코시 정리 (군론)

군론에서 코시 정리(영어: Cauchy’s theorem)는 유한군의 크기의 소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다. 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.^:324

정의

코시 정리에 따르면, 만약 소수 $p$가 유한군 $G$의 크기 $|G|$의 소인수라면, $G$는 위수가 $p$인 원소를 갖는다.^:322

증명 1:

우선 $G$가 유한 아벨 군인 경우를 증명하자. 귀류법을 사용하여 $G$가 $p$차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상 $G$가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가 $p$를 소인수로 하는, $G$보다 작은 크기의 모든 유한 아벨 군은 $p$차 원소를 갖는다.) 그렇다면 $G$는 순환군일 수 없다. (만약 $G$가 $g\in G$로 생성된 순환군이라면, $g^{|G|/p}$는 $G$의 $p$차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의 $1\neq g\in G$를 취하자. $H$가 $g$로 생성된 순환군이라고 하자. 그렇다면 $H\neq G$이며, $p$는 $g$의 위수 $|H|$의 약수가 아니다. (만약 $p\mid |H|$라면, $H$가 $p$차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서 $p\mid |G|/|H|$이며, 또한 $|G|/|H|<|G|$이므로, 몫군 $G/H$은 $p$차 원소 $kH$ ($k\in G$)를 가진다. 즉, $k\not \in H$이며 $k^{p}\in H$이다. 이제 $k^{|H|}\in G$가 $p$차 원소임을 보이자. 우선

$(k^{|H|})^{p}=(k^{p})^{|H|}=1$

이므로 $k^{|H|}$의 위수는 1 또는 $p$이다. 만약 $k^{|H|}$의 위수가 1이라면, 즉 $k^{|H|}=1$이라면, $p$와 $|H|$은 서로소이므로 $1=ap+b|H|$인 정수 $a,b$가 존재한다. 따라서

$k=k^{ap+b|H|}=k^{ap}\in H$

이며, 이는 모순이다. 즉, $k^{|H|}$의 위수는 $p$이다.

이제 $G$가 일반적인 유한군인 경우를 증명하자. 마찬가지로, $G$가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가 $p$를 소인수로 하는, $G$보다 작은 크기의 모든 유한군은 $p$차 원소를 갖는다.) $G$의 중심 $\operatorname {Z} (G)$은 $G$의 아벨 부분군을 이루므로, 위 증명에 따라 $\operatorname {Z} (G)\neq G$이며, 따라서 $p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|$이다. 켤레류 방정식

$|G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{g\in S}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g)}|}}$

을 생각하자. 여기서 $S\subseteq G\setminus \operatorname {Z} (G)$는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며, $\operatorname {C} _{G}(g)$는 $g$에 대한 $G$의 중심화 부분군이다. $p\mid |G|$, $p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|$이므로, $p\mid |{\operatorname {C} _{G}(g)}|$인 $g\in S$가 존재한다. $|{\operatorname {C} _{G}(g)}|<|G|$이므로, $\operatorname {C} _{G}(g)$는 $p$차 원소를 가지며, 이는 모순이다.

증명 2:

$p$차 대칭군 $\operatorname {Sym} (p)$ 속의 순환 $\sigma =(1~2~\cdots ~p)$으로 생성된, 크기 $p$의 순환군은 집합

$X=\{(g_{1},\dots ,g_{p})\in G^{p}\colon g_{1}\cdots g_{p}=1\}$

위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

$\sigma \cdot (g_{1},\dots ,g_{p})=(g_{\sigma (1)},\dots ,g_{\sigma (p)})=(g_{2},\dots ,g_{p},g_{1})$

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 $p$이다. 크기 1의 궤도의 수는 $g^{p}=1$인 원소 $g\in G$의 수와 같다. 즉, $p$차 원소의 수와 1차 원소(항등원 $1\in G$)의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. $X$의 각 원소는 그 앞의 $p-1$개의 성분으로 유일하게 결정되므로, $|X|=|G|^{p-1}$이며, 이는 $p$의 배수이다. 또한, 궤도들은 $X$를 분할하므로, 크기 $p$의 궤도들의 수의 $p$배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 $|X|=|G|^{p-1}$이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 $p$의 배수이며, 특히 $p$ 이상이다. 즉, 적어도 $p-1$개의 $p$차 원소가 존재한다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

• 라그랑주 정리 (군론)
• 쉴로브 정리

외부 링크

• “Cauchy’s theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Cauchy’s theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Cauchy’s lemma (group theory)”. 《ProofWiki》 (영어).