대수기하학 에서, 세그레 매장 (Segre埋藏, 영어 : Segre embedding )은 두 사영 공간 의 곱을 더 큰 사영 공간의 닫힌 부분 대수다형체로 표현하는 대수다형체 사상이다. 이를 통하여, 사영 대수다형체 의 곱이 사영 대수다형체임을 보일 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
그렇다면, 벡터 공간의 텐서곱
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
을 정의할 수 있으며, 표준적인 함수
V
⊕
W
→
V
⊗
W
{\displaystyle V\oplus W\to V\otimes W}
(
v
,
w
)
↦
v
⊗
w
{\displaystyle (v,w)\mapsto v\otimes w}
가 존재한다. 이는 일반적으로
K
{\displaystyle K}
선형 변환 이 아니며, 2차 동차 함수 이다. 예를 들어
α
(
v
,
w
)
↦
α
2
(
v
⊗
w
)
(
α
∈
K
)
{\displaystyle \alpha (v,w)\mapsto \alpha ^{2}(v\otimes w)\qquad (\alpha \in K)}
이다. 또한, 이는 일반적으로 단사 함수 가 아니다. 예를 들어
(
α
v
,
α
−
1
w
)
↦
v
⊗
w
(
α
∈
K
)
{\displaystyle (\alpha v,\alpha ^{-1}w)\mapsto v\otimes w\qquad (\alpha \in K)}
이다.
이제, 양변의 사영 공간 을 취할 수 있다.
P
(
V
⊕
W
)
→
P
(
V
⊗
W
)
{\displaystyle \mathbb {P} (V\oplus W)\to \mathbb {P} (V\otimes W)}
사실, 이 사상은 다음과 같이 표준적으로 분해된다.
P
(
V
⊕
W
)
↠
P
(
V
)
×
P
(
W
)
↪
P
(
V
⊗
W
)
{\displaystyle \mathbb {P} (V\oplus W)\twoheadrightarrow \mathbb {P} (V)\times \mathbb {P} (W)\hookrightarrow \mathbb {P} (V\otimes W)}
여기서 첫 함수는 전사 함수 이며 둘째 함수는 단사 함수 이다. 이 둘째 함수를 세그레 매장 이라고 한다.
선형 대수학 에서 동일한 체
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
벡터 공간
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
텐서 곱 으로 사상하는 자연스러운 방법이 있다.
φ
:
U
×
V
→
U
⊗
V
.
{\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }
일반적으로 이것은 단사 일 필요가 없다. 왜냐하면,
∀
c
∈
K
,
c
≠
0
,
∀
u
∈
U
,
∀
v
∈
V
{\displaystyle \forall c\in \mathbb {K} ,c\neq 0,\forall u\in U,\forall v\in V}
φ
(
u
,
v
)
=
u
⊗
v
=
c
u
⊗
c
−
1
v
=
φ
(
c
u
,
c
−
1
v
)
.
{\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }
기본 사영 공간
P
(
U
)
,
P
(
V
)
{\displaystyle P(U),P(V)}
σ
:
P
(
U
)
×
P
(
V
)
→
P
(
U
⊗
V
)
.
{\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ }
이것은 집합론적 의미에서 단사일 뿐만 아니라 대수 기하학 의 의미에서 닫힌 몰입 이다. 즉, 상에 대한 일련의 방정식을 제공할 수 있다. 표기상의 문제를 제외하고, 그러한 방정식이 무엇인지 말하기는 쉽다. 그들은 텐서 곱에서 좌표의 곱을 인수분해하는 두 가지 방법을 표현한다.
이 사상 σ 는 세그레 매장 이다. 차원을 세어 보면 m 차원과 n 차원의 사영 공간의 곱이 차원에 포함되는 방식을 보여준다.
(
m
+
1
)
(
n
+
1
)
−
1
=
m
n
+
m
+
n
.
{\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }
고전적인 용어는 곱의 좌표를 다중동차 라고 하고 곱을 k 인자 k-way 사영 공간 으로 일반화한다.
