이 문서는 유클리드 공간 위의 내적에 관한 것입니다. 벡터 공간 위의 내적에 대해서는
내적 공간 문서를, 벡터와 스칼라의 곱셈에 대해서는
스칼라 곱셈 문서를 참고하십시오.
선형대수학 에서 스칼라곱 (scalar곱, 영어 : scalar product ) 또는 점곱 (영어 : dot product )은 유클리드 공간 의 두 벡터로부터 실수 스칼라 를 얻는 연산이다. 스칼라곱이 유클리드 공간의 내적 을 이루므로, 이를 단순히 '내적'이라고 부르기도 한다. 스칼라곱의 개념의 물리학 배경은 주어진 힘 이 주어진 변위 의 물체에 가한 일 을 구하는 문제이다.
차원 이
n
{\displaystyle n}
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
a
,
b
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}
스칼라곱
a
⋅
b
∈
R
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \in \mathbb {R} }
가운뎃점 '⋅'을 사용하며, 수의 곱셈 기호와는 다르게 생략할 수 없다.
두 벡터의 좌표가 각각
a
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}
b
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}
a
⋅
b
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
예를 들어, 두 3차원 벡터
(
1
,
3
,
−
2
)
,
(
4
,
2
,
1
)
∈
R
3
{\displaystyle (1,3,-2),(4,2,1)\in \mathbb {R} ^{3}}
(
1
,
3
,
−
2
)
⋅
(
4
,
2
,
1
)
=
1
×
4
+
3
×
2
+
(
−
2
)
×
1
=
8
{\displaystyle (1,3,-2)\cdot (4,2,1)=1\times 4+3\times 2+(-2)\times 1=8}
이 경우 스칼라곱의 정의는 벡터의 좌표에 의존하여 정의하지만,
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
정규 직교 좌표계 라면, 스칼라곱을 나타내는 공식은 바뀌지 않는다. 즉, 임의의 정규 직교 좌표계 아래 스칼라곱은 위치가 같은 두 좌표의 곱을 합한 것과 같다.
유클리드 공간의 벡터는 종종 열벡터 로 간주되며, 이 경우 두 벡터
a
,
b
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }
a
⋅
b
=
a
T
b
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} }
여기서 우변의
a
T
{\displaystyle \mathbf {a} ^{\operatorname {T} }}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
전치 행렬 이며, 곱셈 기호가 생략된 곱셈은 행렬 곱셈 이다.
이 경우 앞선 예시에서의 내적은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(
1
3
−
2
)
(
4
2
1
)
=
1
×
4
+
3
×
2
+
(
−
2
)
×
1
=
8
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}}=1\times 4+3\times 2+(-2)\times 1=8}
스칼라곱은 기하학적 성질인 '길이 '와 '각도 '를 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.
a
⋅
b
=
{
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
∡
(
a
,
b
)
a
≠
0
∧
b
≠
0
0
a
=
0
∨
b
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\begin{cases}\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\mathbf {a} \neq \mathbf {0} \land \mathbf {b} \neq \mathbf {0} \\0&\mathbf {a} =\mathbf {0} \lor \mathbf {b} =\mathbf {0} \end{cases}}}
여기서
‖
a
‖
{\displaystyle \Vert \mathbf {a} \Vert }
|
a
|
{\displaystyle |\mathbf {a} |}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
노름 을 뜻한다. 이는
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
‖
b
‖
{\displaystyle \Vert \mathbf {b} \Vert }
∡
(
a
,
b
)
{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
a
,
b
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
cos
∡
(
a
,
b
)
{\displaystyle \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}
코사인 이며, 직각 삼각형 의 이웃변과 빗변의 길이의 비로 정의하거나, 테일러 급수 전개식을 통해 정의할 수 있다.예를 들어, 만약 두 벡터의 길이가 모두 2이며, 둘 사이의 각도의 코사인 값이 1/2이라면, 이 두 벡터의 스칼라곱은 2 × 2 × 1/2 = 2이다.
