,
A
∗
A
∈
Mat
(
n
,
n
;
K
)
{\displaystyle A^{*}A\in \operatorname {Mat} (n,n;K)}
가역 행렬 이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
A
+
=
(
A
∗
A
)
−
1
A
∗
{\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}}
이러한 무어-펜로즈 유사역행렬을 좌측 역행렬 이라고 하는데,
A
+
A
=
I
{\displaystyle A^{+}A=I}
반대로,
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
K
{\displaystyle K}
선형 독립 인 경우,
A
A
∗
∈
Mat
(
m
,
m
;
K
)
{\displaystyle AA^{*}\in \operatorname {Mat} (m,m;K)}
가역 행렬 이며, 이 경우 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
A
+
=
A
∗
(
A
A
∗
)
−
1
{\displaystyle A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}}
이러한 경우에는
A
A
+
=
I
{\displaystyle AA^{+}=I}
A
+
{\displaystyle A^{+}}
우측 역행렬 이라고 부른다.
물론,
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
선형 독립 인 경우는
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
+
=
(
A
∗
A
)
−
1
A
∗
=
A
∗
(
A
A
∗
)
−
1
=
A
−
1
{\displaystyle A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}=A^{*}(AA^{*})^{-1}=A^{-1}}
이다.
행렬
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
특잇값 분해 를 갖는다고 하자.
A
=
U
Σ
V
∗
{\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}
U
∈
U
(
m
;
K
)
{\displaystyle U\in \operatorname {U} (m;K)}
V
∈
U
(
n
;
K
)
{\displaystyle V\in \operatorname {U} (n;K)}
Σ
=
diag
m
,
n
(
λ
1
,
…
,
λ
min
{
m
,
n
}
)
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle \Sigma =\operatorname {diag} _{m,n}(\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{\min\{m,n\}})\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
그렇다면,
A
{\displaystyle A}
A
+
=
V
Σ
+
U
∗
=
V
diag
n
,
m
(
λ
1
+
,
…
,
λ
min
{
m
,
n
}
+
)
U
∗
{\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}=V\operatorname {diag} _{n,m}(\lambda _{1}^{+},\dotsc ,\lambda _{\min\{m,n\}}^{+})U^{*}}
여기서,
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
λ
+
=
{
λ
−
1
λ
≠
0
0
λ
=
0
{\displaystyle \lambda ^{+}={\begin{cases}\lambda ^{-1}&\lambda \neq 0\\0&\lambda =0\end{cases}}}
이다.
가역 행렬 의 무어-펜로즈 유사역행렬은 역행렬 이다.
∃
A
−
1
⟹
A
+
=
A
−
1
{\displaystyle \exists A^{-1}\implies A^{+}=A^{-1}}
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
(
λ
)
+
=
{
(
λ
−
1
)
λ
≠
0
(
0
)
λ
=
0
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda \end{pmatrix}}^{+}={\begin{cases}{\begin{pmatrix}\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}&\lambda \neq 0\\{\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}&\lambda =0\end{cases}}}
직사각형 대각 행렬
diag
m
,
n
(
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
min
{
m
,
n
}
)
∈
Mat
(
m
,
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {diag} _{m,n}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{\min\{m,n\}})\in \operatorname {Mat} (m,n;K)}
의 경우, 무어-펜로즈 유사역행렬은 다음과 같다.
diag
m
,
n
(
λ
1
,
λ
2
,
…
,
λ
min
{
m
,
n
}
)
+
=
diag
n
,
m
(
λ
1
+
,
λ
2
+
,
…
,
λ
min
{
m
,
n
}
+
)
∈
Mat
(
n
,
m
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {diag} _{m,n}(\lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{\min\{m,n\}})^{+}=\operatorname {diag} _{n,m}(\lambda _{1}^{+},\lambda _{2}^{+},\dotsc ,\lambda _{\min\{m,n\}}^{+})\in \operatorname {Mat} (n,m;K)}
여기서
λ
i
+
{\displaystyle \lambda _{i}^{+}}
특히, 영행렬의 무어-펜로즈 유사역행렬은 그 행렬의 전치 행렬 인 영행렬이다.
0
m
,
n
+
=
0
m
,
n
{\displaystyle 0_{m,n}^{+}=0_{m,n}}
무어-펜로즈 유사역행렬은 유일한 해가 존재하지 않는 선형연립방정식 에서 최소제곱법 에 따른 최적해를 구하기 위해 흔히 사용된다. 혹은 해가 여러 개 존재하는 선형연립방정식에서 유클리드 노름 을 최소화하는 해를 찾는 데에 사용되기도 한다. 또한 무어-펜로즈 유사역행렬을 사용하면 선형대수학의 많은 부분을 보다 쉽게 서술하고 증명할 수 있다.
