군론 에서 순환군 (循環群, 영어 : cyclic group )은 한 원소로 생성될 수 있는 군 이다. 즉, 순환군의 모든 원소는 어떤 고정된 원소의 거듭제곱이다. (군의 연산이 곱셈이 아닌 덧셈일 경우, 모든 원소는 고정 원소의 정수배이다.)
군 의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
순환군
⟨
g
⟩
{\displaystyle \langle g\rangle }
⟨
g
⟩
=
{
g
n
:
n
∈
Z
}
=
{
…
,
g
−
2
,
g
−
1
,
1
,
g
,
g
2
,
…
}
≤
G
{\displaystyle \langle g\rangle =\{g^{n}\colon n\in \mathbb {Z} \}=\{\dots ,g^{-2},g^{-1},1,g,g^{2},\dots \}\leq G}
군
G
{\displaystyle G}
차수 (次數, 영어 : order ,ord) 또는 위수 (位數)는 집합으로서의 크기
|
G
|
{\displaystyle |G|}
군의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
차수
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} g}
항등원 이 되는 최소 지수와 같거나, 그러한 지수가 없다면 무한대와 같다.
ord
g
=
|
⟨
g
⟩
|
=
{
∞
∄
n
∈
Z
+
:
g
n
=
1
min
{
n
∈
Z
+
:
g
n
=
1
}
∃
n
∈
Z
+
:
g
n
=
1
∈
Z
+
∪
{
∞
}
{\displaystyle \operatorname {ord} g=|\langle g\rangle |={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\\\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}
군
G
{\displaystyle G}
지수 (指數, 영어 : exponent )
exp
G
{\displaystyle \exp G}
exp
G
=
{
∞
∄
n
∈
Z
+
∀
g
∈
G
:
g
n
=
1
lcm
g
∈
G
ord
g
=
min
{
n
∈
Z
+
:
∀
g
∈
G
:
g
n
=
1
}
∃
n
∈
Z
+
∀
g
∈
G
:
g
n
=
1
∈
Z
+
∪
{
∞
}
{\displaystyle \exp G={\begin{cases}\infty &\not \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\\\operatorname {lcm} _{g\in G}\operatorname {ord} g=\min\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \forall g\in G\colon g^{n}=1\}&\exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\forall g\in G\colon g^{n}=1\end{cases}}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}
순환군은 정수군 또는 그 몫군 과 동형 이다. 무한 순환군은 정수군, 유한 순환군은 정수군의 유한 몫군과 동형이다.
⟨
g
⟩
≅
{
Z
ord
g
=
∞
Z
ord
g
ord
g
<
∞
{\displaystyle \langle g\rangle \cong {\begin{cases}Z&\operatorname {ord} g=\infty \\Z_{\operatorname {ord} g}&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}
군의 유한 차수 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
(⇐)
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
n
=
n
′
ord
g
{\displaystyle n=n'\operatorname {ord} g}
n
′
∈
Z
{\displaystyle n'\in \mathbb {Z} }
g
n
=
(
g
ord
g
)
n
′
=
1
n
′
=
1
{\displaystyle g^{n}=(g^{\operatorname {ord} g})^{n'}=1^{n'}=1}
(⇒)
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
n
{\displaystyle n}
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} g}
n
=
q
ord
g
+
r
{\displaystyle n=q\operatorname {ord} g+r}
g
r
=
g
n
g
−
ord
g
=
1
{\displaystyle g^{r}=g^{n}g^{-\operatorname {ord} g}=1}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
지수가 유한한 군
G
{\displaystyle G}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in \mathbb {G} }
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
exp
G
∣
n
{\displaystyle \exp G\mid n}
(⇐)
exp
G
∣
n
{\displaystyle \exp G\mid n}
n
=
n
′
exp
G
{\displaystyle n=n'\exp G}
n
′
∈
Z
{\displaystyle n'\in \mathbb {Z} }
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
n
=
(
g
exp
G
)
n
′
=
1
n
′
=
1
{\displaystyle g^{n}=(g^{\exp G})^{n'}=1^{n'}=1}
(⇒) 임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
n
=
1
{\displaystyle g^{n}=1}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
ord
g
∣
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n}
exp
G
∣
n
{\displaystyle \exp G\mid n}
유한군
G
{\displaystyle G}
ord
g
∣
exp
G
∣
|
G
|
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid \exp G\mid |G|}
군의 유한 차수 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
정규 부분군
N
◃
G
{\displaystyle N\triangleleft G}
ord
(
g
N
)
∣
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} (gN)\mid \operatorname {ord} g}
(
g
N
)
ord
g
=
g
ord
g
N
=
N
{\displaystyle (gN)^{\operatorname {ord} g}=g^{\operatorname {ord} g}N=N}
군의 유한 차수 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
ord
g
n
=
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
{\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}={\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}
다음 두 가지를 보이는 것으로 족하다.