세그레 다형체는 행렬식 다형체의 예이다. 행렬
(
Z
i
,
j
)
{\displaystyle (Z_{i,j})}
2차 다항식
Z
i
,
j
Z
k
,
l
−
Z
i
,
l
Z
k
,
j
{\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}}
의 공통 근들의 궤적이다. 여기서,
Z
i
,
j
{\displaystyle Z_{i,j}}
세그레 다형체
Σ
n
,
m
{\displaystyle \Sigma _{n,m}}
P
n
{\displaystyle P^{n}\ }
P
m
{\displaystyle P^{m}}
[ 1]
π
X
:
Σ
n
,
m
→
P
n
{\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }
의 첫 번째 성분은 부분 집합의 교집합에 동의하는 세그레 다형체를 포함하는 열린 부분 집합의
m
+
1
{\displaystyle m+1}
j
0
{\displaystyle j_{0}}
[
Z
i
,
j
]
{\displaystyle [Z_{i,j}]}
[
Z
i
,
j
0
]
{\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}
Z
i
,
j
Z
k
,
l
=
Z
i
,
l
Z
k
,
j
{\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }
Z
i
0
,
j
0
≠
0
{\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}
[
Z
i
,
j
1
]
=
[
Z
i
0
,
j
0
Z
i
,
j
1
]
=
[
Z
i
0
,
j
1
Z
i
,
j
0
]
=
[
Z
i
,
j
0
]
{\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}
곱의 올은 선형 부분 공간이다. 즉,
π
X
:
Σ
n
,
m
→
P
n
{\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }
를 첫 번째 인자에 대한 사영이라 하자(마찬가지로
π
Y
{\displaystyle \pi _{Y}}
p 에 대해 사상
σ
(
π
X
(
⋅
)
,
π
Y
(
p
)
)
:
Σ
n
,
m
→
P
(
n
+
1
)
(
m
+
1
)
−
1
{\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }
의 상은 공역 의 선형 부분 공간이다.
세그레 매장
P
1
×
P
1
→
P
3
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{3}}
(
[
x
:
y
]
,
[
z
:
w
]
)
→
[
x
z
:
x
w
:
y
z
:
y
w
]
=
[
X
,
Y
,
Z
,
W
]
{\displaystyle ([x:y],[z:w])\to [xz:xw:yz:yw]=[X,Y,Z,W]}
을 생각해 보자. 이 경우, 그 상은
det
(
X
Y
Z
W
)
=
X
W
−
Y
Z
=
0
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}X&Y\\Z&W\end{pmatrix}}=XW-YZ=0}
을 만족시킨다. 즉, 이는 대수다양체의 동형 사상
P
1
×
P
1
≅
Proj
K
[
X
,
Y
,
Z
,
W
]
X
W
−
Y
Z
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{XW-YZ}}}
을 정의한다.
사상
σ
:
P
2
×
P
1
→
P
5
{\displaystyle \sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}}
는 세그레 삼중체 로 알려져 있다. 유리 정규 스크롤의 예이다. 세그레 삼중체와 three-plane
P
3
{\displaystyle P^{3}}
세그레 사상에 대한 대각선
Δ
⊂
P
n
×
P
n
{\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}}
베로네세의 다형체 이다.
ν
2
:
P
n
→
P
n
2
+
2
n
.
{\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }
베니아미노 세그레(영어 : Beniamino Segre , 1903-1977, 코라도 세그레 의 조카)가 도입하였다.
![{\displaystyle [Z_{i,j}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7dbdd3a0f44d15d5bc194f3e9d696430940ad7)
![{\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625870e9e4c0bfb6fe28da6a119eb52f81d5eafb)
![{\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a49ab78de6d1c6145c68ef83eb5fd692187809)
![{\displaystyle ([x:y],[z:w])\to [xz:xw:yz:yw]=[X,Y,Z,W]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc93fec6b852b1d9b222feb351321be1ed85101)
![{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{XW-YZ}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdcf4ff1eaf106f6827f366b1e7baa1cb8e8042c)
