수학 에서 함수 (函數, 영어 : function ) 또는 사상 (寫像, 영어 : map, mapping )은 어떤 집합 의 각 원소 를 다른 어떤 집합의 유일한 원소에 대응시키는 이항 관계 이다. 대략적으로, 한 변수 의 값에 따라 다른 한 변수의 값이 정해질 때, 후자는 전자의 함수가 된다.
함수는 입력값에 따라 출력값을 만들어 내는 ‘블랙 박스’와 같다.
함수
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
함수
f
{\displaystyle f}
튜플
(
X
,
Y
,
graph
f
)
{\displaystyle (X,Y,\operatorname {graph} f)}
X
{\displaystyle X}
집합 이며, 이를
f
{\displaystyle f}
정의역
Y
{\displaystyle Y}
집합 이며, 이를
f
{\displaystyle f}
공역
graph
f
{\displaystyle \operatorname {graph} f}
곱집합
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
부분 집합 이며, 이를
f
{\displaystyle f}
그래프 이 튜플이 다음 조건을 만족시켜야지만 함수라고 한다.
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
(
x
,
y
)
∈
graph
f
{\displaystyle (x,y)\in \operatorname {graph} f}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
y
{\displaystyle y}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다.
표기
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
는
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
x
↦
y
{\displaystyle f\colon x\mapsto y}
는
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
함수를 정의역과 공역을 생략하여 다음과 같이 표기하기도 한다.
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
(
x
∈
X
)
{\displaystyle f(x)\qquad (x\in X)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
만약 어떤 가족의 각 구성원
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
함수
f
:
{
1
,
2
,
3
}
→
{
A
,
B
,
C
,
D
}
{\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\mathrm {D} \}}
f
:
1
↦
D
{\displaystyle f\colon 1\mapsto \mathrm {D} }
f
:
2
↦
A
{\displaystyle f\colon 2\mapsto \mathrm {A} }
f
:
3
↦
B
{\displaystyle f\colon 3\mapsto \mathrm {B} }
는 정의역이
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
{
A
,
B
,
C
,
D
}
{\displaystyle \{\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} ,\mathrm {D} \}}
D
{\displaystyle \mathrm {D} }
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실수 의 집합이라고 하자. 그렇다면
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}}
는 각 실수를 제곱 시키는 함수이다. 반면, 각 실수에 그보다 큰 실수를 대응시키는 이항 관계는 함수가 아니다. 이는 각 실수보다 큰 실수는 무한히 많으므로 유일하지 않기 때문이다.
{
c
}
{\displaystyle \{c\}}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
{
c
}
{\displaystyle \{c\}}
f
:
X
→
{
c
}
{\displaystyle f\colon X\to \{c\}}
f
:
x
↦
c
{\displaystyle f\colon x\mapsto c}
가 존재한다.
∅
{\displaystyle \varnothing }
공집합 이라고 하자. 그렇다면 임의의 집합
Y
{\displaystyle Y}
∅
{\displaystyle \varnothing }
Y
{\displaystyle Y}
f
:
∅
→
Y
{\displaystyle f\colon \varnothing \to Y}
가 존재한다.
Y
=
∅
{\displaystyle Y=\varnothing }
단사 함수의 예
전사 함수의 예
전단사 함수의 예
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
단사 함수
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)=f(y)}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
[ 1] 전사 함수
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
{\displaystyle f}
치역 은
f
{\displaystyle f}
[ 1] 전단사 함수
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
역함수 를 갖는 것과 동치이다.[ 1] 감마 함수 의 그래프특별한 정의역 또는 공역을 갖는 함수는 특별한 이름이 붙는다.
정의역
공역
이름
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
수열
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
열린집합 실변수 함수 (實變數函數, 영어 : function of a real variable )
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실숫값 함수 (實數-函數, 영어 : real-valued function )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
복소변수 함수 (複素變數函數, 영어 : function of a complex variable )
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
복소값 함수 (複素-函數, 영어 : complex-valued function )
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
다변수 함수 (多變數函數, 영어 : multivariate function )
특별한 정의역을 갖는 함수에 대하여 추가적인 성질들을 정의할 수 있다. 예컨대 두 위상 공간 사이의 함수에 대하여 연속 함수 의 개념을 정의할 수 있으며, 두 매끄러운 다양체 사이의 함수의 각종 매끄러움 성질들을 정의할 수 있다. 실변수 실숫값 함수
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }
U
{\displaystyle U}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
열린집합 )의 경우 추가로 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.
