체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
V
′
{\displaystyle V'}
자기 동형 사상
σ
:
K
→
K
{\displaystyle \sigma \colon K\to K}
σ
{\displaystyle \sigma }
반선형 변환 (半線型變換, 영어 : semilinear transformation )은 다음 조건을 만족시키는 함수
T
:
V
→
V
′
{\displaystyle T\colon V\to V'}
T
(
k
u
+
v
)
=
σ
(
k
)
T
(
u
)
+
T
(
v
)
∀
u
,
v
∈
V
,
k
∈
K
{\displaystyle T(ku+v)=\sigma (k)T(u)+T(v)\qquad \forall u,v\in V,\;k\in K}
체
K
{\displaystyle K}
아핀 공간
(
A
,
V
(
A
)
)
{\displaystyle (A,V(A))}
(
A
′
,
V
(
A
′
)
)
{\displaystyle (A',V(A'))}
자기 동형 사상
σ
:
K
→
K
{\displaystyle \sigma \colon K\to K}
F
:
A
→
A
′
{\displaystyle F\colon A\to A'}
동치 이며, 이를 만족시키는 함수를
σ
{\displaystyle \sigma }
반아핀 변환 (半-變換, 영어 : semiaffine transformation )이라고 한다.
어떤 점
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
v
↦
F
(
a
+
v
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle v\mapsto F(a+v)-F(a)}
σ
{\displaystyle \sigma }
V
(
A
)
→
V
(
A
′
)
{\displaystyle V(A)\to V(A')}
모든 점
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
v
↦
F
(
a
+
v
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle v\mapsto F(a+v)-F(a)}
σ
{\displaystyle \sigma }
V
(
A
)
→
V
(
A
′
)
{\displaystyle V(A)\to V(A')}
반아핀 변환
F
{\displaystyle F}
T
(
F
)
:
V
(
A
)
→
V
(
A
′
)
{\displaystyle T(F)\colon V(A)\to V(A')}
T
(
F
)
:
v
↦
F
(
a
+
v
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle T(F)\colon v\mapsto F(a+v)-F(a)}
는 점
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
F
(
b
)
=
F
(
a
)
+
T
(
F
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle F(b)=F(a)+T(F)(b-a)}
벡터 표기법을 사용하면 이는 다음과 같다.
F
→
(
a
b
→
)
=
F
(
a
)
F
(
b
)
→
{\displaystyle {\overrightarrow {F}}({\overrightarrow {ab}})={\overrightarrow {F(a)F(b)}}}
여기서
T
(
F
)
=
F
→
{\displaystyle T(F)={\overrightarrow {F}}}
b
−
a
=
a
b
→
{\displaystyle b-a={\overrightarrow {ab}}}
이다.
선형 변환 항등 함수
σ
=
id
K
{\displaystyle \sigma =\operatorname {id} _{K}}
아핀 변환 은 항등 함수
σ
=
id
K
{\displaystyle \sigma =\operatorname {id} _{K}}
T
(
F
)
{\displaystyle T(F)}
선형 변환 인 반아핀 변환이다.
모든 반아핀 변환은 공선점 과 평행 부분 아핀 공간 을 보존한다. 모든 아핀 변환은 무게 중심 를 보존하며, 특히 중점 을 보존한다.
체
K
{\displaystyle K}
아핀 공간
(
A
,
V
(
A
)
)
{\displaystyle (A,V(A))}
벡터 공간
V
′
{\displaystyle V'}
Hom
K
(
A
,
V
′
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(A,V')}
체
K
{\displaystyle K}
아핀 공간
(
A
,
V
(
A
)
)
{\displaystyle (A,V(A))}
(
A
′
,
V
(
A
′
)
)
{\displaystyle (A',V(A'))}
Hom
K
(
A
,
A
′
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(A,A')}
V
(
Hom
K
(
A
,
A
′
)
)
=
Hom
K
(
A
,
V
(
A
′
)
)
{\displaystyle V(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\operatorname {Hom} _{K}(A,V(A'))}
dim
(
Hom
K
(
A
,
A
′
)
)
=
dim
A
′
(
dim
A
+
1
)
{\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} _{K}(A,A'))=\dim A'(\dim A+1)}
아핀 변환
F
:
A
→
A
′
{\displaystyle F\colon A\to A'}
G
:
A
′
→
A
″
{\displaystyle G\colon A'\to A''}
합성
G
∘
F
:
A
→
A
″
{\displaystyle G\circ F\colon A\to A''}
전단사 아핀 변환
F
:
A
→
A
′
{\displaystyle F\colon A\to A'}
역함수
F
−
1
:
A
′
→
A
{\displaystyle F^{-1}\colon A'\to A}
(
A
,
V
(
A
)
)
{\displaystyle (A,V(A))}
군 을 이루며, 이를 아핀 군
Aff
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Aff} (A)}
평행 이동 들의 벡터 공간
V
(
A
)
{\displaystyle V(A)}
일반 선형군
GL
(
V
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (V(A))}
반직접곱 과 동형 이다.
