사영 스펙트럼

(세르 뒤틀림 층에서 넘어옴)

대수기하학에서 사영 스펙트럼(射影spectrum, 영어: projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.[1]:76–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj(R).

정의

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가환환   위에 자연수 등급이 주어져 등급환

 

을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼  을 생각하자. 그렇다면,  사영 스펙트럼  는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는  소 아이디얼  들의 집합이다.

  1. 동급이다. 즉, 임의의  에 대하여, 그 성분들을  라고 하면,  이다.
  2. 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉,  이다.

여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

자리스키 위상

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 에 다음과 같은 자리스키 위상을 주어, 위상 공간으로 만든다.  열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다.  의 임의의 동급 아이디얼  에 대하여,

 

이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

구조층

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 에 다음과 같은 가환환 값의  를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합  에 대하여,  는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

 

이 이루는 가환환이다. 여기서   의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면,    에서의 국소화이다. 모든  에 대하여,

  1.  
  2.  는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방  가 존재하여, 모든  에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소  가 존재한다.
    1.  
    2.   는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉,   이 존재한다.
    3.  .

이렇게 층을 주면,  스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

사영 스펙트럼 위의 가군층

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등급환   위에 등급 가군  이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게,   위의 가군층  을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합  에 대하여,  는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

 

이 이루는 가환환이다. 여기서   의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면,    에서의 국소화이다. 모든  에 대하여,

  1.  
  2.  는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방  가 존재하여, 모든  에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소  ,  가 존재한다.
    1.  
    2.   는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉,  ,   이 존재한다.
    3.  .

특히,   자체를  등급 가군으로 간주하면,   의 구조층이다.

임의의 등급 가군  가 주어지면, 임의의 정수  에 대하여 그 뒤틀림(twist)  

 

인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히  만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층  뒤틀림  을 정의할 수 있다. 구조층  의 뒤틀림  세르 뒤틀림 층(영어: Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.

대역적 사영 스펙트럼

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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 스킴  
  •  -준연접층들의 족  . 또한,  로 놓자.
  • 열린집합  에 대하여,   위의  -등급  -결합 대수 구조

그렇다면, 각 아핀 열린집합  에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자.

 

이제, 자연스러운 스킴 사상

 

이 존재한다. (이는   -등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해  들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 대역적 사영 스펙트럼(大譯的射影spectrum영어: global projective spectrum) 또는 상대 사영 스펙트럼(相對射影spectrum, 영어: relative projective spectrum)  라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)

성질

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 의 구조층   에서의 줄기  이다.[1]:76 여기서   의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.

함자성의 실패

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아핀 스펙트럼가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다.

다만, 가환 등급환  동차 아이디얼  이 주어졌을 때, 몫 사상  사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입

 

을 정의한다.[2]:100, §Ⅲ.2.2

아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼은 서로 다른 닫힌 부분 스킴에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다.[2]:100, §Ⅲ.2.2, Exercise Ⅲ-15 예를 들어, 체  에 대한 사영 공간  에 대하여, 임의의 동차 아이디얼  가 주어졌을 때,   은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 ( 은 임의의 자연수).

자명한 사영 스펙트럼

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임의의 (단위원을 가진) 가환환  이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환  이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간  )은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼영 아이디얼  이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.

보다 일반적으로, 등급환  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:80

  • 사영 스펙트럼이 공집합이다. 즉,  이다.
  •  이다. 즉,  의 모든 원소가 멱영원이다.

사영 공간

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 가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면  에 대한 n차원 사영 공간  등급환  의 사영 스펙트럼이다.[1]:77

사영 공간  의 경우, 세르 뒤틀림 층  의 단면은 1차 동차다항식

 

의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간표준 선다발이다.

특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환  에 대하여

 

이다.

준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼

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다음이 주어졌다고 하자.

  • 스킴  
  •  -준연접층  

그렇다면, 대칭 대수

 

및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼

 

를 정의할 수 있다.

특히, 만약 추가로  유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입  에 대하여

 

의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상  사영 사상(射影寫像, 영어: projective morphism)이라고 한다.

같이 보기

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각주

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  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). 《The geometry of schemes》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 197. Springer-Verlag. doi:10.1007/b97680. ISBN 978-0-387-98638-8. ISSN 0072-5285. MR 1730819. Zbl 0960.14002. 

외부 링크

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