단조함수 [ 1] 증가함수 : 임의의
x
,
y
∈
U
{\displaystyle x,y\in U}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
f
(
x
)
≤
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\leq f(y)}
f
{\displaystyle f}
그래프 는 오른쪽으로 갈수록 상승하는 곡선이다. 예를 들어,
U
=
R
{\displaystyle U=\mathbb {R} }
x
↦
2
x
{\displaystyle x\mapsto 2x}
감소함수 : 임의의
x
,
y
∈
U
{\displaystyle x,y\in U}
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
f
(
x
)
≥
f
(
y
)
{\displaystyle f(x)\geq f(y)}
f
{\displaystyle f}
U
=
R
{\displaystyle U=\mathbb {R} }
x
↦
−
2
x
{\displaystyle x\mapsto -2x}
홀함수와 짝함수 [ 2] :130 홀함수 : 임의의
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
−
x
∈
U
{\displaystyle -x\in U}
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=-f(x)}
f
{\displaystyle f}
U
=
R
{\displaystyle U=\mathbb {R} }
x
↦
x
3
{\displaystyle x\mapsto x^{3}}
짝함수 : 임의의
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
−
x
∈
U
{\displaystyle -x\in U}
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(-x)=f(x)}
f
{\displaystyle f}
U
=
R
{\displaystyle U=\mathbb {R} }
x
↦
x
2
{\displaystyle x\mapsto x^{2}}
주기 함수 : 임의의
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
x
+
T
∈
U
{\displaystyle x+T\in U}
f
(
x
+
T
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle f(x+T)=f(x)}
f
{\displaystyle f}
삼각 함수 는 주기 함수다. 이 함수는 불연속점
x
0
{\displaystyle x_{0}}
[
−
∞
,
x
0
)
{\displaystyle [-\infty ,x_{0})}
[
x
0
,
∞
)
{\displaystyle [x_{0},\infty )}
두 매끄러운 다양체
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
1
,
…
,
X
n
⊂
X
{\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}\subset X}
f
{\displaystyle f}
조각마다 〜 함수 라고 한다.
X
=
X
1
∪
⋯
∪
X
n
{\displaystyle X=X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}}
각
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dotsc ,n}
D
i
⊆
X
i
⊆
cl
D
i
{\displaystyle D_{i}\subseteq X_{i}\subseteq \operatorname {cl} D_{i}}
영역
D
i
⊆
X
{\displaystyle D_{i}\subseteq X}
각
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dotsc ,n}
f
↾
X
i
{\displaystyle f\upharpoonright X_{i}}
특히, 정의역이 실수 구간 인 경우, 정의역은 작은 구간들로 분할되어야 한다. 예를 들어,
[
0
,
1
]
⊆
R
{\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }
[
0
,
1
]
=
[
0
,
1
/
4
)
⊔
[
1
/
4
,
1
/
2
)
⊔
{
1
/
2
}
⊔
[
1
/
2
,
1
]
{\displaystyle [0,1]=[0,1/4)\sqcup [1/4,1/2)\sqcup \{1/2\}\sqcup [1/2,1]}
예를 들어, 실수 절댓값 함수는 조각마다 일차 함수 이다. 부호 함수 는 조각마다 상수 함수 이다. 함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
{
x
2
x
<
1
/
2
−
x
2
+
2
x
x
≥
1
/
2
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}x^{2}&x<1/2\\-x^{2}+2x&x\geq 1/2\end{cases}}}
는 조각마다 연속 함수 이다.