Aff
(
A
)
≅
V
(
A
)
⋊
GL
(
V
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {Aff} (A)\cong V(A)\rtimes \operatorname {GL} (V(A))}
만약
A
{\displaystyle A}
벡터 공간 일 경우 위 동형은 자연스럽다.
아핀 기하학의 기본 정리 (-畿何學-基本定理, 영어 : fundamental theorem of affine geometry )에 따르면, 체
K
{\displaystyle K}
d
≠
1
{\displaystyle d\neq 1}
아핀 공간
A
{\displaystyle A}
전단사 함수
F
:
A
→
A
{\displaystyle F\colon A\to A}
동치 이다.
공선점 을 보존한다. 즉, 만약
a
,
b
,
c
∈
A
{\displaystyle a,b,c\in A}
공선점 이라면,
F
(
a
)
,
F
(
b
)
,
F
(
c
)
∈
A
{\displaystyle F(a),F(b),F(c)\in A}
공선점 이다.반아핀 변환이다. 특히, 실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
자기 동형 사상 은 항등 함수 밖에 없으므로, 유한
d
≠
1
{\displaystyle d\neq 1}
실수 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
전단사 함수
F
:
A
→
A
{\displaystyle F\colon A\to A}
동치 이다.
마찬가지로, 복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
연속 자기 동형 사상 은 항등 함수 와 켤레 복소수
z
↦
z
¯
{\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
d
≠
1
{\displaystyle d\neq 1}
복소수 아핀 공간
A
{\displaystyle A}
연속 전단사 함수
F
:
A
→
A
{\displaystyle F\colon A\to A}
동치 이다.
1차원에서는 모든 함수가 공선점 을 보존하므로 일반적으로 아핀 기하학의 기본 정리가 성립하지 않는다.
체
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
아핀 공간
(
A
,
V
(
A
)
)
{\displaystyle (A,V(A))}
(
A
′
,
V
(
A
′
)
)
{\displaystyle (A',V(A'))}
F
:
A
→
A
′
{\displaystyle F\colon A\to A'}
아핀 틀
(
o
,
B
)
{\displaystyle (o,B)}
(
o
′
,
B
′
)
{\displaystyle (o',B')}
행렬 로 표현할 수 있다.
M
(
o
,
B
)
,
(
o
′
,
B
′
)
(
F
)
=
(
1
0
1
×
n
a
m
×
1
M
B
,
B
′
(
T
(
F
)
)
m
×
n
)
{\displaystyle M_{(o,B),(o',B')}(F)={\begin{pmatrix}1&0_{1\times n}\\a_{m\times 1}&{M_{B,B'}(T(F))}_{m\times n}\end{pmatrix}}}
여기서
M
B
,
B
′
(
T
(
F
)
)
{\displaystyle M_{B,B'}(T(F))}
B
{\displaystyle B}
B
′
{\displaystyle B'}
T
(
F
)
{\displaystyle T(F)}
행렬 이다.
특히, 유한 차원 아핀 군
Aff
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Aff} (n;K)}
일반선형군
GL
(
n
+
1
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n+1;K)}
부분군 으로 여길 수 있다.
유클리드 공간
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
행렬식 의 절댓값 과 같다. 다시 말해,
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
르베그 측도 를
μ
{\displaystyle \mu }
가측 집합
S
⊆
R
d
{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{d}}
F
:
R
d
→
R
d
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}
μ
(
F
(
S
)
)
=
|
det
T
(
F
)
|
μ
(
S
)
{\displaystyle \mu (F(S))=|{\det T(F)}|\mu (S)}
아핀 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.
모든 반선형 변환은 반아핀 변환이다. 모든 선형 변환 은 아핀 변환이다.
유클리드 공간 위의 다음과 같은 함수들은 아핀 변환이다.
1차원 복소수 벡터 공간
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
켤레 복소수 함수
C
→
C
{\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }
z
↦
z
¯
{\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}
는 반선형 변환이며, 특히 반아핀 변환이다.
이 부분의 본문은 아핀 군입니다.