이 정의에서 스칼라곱은 두 벡터의 길이와 위치 관계에만 의존하므로, 스칼라곱이 좌표계와 무관함이 더욱 뚜렷하다. 반대로 두 벡터를 똑같은 등거리 변환 에 의하여 변환시켰을 때, 두 벡터의 스칼라곱은 변하지 않는다는 점 역시 정의로부터 자명하다.
몇 가지 특수한 각도의 경우는 다음과 같다.
만약
∡
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0}
cos
∡
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=1}
a
⋅
b
=
‖
a
‖
‖
b
‖
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert }
만약
∡
(
a
,
b
)
=
90
∘
=
π
/
2
{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=90^{\circ }=\pi /2}
수직 이라면,)
cos
∡
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0}
a
⋅
b
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}
만약
∡
(
a
,
b
)
=
180
∘
=
π
{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=180^{\circ }=\pi }
cos
∡
(
a
,
b
)
=
−
1
{\displaystyle \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-1}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
⋅
b
=
−
‖
a
‖
‖
b
‖
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =-\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert }
또한, 이 정의로부터 두 벡터 사이의 각도를 구하는 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.
cos
∡
(
a
,
b
)
=
a
⋅
b
‖
a
‖
‖
b
‖
(
a
≠
0
,
b
≠
0
)
{\displaystyle \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\Vert \mathbf {a} \Vert \Vert \mathbf {b} \Vert }}\qquad (\mathbf {a} \neq \mathbf {0} ,\;\mathbf {b} \neq \mathbf {0} )}
임의의 벡터
a
,
b
,
c
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{n}}
k
∈
R
{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
[ 1]
교환 법칙
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }
왼쪽 분배 법칙
(
a
+
b
)
⋅
c
=
a
⋅
c
+
b
⋅
c
{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} }
오른쪽 분배 법칙
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }
스칼라 곱셈 의 보존
(
k
a
)
⋅
b
=
a
⋅
(
k
b
)
=
k
a
⋅
b
{\displaystyle (k\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (k\mathbf {b} )=k\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }
위 네 가지 성질에 따라, 스칼라곱은 대칭 쌍선형 형식 이다.
자기 자신과의 스칼라곱은 음이 아닌 실수이다.
a
⋅
a
=
‖
a
‖
2
≥
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\geq 0}
영벡터와의 스칼라곱은 0이다.
0
⋅
a
=
a
⋅
0
=
0
{\displaystyle \mathbf {0} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {0} =0}
자기 자신과의 스칼라곱이 0인 벡터는 영벡터뿐이다.
a
⋅
a
=
0
⟺
a
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0\iff \mathbf {a} =\mathbf {0} }
위 세 가지 성질에 따라, 스칼라곱은 양의 정부호 형식 이다.
a
⋅
b
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}
a
⊥
b
{\displaystyle \mathbf {a} \perp \mathbf {b} }
a
⋅
b
>
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} >0}
∡
(
a
,
b
)
<
90
∘
{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )<90^{\circ }}
a
⋅
b
<
0
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} <0}
∡
(
a
,
b
)
>
90
∘
{\displaystyle \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )>90^{\circ }}
반면 스칼라곱이 만족시키지 않는 성질에는 다음이 있다.
결합 법칙 은 (1차원 유클리드 공간
R
1
=
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}=\mathbb {R} }
(
a
⋅
b
)
⋅
c
{\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }
a
⋅
(
b
⋅
c
)
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}
소거 법칙 은 (1차원 유클리드 공간
R
1
=
R
{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}=\mathbb {R} }
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
a
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {a} =(1,0)}
b
=
(
1
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {b} =(1,1)}
c
=
(
1
,
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {c} =(1,-1)}
a
⋅
b
=
a
⋅
c
=
1
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =1}
a
≠
0
{\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }
b
≠
c
{\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }
a
⋅
b
=
a
⋅
c
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }
a
⊥
(
b
−
c
)
{\displaystyle \mathbf {a} \perp (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}
벡터
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
스칼라 사영 (영어 : scalar projection )
a
b
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathbf {b} }}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
수직 사영 하여 얻는 벡터의 길이이다.