다가 함수의 예 다가 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
(
x
,
y
)
∈
graph
f
{\displaystyle (x,y)\in \operatorname {graph} f}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
즉, 다가 함수는 정의역의 각 원소를 적어도 하나의 공역 원소에 대응시키지만, 함수와 달리 여러 개의 공역 원소에 대응시킬 수 있다. 다가 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
멱집합 으로 가는 함수
f
:
X
→
P
(
Y
)
{\displaystyle f\colon X\to {\mathcal {P}}(Y)}
와 동치이다.
복소수 의 거듭제곱 은 대표적인 다가 함수이다. 특히 음이 아닌 실수의 제곱근
f
:
[
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
±
x
{\displaystyle f\colon x\mapsto \pm {\sqrt {x}}}
은 (양의 실수가 두 개의 제곱근을 가지므로) 다가 함수이다.
일반적인 함수를 다가 함수와 구별하기 위해 일가 함수 (一價函數, 영어 : single-valued function )라고 부르기도 한다.[ 1]
부분 정의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
y
,
z
∈
Y
{\displaystyle y,z\in Y}
(
x
,
y
)
,
(
x
,
z
)
∈
graph
f
{\displaystyle (x,y),(x,z)\in \operatorname {graph} f}
y
=
z
{\displaystyle y=z}
즉,
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
∪
{
∙
X
}
→
Y
∪
{
∙
Y
}
{\displaystyle f\colon X\cup \{\bullet _{X}\}\to Y\cup \{\bullet _{Y}\}}
f
(
∙
X
)
=
∙
Y
{\displaystyle f(\bullet _{X})=\bullet _{Y}}
∙
X
∉
X
{\displaystyle \bullet _{X}\not \in X}
∙
Y
∉
Y
{\displaystyle \bullet _{Y}\not \in Y}
예를 들어, 역수를 취하는 함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
:
x
↦
1
x
{\displaystyle f\colon x\mapsto {\frac {1}{x}}}
는 (0의 역수가 정의되지 않으므로)
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∞
^
{\displaystyle {\widehat {\infty }}}
일반적인 함수를 부분 정의 함수와 구별하기 위해 전함수 (全函數, 영어 : total function )라고 부르기도 한다.
집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
{
f
(
a
)
:
a
∈
A
}
{\displaystyle \{f(a)\colon a\in A\}}
를
A
{\displaystyle A}
상 이라고 하며,
f
(
A
)
{\displaystyle f(A)}
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle \{x\in X\colon f(x)\in B\}}
를
B
{\displaystyle B}
원상 이라고 하며,
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
치역
예를 들어, 사인 함수
sin
:
R
→
R
{\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
의 치역은
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
{
1
}
{\displaystyle \{1\}}
{
(
2
n
+
1
2
)
π
:
n
∈
Z
}
{\displaystyle \left\{\left(2n+{\frac {1}{2}}\right)\pi \colon n\in \mathbb {Z} \right\}}
이다. 여기서
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
정수 의 집합,
π
{\displaystyle \pi }
원주율 이다.
이 부분의 본문은
역함수 입니다.
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
동치 이다.
임의의
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
{\displaystyle f}
전단사 함수 이다.이 경우 정의역 과 공역 이 뒤바뀌고 대응의 방향이 반대로 바뀐 함수
f
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}
f
−
1
:
f
(
x
)
↦
x
{\displaystyle f^{-1}\colon f(x)\mapsto x}
를 생각할 수 있다. 이를
f
{\displaystyle f}
역함수
예를 들어, 지수 함수
exp
:
R
→
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to (0,\infty )}
는 전단사 함수이며, 그 역함수는 로그 함수
ln
:
(
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle \ln \colon (0,\infty )\to \mathbb {R} }
이다.
첫째 함수의 공역과 둘째 함수의 정의역이 같은 두 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
X
{\displaystyle X}
f
{\displaystyle f}
Y
{\displaystyle Y}
g
{\displaystyle g}
Z
{\displaystyle Z}
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}
g
∘
f
:
x
↦
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto g(f(x))}
를 생각할 수 있다. 이를
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
합성
예를 들어, 만약
X
=
Y
=
Z
=
R
{\displaystyle X=Y=Z=\mathbb {R} }
f
:
x
↦
2
x
{\displaystyle f\colon x\mapsto 2x}
g
:
y
↦
y
+
1
{\displaystyle g\colon y\mapsto y+1}
일 경우
g
∘
f
:
x
↦
2
x
+
1
{\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto 2x+1}
이다.
