확률 과정 이론에서, 위너 확률 과정 (Wiener確率過程, 영어 : Wiener stochastic process ) 또는 위너 과정 (Wiener過程)은 시간차
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
확률 분포 가 평균 0, 분산
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
정규 분포 를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 거의 확실하게 연속 적인 연속 시간 확률 과정 이다.
3차원 위너 과정
다음이 주어졌다고 하자.
유한 차원 유클리드 공간
R
d
{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
확률 과정
(
W
t
:
Ω
→
R
n
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}}
이 다음 조건들을 만족시킨다면, 위너 확률 과정 (영어 : Wiener stochastic process )이라고 한다.
임의의
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle t\in [0,\infty )}
Δ
t
>
0
{\displaystyle \Delta t>0}
확률 변수
W
t
+
Δ
t
−
W
t
:
Ω
→
V
{\displaystyle W_{t+\Delta t}-W_{t}\colon \Omega \to V}
확률 분포 는 평균이 0이며 분산 이
t
{\displaystyle t}
정규 분포
N
(
0
,
Δ
t
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\Delta t)}
(초기 조건)
Pr
(
W
0
=
0
)
=
1
{\displaystyle \Pr(W_{0}=0)=1}
거의 확실하게
W
0
=
0
{\displaystyle W_{0}=0}
임의의
0
≤
s
≤
t
≤
u
{\displaystyle 0\leq s\leq t\leq u}
W
u
−
W
t
{\displaystyle W_{u}-W_{t}}
W
s
{\displaystyle W_{s}}
독립 이다.
Pr
(
W
t
∈
C
0
(
R
,
V
)
)
=
1
{\displaystyle \Pr(W_{t}\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ,V))=1}
W
t
{\displaystyle W_{t}}
거의 확실하게 연속 함수
R
→
V
{\displaystyle \mathbb {R} \to V}
임의의
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle t\in [0,\infty )}
∀
s
∈
(
t
−
δ
,
t
+
δ
)
:
‖
W
max
{
0
,
s
}
(
ω
)
−
W
t
(
ω
)
‖
<
ϵ
{\displaystyle \forall s\in (t-\delta ,t+\delta )\colon \|W_{\max\{0,s\}}(\omega )-W_{t}(\omega )\|<\epsilon }
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
다음이 주어졌다고 하자.
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
실수 힐베르트 공간
L
2
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}
정규 직교 기저
(
f
i
:
[
0
,
1
]
→
R
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon [0,1]\to \mathbb {R} )_{i\in I}}
I
{\displaystyle I}
가산 무한 집합 이다.서로 독립 이며, 평균 0, 분산 1의 정규 분포 를 따르는 확률 변수 들의 열
(
X
i
:
Ω
→
R
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{i\in I}}
그렇다면, 임의의
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
급수
W
(
t
)
=
∑
i
∈
I
X
i
⟨
1
[
0
,
t
]
|
f
i
⟩
L
2
(
[
0
,
1
]
,
R
)
∈
L
2
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle W(t)=\sum _{i\in I}X_{i}\langle 1_{[0,t]}|f_{i}\rangle _{\operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}\in \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}
는 (
L
2
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}
거리 위상 에서) 수렴한다. (여기서
1
[
0
,
t
]
{\displaystyle 1_{[0,t]}}
지시 함수 이다.) 이는 위너 확률 과정의 정의를 거의 확실한 연속성만을 제외하고 모두 만족시킨다.
만약 정규 직교 기저 를
f
i
(
x
)
=
{
2
cos
(
π
i
x
)
i
∈
{
1
,
2
,
…
}
1
i
=
0
{\displaystyle f_{i}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2}}\cos(\pi ix)&i\in \{1,2,\dotsc \}\\1&i=0\end{cases}}}
로 잡는다면, 위 급수가
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,1]}
균등 수렴 하는 것을 보일 수 있으며, 이 경우 이 급수는 위너 확률 과정을 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4239dd8987d73e42f45121ba5c18872d1b3b1d)
![{\displaystyle (f_{i}\colon [0,1]\to \mathbb {R} )_{i\in I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a923f307d25ebaeedfac90a772bef6b379084a6e)
![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
![{\displaystyle W(t)=\sum _{i\in I}X_{i}\langle 1_{[0,t]}|f_{i}\rangle _{\operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}\in \operatorname {L} ^{2}([0,1],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad95aa2305e6c1ce66fcbc658450caf7336b94f)
![{\displaystyle 1_{[0,t]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc6202149d1ad8c26cbf68e3562bbb0a9e582bfc)