a
b
=
{
‖
a
‖
cos
∡
(
a
,
b
)
a
≠
0
∧
b
≠
0
0
a
=
0
∨
b
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathbf {b} }={\begin{cases}\Vert a\Vert \cos \measuredangle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\mathbf {a} \neq \mathbf {0} \land \mathbf {b} \neq \mathbf {0} \\0&\mathbf {a} =\mathbf {0} \lor \mathbf {b} =\mathbf {0} \end{cases}}}
스칼라 사영은 다음과 같이 단위 벡터 와의 스칼라곱으로 나타낼 수 있다.
a
b
=
a
⋅
b
‖
b
‖
{\displaystyle \mathbf {a} _{\mathbf {b} }=\mathbf {a} \cdot {\frac {\mathbf {b} }{\Vert \mathbf {b} \Vert }}}
반대로, 스칼라곱은 다음과 같이 스칼라 사영과 벡터의 길이의 곱으로 나타낼 수 있다.
a
⋅
b
=
‖
b
‖
a
b
=
‖
a
‖
b
a
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\Vert \mathbf {b} \Vert \mathbf {a} _{\mathbf {b} }=\Vert \mathbf {a} \Vert \mathbf {b} _{\mathbf {a} }}
삼각형의 세 변에 대응하는 세 벡터 a , b , c 와 이들 가운데 두 벡터의 각도 θ . 삼각형의 세 변
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
c
{\displaystyle c}
θ
{\displaystyle \theta }
코사인 법칙 은 스칼라곱의 성질을 통해 유도할 수 있다. 벡터
a
,
b
,
c
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }
c
2
=
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
⋅
a
−
b
⋅
a
−
a
⋅
b
+
b
⋅
b
=
a
⋅
a
−
2
a
⋅
b
+
b
⋅
b
=
a
2
−
2
a
b
cos
θ
+
b
2
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} \\&=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\end{aligned}}}
3차원 유클리드 공간
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
a
,
b
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
벡터곱
a
×
b
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}}
스칼라 삼중곱 은
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
a
,
b
,
c
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}
a
⋅
(
b
×
c
)
∈
R
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\in \mathbb {R} }
벡터 삼중곱 은
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
a
,
b
,
c
∈
R
3
{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}}
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
⋅
c
)
b
−
(
a
⋅
b
)
c
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }
물리학 의 여러 가지 개념은 스칼라곱을 통해 정의된다. 예를 들어, 일 은 힘 과 변위 의 스칼라곱이며, 자기 선속 은 자기 선속 밀도 와 면적 벡터의 스칼라곱이다. 물론 변하는 힘이나 일정하지 않은 자기 선속의 경우 적분 을 사용한다.
차원이
n
{\displaystyle n}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
u
,
v
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}
u
⋅
v
=
u
∗
v
=
u
1
¯
v
1
+
⋯
+
u
n
¯
v
n
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {u} ^{*}\mathbf {v} ={\overline {u_{1}}}v_{1}+\cdots +{\overline {u_{n}}}v_{n}}
여기서
u
∗
{\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
켤레전치 이며,
u
k
¯
{\displaystyle {\overline {u_{k}}}}
u
k
{\displaystyle u_{k}}
켤레 복소수 이다. 이러한 함수는 양의 정부호성 을 만족시킨다. 즉, 영벡터가 아닌 복소수 벡터와 자기 자신의 스칼라곱은 항상
실수이며 0보다 크다. 그러나 실수 벡터의 스칼라곱과 달리 쌍선형성을 만족시키지 않으며, 대신 다음과 같은 반쌍선형성 을 만족시킨다. 임의의
u
,
v
,
w
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbb {C} ^{n}}
c
∈
C
{\displaystyle c\in \mathbb {C} }
(
c
u
+
v
)
⋅
w
=
c
¯
u
⋅
w
+
v
⋅
w
{\displaystyle (c\mathbf {u} +\mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} ={\bar {c}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }
u
⋅
(
c
v
+
w
)
=
c
u
⋅
v
+
u
⋅
w
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot (c\mathbf {v} +\mathbf {w} )=c\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} }
또한 대칭성(교환 법칙) 대신 다음과 같은 켤레 대칭성 을 만족시킨다.