ord
g
n
∣
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
{\displaystyle \operatorname {ord} g^{n}\mid {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}}
증명:
(
g
n
)
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
=
(
g
ord
g
)
n
gcd
{
ord
g
,
n
}
=
1
n
gcd
{
ord
g
,
n
}
=
1
{\displaystyle (g^{n})^{\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=(g^{\operatorname {ord} g})^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1^{\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}=1}
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
∣
ord
g
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}
증명:
1
=
(
g
n
)
ord
g
n
=
g
n
ord
g
n
{\displaystyle 1=(g^{n})^{\operatorname {ord} g^{n}}=g^{n\operatorname {ord} g^{n}}}
ord
g
∣
n
ord
g
n
{\displaystyle \operatorname {ord} g\mid n\operatorname {ord} g^{n}}
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
∣
n
gcd
{
ord
g
,
n
}
ord
g
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid {\frac {n}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\operatorname {ord} g^{n}}
ord
g
gcd
{
ord
g
,
n
}
∣
ord
g
n
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} g}{\gcd\{\operatorname {ord} g,n\}}}\mid \operatorname {ord} g^{n}}
군의 원소
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
g
h
=
h
g
{\displaystyle gh=hg}
gcd
{
ord
g
,
ord
h
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{\operatorname {ord} g,\operatorname {ord} h\}=1}
그렇다면, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
ord
(
g
h
)
=
ord
g
ord
h
{\displaystyle \operatorname {ord} (gh)=\operatorname {ord} g\operatorname {ord} h}
반대로, 군의 원소
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
ord
x
=
m
n
(
gcd
{
m
,
n
}
=
1
)
{\displaystyle \operatorname {ord} x=mn\qquad (\gcd\{m,n\}=1)}
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
x
=
g
h
=
h
g
{\displaystyle x=gh=hg}
ord
g
=
m
{\displaystyle \operatorname {ord} g=m}
ord
h
=
n
{\displaystyle \operatorname {ord} h=n}
유한 아벨 군
G
{\displaystyle G}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
임의의
h
∈
G
{\displaystyle h\in G}
ord
h
∣
ord
g
{\displaystyle \operatorname {ord} h\mid \operatorname {ord} g}
즉, 다음이 성립한다.
max
g
∈
G
ord
g
=
exp
G
{\displaystyle \max _{g\in G}\operatorname {ord} g=\exp G}
모든 순환군은 유한 생성 아벨 군 이다.
군
G
{\displaystyle G}
동치 이다.
|
G
|
{\displaystyle |G|}
소수 이다.
G
{\displaystyle G}
단순군 이다.
G
{\displaystyle G}
아벨 단순군이다.
소수 크기의 군 ⇒ 순환 단순군:
|
G
|
{\displaystyle |G|}
라그랑주 정리 에 따라, 그 부분군은
{
1
G
}
,
G
{\displaystyle \{1_{G}\},G}
G
{\displaystyle G}
1
G
≠
g
∈
G
{\displaystyle 1_{G}\neq g\in G}
|
⟨
g
⟩
|
=
p
{\displaystyle |\langle g\rangle |=p}
⟨
g
⟩
=
G
{\displaystyle \langle g\rangle =G}
G
{\displaystyle G}
순환 단순군 ⇒ 아벨 단순군: 모든 순환군은 아벨 군이므로 성립한다.아벨 단순군 ⇒ 소수 크기의 군:
|
G
|
{\displaystyle |G|}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
1
G
≠
g
∈
G
{\displaystyle 1_{G}\neq g\in G}
⟨
g
⟩
◃
G
{\displaystyle \langle g\rangle \triangleleft G}
⟨
g
⟩
≠
1
,
G
{\displaystyle \langle g\rangle \neq 1,G}
G
{\displaystyle G}
순환군의 부분군 역시 순환군이다. 구체적으로,
⟨
g
⟩
{\displaystyle \langle g\rangle }
⟨
g
n
⟩
{
n
∈
Z
ord
g
=
∞
n
∣
ord
g
ord
g
<
∞
{\displaystyle \langle g^{n}\rangle \qquad {\begin{cases}n\in \mathbb {Z} &\operatorname {ord} g=\infty \\n\mid \operatorname {ord} g&\operatorname {ord} g<\infty \end{cases}}}
순환군의 몫군 역시 순환군이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
동치 이다.