함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
부분 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
제한 (制限, 영어 : restriction )은 다음과 같은 함수를 일컫는다.
f
↾
A
:
A
→
Y
{\displaystyle f\upharpoonright A\colon A\to Y}
f
↾
A
:
x
↦
f
(
x
)
{\displaystyle f\upharpoonright A\colon x\mapsto f(x)}
즉,
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
함수족
(
f
i
:
X
i
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X_{i}\to Y_{i})_{i\in I}}
임의의
i
,
j
∈
I
{\displaystyle i,j\in I}
x
∈
X
i
∩
X
j
{\displaystyle x\in X_{i}\cap X_{j}}
f
i
(
x
)
=
f
j
(
x
)
{\displaystyle f_{i}(x)=f_{j}(x)}
그렇다면 함수들을 정의역의 합집합 에서 공역의 합집합으로 가는 하나의 함수
f
:
⋃
i
∈
I
X
i
→
⋃
i
∈
I
Y
i
{\displaystyle f\colon \bigcup _{i\in I}X_{i}\to \bigcup _{i\in I}Y_{i}}
f
↾
X
i
=
f
i
{\displaystyle f\upharpoonright X_{i}=f_{i}}
로 합칠 수 있다.[ 3] :16, 21
정의역이 같은 함수족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
곱집합 으로 가는 함수
(
f
i
)
i
∈
I
:
X
→
∏
i
∈
I
Y
i
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}\colon X\to \prod _{i\in I}Y_{i}}
(
f
i
)
i
∈
I
:
x
↦
(
f
i
(
x
)
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i})_{i\in I}\colon x\mapsto (f_{i}(x))_{i\in I}}
를 정의할 수 있다.
특수한 공역을 갖는 함수에 대하여 점별 연산을 정의할 수 있으며, 이는 위 함수와 공역 위 연산의 합성을 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 두 실숫값 함수
f
,
g
:
X
→
R
{\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }
(
f
,
g
)
:
X
→
R
2
{\displaystyle (f,g)\colon X\to \mathbb {R} ^{2}}
합성 을
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
점별합 (點別合, 영어 : pointwise sum )
f
+
g
{\displaystyle f+g}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
점별곱 (點別-, 영어 : pointwise product )
f
g
{\displaystyle fg}
f
+
g
:
X
→
R
{\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} }
f
+
g
:
x
↦
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle f+g\colon x\mapsto f(x)+g(x)}
f
g
:
X
→
R
{\displaystyle fg\colon X\to \mathbb {R} }
f
g
:
x
↦
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle fg\colon x\mapsto f(x)g(x)}
삼각함수 와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어 왔다. 16세기 라이프치히 대학교 의 수학 교수이자 코페르니쿠스 의 《천구의 회전에 관하여 》가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스 는 1596년 《팔라티누스 삼각형 서(書)》(라틴어 : Opus Palatinum de triangulis )에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다.[ 4] 관계 에 대한 개념이 없이 단순히 계산의 편의를 도모하기 위한 것이었다. 한편, 르네 데카르트 는 데카르트 좌표계 를 이용하여 오늘날 함수의 관계식에 해당하는 방정식 을 그래프 로 표현하는 방법을 제시하였다.[ 5]
17세기에 도입한 대부분의 함수는 함수 개념이 충분히 인식되기 이전에는 곡선, 특히 운동 궤적으로서 연구되었다. 1667년, 제임스 그레고리 (영어 : James Gregory )는 논문 《원과 쌍곡선의 구적법에 대하여》(라틴어 : Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura )에서 함수를 다른 양들에 대한 대수 연산 및 극한 연산을 통해 얻는 양으로 정의하였다. 1665년부터, 아이작 뉴턴은 줄곧 “플루언트”(영어 : fluent )라는 용어로 변수 간 관계를 지칭하였다. 1673년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 는 오늘날 쓰이는 용어인 “함수”(영어 : function )을 곡선 위 점에 따라 변화하는 양으로 정의하였다. 1697년, 요한 베르누이 는 함수를 상수와 변수가 대수 연산 및 초월 연산을 통해 구성하는 양으로 정의하였으며, 1698년에 라이프니츠의 용어를 채택하였다. 1714년, 라이프니츠는 저서 《역사》(라틴어 : historia )에서 함수를 변수에 의존하는 양으로 정의하였다. 그러나, 그는 여태 미분 가능한 함수 만을 다루었다.