u
⋅
v
=
v
⋅
u
¯
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\overline {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }}}
이 경우, 영벡터가 아닌 두 복소수 벡터의 사잇각을 나타내는 공식은 다음과 같다.
cos
∡
(
u
,
v
)
=
Re
(
u
⋅
v
)
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle \cos \measuredangle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{\Vert \mathbf {u} \Vert \Vert \mathbf {v} \Vert }}}
여기서
Re
(
u
⋅
v
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}
u
⋅
v
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }
실수부 이다.
만약 이 함수의 정의에서 켤레 복소수를 생략한다면, 이는 쌍선형성과 대칭성을 유지하지만 양의 정부호성을 잃는다. 이는 대략
i
2
=
−
1
<
0
{\displaystyle i^{2}=-1<0}
B
:
C
n
×
C
n
→
C
{\displaystyle B\colon \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }
0
<
B
(
i
v
,
i
v
)
=
i
2
B
(
v
,
v
)
=
−
B
(
v
,
v
)
<
0
(
v
∈
C
n
∖
{
0
}
)
{\displaystyle 0<B(i\mathbf {v} ,i\mathbf {v} )=i^{2}B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )<0\qquad (\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \})}
유클리드 공간이나 복소수 곱공간의 스칼라곱을 일반화하여 내적 의 개념을 얻을 수 있다. 실수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
⟨
u
,
v
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle u,v\rangle \in \mathbb {R} }
V
{\displaystyle V}
내적 이라고 한다. 복소수 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
⟨
u
,
v
⟩
∈
C
{\displaystyle \langle u,v\rangle \in \mathbb {C} }
V
{\displaystyle V}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
[ 2] :271
(
a
1
,
a
2
)
⋅
(
b
1
,
b
2
)
=
a
1
b
1
−
a
2
b
1
−
a
1
b
2
+
4
a
2
b
2
{\displaystyle (a_{1},a_{2})\cdot (b_{1},b_{2})=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}+4a_{2}b_{2}}
두 실숫값 함수
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
⟨
f
,
g
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle f,g\rangle \in \mathbb {R} }
급수 대신 적분 을 사용하여 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 역시 양의 정부호성과 대칭성과 쌍선형성을 만족시킨다.
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}
보다 일반적으로, 두 복소숫값 함수
f
,
g
:
[
a
,
b
]
→
C
{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {C} }
⟨
f
,
g
⟩
∈
C
{\displaystyle \langle f,g\rangle \in \mathbb {C} }
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
a
b
f
(
x
)
¯
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)dx}
사이즈가 같은 두 실수 행렬
A
,
B
{\displaystyle A,B}
프로베니우스 내적 (영어 : Frobenius inner product )
A
:
B
{\displaystyle A:B}
대각합 과 행렬 곱셈 을 통해 나타낼 수도 있다. 즉, 다음과 같다.
A
:
B
=
tr
(
A
T
B
)
=
∑
i
,
j
A
i
j
B
i
j
{\displaystyle A:B=\operatorname {tr} (A^{\operatorname {T} }B)=\sum _{i,j}A_{ij}B_{ij}}
보다 일반적으로, 두 복소수 행렬
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
:
B
=
tr
(
A
∗
B
)
=
∑
i
,
j
A
i
j
¯
B
i
j
{\displaystyle A:B=\operatorname {tr} (A^{*}B)=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}}
여기서
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
{\displaystyle A}
켤레전치 이다.
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c9cdd885f66cd36e34a6418e28444dfc32ed27)
![{\displaystyle f,g\colon [a,b]\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d203bd5dd281940020a3cff7f9436e4aa8b34ba3)