G
{\displaystyle G}
임의의,
|
G
|
{\displaystyle |G|}
d
{\displaystyle d}
{
H
≤
G
:
|
H
|
=
d
}
≤
1
{\displaystyle \{H\leq G\colon |H|=d\}\leq 1}
임의의
m
∈
Z
+
{\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}
|
{
x
∈
G
:
x
m
=
1
}
|
≤
m
{\displaystyle |\{x\in G\colon x^{m}=1\}|\leq m}
(1) ⇒ (2): 순환군
⟨
g
⟩
{\displaystyle \langle g\rangle }
d
{\displaystyle d}
⟨
g
ord
g
d
⟩
{\displaystyle \langle g^{\frac {\operatorname {ord} g}{d}}\rangle }
(1) ⇐ (2): 임의의
0
<
d
∣
|
G
|
{\displaystyle 0<d\mid |G|}
|
{
g
∈
G
:
ord
g
=
d
}
|
=
ϕ
(
d
)
>
0
{\displaystyle |\{g\in G\colon \operatorname {ord} g=d\}|=\phi (d)>0}
ϕ
{\displaystyle \phi }
오일러 피 함수 이다.) 그렇다면, 특히
ord
g
=
|
G
|
{\displaystyle \operatorname {ord} g=|G|}
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
G
{\displaystyle G}
증명:
ord
g
=
ord
h
=
d
{\displaystyle \operatorname {ord} g=\operatorname {ord} h=d}
g
,
h
∈
G
{\displaystyle g,h\in G}
⟨
g
⟩
=
⟨
h
⟩
{\displaystyle \langle g\rangle =\langle h\rangle }
h
=
g
n
{\displaystyle h=g^{n}}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
gcd
{
n
,
d
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{n,d\}=1}
ϕ
(
d
)
{\displaystyle \phi (d)}
n
=
∑
d
∣
|
G
|
ϕ
(
d
)
{\displaystyle n=\sum _{d\mid |G|}\phi (d)}
ϕ
(
d
)
{\displaystyle \phi (d)}
(1) ⇔ (3): : 쉴로브 정리 를 사용하여 증명할 수 있다.
순환군
Z
m
,
Z
n
{\displaystyle Z_{m},Z_{n}}
Z
m
⊕
Z
n
≅
Z
m
n
{\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\cong Z_{mn}}
gcd
{
m
,
n
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}
(⇐)
ord
(
1
⊕
1
)
=
ord
(
1
⊕
0
)
ord
(
0
⊕
1
)
=
m
n
{\displaystyle \operatorname {ord} (1\oplus 1)=\operatorname {ord} (1\oplus 0)\operatorname {ord} (0\oplus 1)=mn}
(⇒) 만약
gcd
{
m
,
n
}
≠
1
{\displaystyle \gcd\{m,n\}\neq 1}
|
{
a
⊕
b
∈
Z
m
⊕
Z
n
:
(
a
⊕
b
)
m
n
gcd
{
m
,
n
}
=
1
}
|
=
|
Z
m
⊕
Z
n
|
=
m
n
>
m
n
gcd
{
m
,
n
}
{\displaystyle |\{a\oplus b\in Z_{m}\oplus Z_{n}\colon (a\oplus b)^{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}=1\}|=|Z_{m}\oplus Z_{n}|=mn>{\frac {mn}{\gcd\{m,n\}}}}
Z
m
⊕
Z
n
≇
Z
m
n
{\displaystyle Z_{m}\oplus Z_{n}\not \cong Z_{mn}}
코시 정리 에 따르면, 임의의 소인수
p
∣
|
G
|
{\displaystyle p\mid |G|}
ord
g
p
=
p
{\displaystyle \operatorname {ord} g_{p}=p}
g
p
∈
G
{\displaystyle g_{p}\in G}
유한 아벨 군의 분해에 응용되는 한 가지 핵심적인 보조정리는 다음과 같다.