레온하르트 오일러 는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
라틴어 : Introductio in Analysin Infinitorum )에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 《미분학 입문》(라틴어 : Institutiones Calculi Differentialis )에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다.
1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아 (프랑스어 : Sylvestre-François Lacroix )는 저서 《미분과 적분에 대하여》(프랑스어 : Traité du Calcul Différentiel et du Calcul Intégral )에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~15년, 조제프루이 라그랑주 는 저서 《역학 해석》(라틴어 : Mecanique analytique )에서 “함수”라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다.
조제프 푸리에 는 함수가 해석적 수식으로 표현될 수 있을 필요가 없다고 주장하였으나, 동시에 모든 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다고 주장하였다. 그러나 그는 임의의 유한 구간에서 유한 개의 불연속점만을 갖는 함수만을 다루었다.
1837년, 페터 구스타프 르죈 디리클레 는 논문 《완전히 임의인 함수의 사인 및 코사인 함수 표현에 대하여》(독일어 : Ober die Darstellung ganz willkurlicher Functionen durch Sinus-und Cosinusreihen )에서,
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어 가 제기한 집합론 에 기반한 것이다. 버트런드 러셀 은 집합 을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.[ 6]
17세기 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 는 수학 저서에서 라틴어 단어 functio 를 주로 ‘기능’이란 뜻으로 썼다. 이후 요한 베르누이 등이 functio 를 기술적인 해석학 용어로 쓰기 시작했다. 이것이 다른 유럽 언어로 전파되었다.
‘함수(函數)’라는 용어를 쓰기 시작한 사람은 이선란 과 알렉산더 와일리 (영어판 ) function 의 번역어로 ‘함수(函數)’라는 단어를 썼다. 드모르간은 《The Elements of Algebra》에서 function을 ‘변수를 담고 있는 식’으로 소개하는데, 이를 ‘상자’·‘담다’라는 뜻을 가진 한자 함(函)을 써서 의역한 것이다.
Any expression which contains x in any way is called a function of x: thus a+x, a+bx2 , &c.2 등이다.
凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數。
— 《대수학(代數學)》
‘함수’가 영어 단어 function 의 발음을 음역한 단어라는 설이 있지만 두 발음이 크게 달라 근거가 희박하다. 또한 이선란이 만든 다른 번역어 상수 ·변수 ·계수 ·지수 ·급수 중의 그 어떤 것도 음역이 아니다.
↑ 가 나 다 라 마 1. 기본개념 , 성균관대학교 대수학 연구실 이상구 교수 홈페이지↑ 박은순 (2008). 《쉬운 미분·적분학》. 숭실대학교출판부. ISBN 89-7450-235-6 ↑ 戴牧民; 陈海燕; 郑顶伟 (2011). 《公理集合论导引》 (중국어). 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-031276-1 ↑ 과학동아편집실, 수학자를 알면 공식이 보인다, 성우, 2002, 72-74쪽
↑ 과학동아편집실, 수학자를 알면 공식이 보인다, 성우, 2002, 82-88쪽
↑ The Principles of Mathematics ↑ De Morgan, Augustus (1837). 《The Elements of Algebra》 . 168쪽. 2020년 10월 6일에 확인함 .
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단사 함수의 예
전사 함수의 예
전단사 함수의 예
![{\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042e529c93e86b5d03b1e1cd6ddcc50e89761c03)
![{\displaystyle [0,1]=[0,1/4)\sqcup [1/4,1/2)\sqcup \{1/2\}\sqcup [1/2,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c134d9f3f95d7195e98374ec4c0db385c72e51)
이 부분의 본문은 다가 함수입니다.
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