G
{\displaystyle G}
p-군 ,
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
G
=
⟨
a
⟩
×
B
{\displaystyle G=\langle a\rangle \times B}
B
≤
G
{\displaystyle B\leq G}
귀류법 을 사용하여,
G
{\displaystyle G}
|
G
|
≥
2
{\displaystyle |G|\geq 2}
G
≠
⟨
a
⟩
{\displaystyle G\neq \langle a\rangle }
b
∈
G
∖
⟨
a
⟩
{\displaystyle b\in G\setminus \langle a\rangle }
ord
b
=
p
{\displaystyle \operatorname {ord} b=p}
증명: 그렇지 않다면,
ord
b
=
p
e
{\displaystyle \operatorname {ord} b=p^{e}}
e
≥
2
{\displaystyle e\geq 2}
ord
b
p
=
p
e
−
1
{\displaystyle \operatorname {ord} b^{p}=p^{e-1}}
b
p
∈
⟨
a
⟩
{\displaystyle b^{p}\in \langle a\rangle }
b
p
=
a
n
{\displaystyle b^{p}=a^{n}}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
ord
a
gcd
{
ord
a
,
n
}
=
ord
b
p
<
ord
b
≤
ord
a
{\displaystyle {\frac {\operatorname {ord} a}{\gcd\{\operatorname {ord} a,n\}}}=\operatorname {ord} b^{p}<\operatorname {ord} b\leq \operatorname {ord} a}
p
∣
n
{\displaystyle p\mid n}
(
b
a
−
n
p
)
p
=
1
G
{\displaystyle (ba^{-{\frac {n}{p}}})^{p}=1_{G}}
b
a
−
n
p
∈
G
∖
⟨
a
⟩
{\displaystyle ba^{-{\frac {n}{p}}}\in G\setminus \langle a\rangle }
b
{\displaystyle b}
⟨
a
⟩
∩
⟨
b
⟩
=
1
{\displaystyle \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1}
증명:
1
G
≠
a
m
=
b
n
∈
⟨
a
⟩
∩
⟨
b
⟩
{\displaystyle 1_{G}\neq a^{m}=b^{n}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle }
0
≤
n
<
p
{\displaystyle 0\leq n<p}
1
=
n
u
+
p
v
{\displaystyle 1=nu+pv}
u
,
v
∈
Z
{\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} }
b
=
b
n
u
b
p
v
=
a
m
u
∈
⟨
a
⟩
{\displaystyle b=b^{nu}b^{pv}=a^{mu}\in \langle a\rangle }
a
⟨
b
⟩
∈
G
/
⟨
b
⟩
{\displaystyle a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle }
증명: 우선
ord
(
a
⟨
b
⟩
)
∣
ord
a
{\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )\mid \operatorname {ord} a}
ord
(
a
⟨
b
⟩
)
<
ord
a
{\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )<\operatorname {ord} a}
(
a
⟨
b
⟩
)
ord
a
p
=
1
{\displaystyle (a\langle b\rangle )^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}=1}
a
ord
a
p
∈
⟨
a
⟩
∩
⟨
b
⟩
=
1
{\displaystyle a^{\frac {\operatorname {ord} a}{p}}\in \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1}
ord
(
a
⟨
b
⟩
)
=
ord
a
{\displaystyle \operatorname {ord} (a\langle b\rangle )=\operatorname {ord} a}
a
⟨
b
⟩
∈
G
/
⟨
b
⟩
{\displaystyle a\langle b\rangle \in G/\langle b\rangle }
G
/
⟨
b
⟩
=
⟨
a
⟨
b
⟩
⟩
×
(
B
/
⟨
b
⟩
)
{\displaystyle G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )}
⟨
b
⟩
⊆
B
≤
G
/
⟨
b
⟩
{\displaystyle \langle b\rangle \subseteq B\leq G/\langle b\rangle }
증명:
|
G
/
⟨
b
⟩
|
=
|
G
|
/
p
<
|
G
|
{\displaystyle |G/\langle b\rangle |=|G|/p<|G|}
G
=
⟨
a
⟩
×
B
{\displaystyle G=\langle a\rangle \times B}
증명: 우선,
G
/
⟨
b
⟩
=
⟨
a
⟨
b
⟩
⟩
×
(
B
/
⟨
b
⟩
)
=
(
⟨
a
⟩
/
⟨
b
⟩
)
×
(
B
/
⟨
b
⟩
)
=
(
⟨
a
⟩
B
)
/
⟨
b
⟩
{\displaystyle G/\langle b\rangle =\langle a\langle b\rangle \rangle \times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle /\langle b\rangle )\times (B/\langle b\rangle )=(\langle a\rangle B)/\langle b\rangle }
G
=
⟨
a
⟩
B
{\displaystyle G=\langle a\rangle B}
(
⟨
a
⟩
∩
B
)
/
⟨
b
⟩
⊆
(
⟨
a
⟩
/
⟨
b
⟩
)
∩
(
B
/
⟨
b
⟩
)
=
{
⟨
b
⟩
}
{\displaystyle (\langle a\rangle \cap B)/\langle b\rangle \subseteq (\langle a\rangle /\langle b\rangle )\cap (B/\langle b\rangle )=\{\langle b\rangle \}}
⟨
a
⟩
∩
B
⊆
⟨
a
⟩
∩
⟨
b
⟩
=
1
{\displaystyle \langle a\rangle \cap B\subseteq \langle a\rangle \cap \langle b\rangle =1}
G
=
⟨
a
⟩
×
B
{\displaystyle G=\langle a\rangle \times B}
이 부분의 본문은 아벨 군입니다.
