쉴로브 정리

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군론에서 쉴로브 정리(영어: Sylow theorems) 또는 실로우 정리유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의

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소수  가 주어졌을 때, p-군은 모든 원소의 위수 의 거듭제곱인 이다. 쉴로브 p-부분군(영어: Sylow p-subgroup)은 극대 p-부분군이다. 즉, 군  p-부분군  가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 p-부분군이라고 한다.

  • 임의의 p-부분군  에 대하여, 만약  라면,   또는  이다.

쉴로브 p-부분군의 집합을  로 표기하자.

유한군  와 소수  가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수  와 양의 정수  에 대하여

 

이며   서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.

  • 제1 쉴로브 정리(영어: first Sylow theorem): 크기가   의 부분군이 존재한다.
  • 제2 쉴로브 정리(영어: second Sylow theorem): 임의의 쉴로브 p-부분군  p-부분군  에 대하여,   가 존재한다. 특히,  의 모든 쉴로브 p-부분군은 서로 켤레이며, 모든 쉴로브 p-부분군의 크기는  이다.
  • 제3 쉴로브 정리(영어: third Sylow theorem): 크기가   의 부분군의 총수가  이며 (특히  ),   의 임의의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
    •  
    •  
    •  . (여기서  정규화 부분군이다.)

증명

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다음은  인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의  에 대한 경우에도 적용 가능하다.

제1 정리

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켤레 작용을 통한 증명

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크기가   의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기  에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.  한원소 집합이 아닌  켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.

 

이 경우 각  에 대하여   의 진부분군이다.

만약   의 약수가 되는  가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여   인 부분군  를 가지며, 이는 자명하게  의 부분군이다.

이제, 임의의  에 대하여,   의 약수가 아니라고 하자.  인 경우는 자명하다. 만약  이라면,   의 소인수다. 코시의 정리에 의하여   인 부분군  를 가지며, 이는  정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군  는 크기가  인 쉴로브 p-부분군  를 가지며, 이 경우  는 크기가   의 부분군이다.

빌란트의 증명

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헬무트 빌란트(독일어: Helmut Wielandt)의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상  이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.

 

이 위에  는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.

 
 

이 작용의 궤도들의 대표원을  라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.

 

또한

 

 와 서로소이므로 (이는 각  에 대하여   의 소인수  의 중복도가  의 소인수  의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기   와 서로소인  가 존재한다.  안정자군 라고 하자. 그렇다면,   의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여   을 약수로 갖는다. 또한  에 대하여,

 
 

단사 함수이므로,  이다.

정규화 부분군을 통한 증명

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임의의 쉴로브 p-부분군(즉, 극대 p-부분군)  에 대하여  임을 보이는 것으로 족하다.  정규화 부분군  를 생각하자. 그렇다면   의 정규 부분군이므로, 몫군  를 취할 수 있다.

우선,   의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여   의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여  인 부분군  가 존재한다. 이 경우 부분군   의 부분군이며,  를 만족시킨다. 이는  가 쉴로브 p-부분군인 데 모순이다.

이제,   의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합   위에서  가 다음과 같이 작용한다고 하자.

 
 

그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.

 

따라서,  가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약  가 임의의  에 대하여

 

를 만족시킨다면,  이며,  p-군이므로  의 위수는  의 거듭제곱이다. 따라서  의 ( 에서의) 위수 역시  의 거듭제곱이며, 또한 이는  의 약수이므로,  의 위수는 1이다. 즉,  이며,  이다. 즉,  가 성립한다.

이 두 가지 사실을 종합하면  을 얻는다. 이는

 

때문이다.

제2 정리

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왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명

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크기가  인 쉴로브 p-부분군  를 취하자. 임의의 p-부분군  에 대하여,   의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합   위에서  가 다음과 같이 작용한다고 하자.

 
 

또한,  의 크기는  와 서로소이므로, 궤도의 크기가  와 서로소인 원소  를 가지며, 이에 대한 안정자군은   전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.

 

이중 잉여류를 통한 증명

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크기가  인 쉴로브 p-부분군  를 취하자. 임의의 p-부분군  에 대하여,   의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합

 

 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.

 

즉,

 

이다. 또한   와 서로소이므로,   와 서로소가 되는  가 존재한다. 즉, 이  에 대하여

 

이다. 따라서,

 

이 성립한다.

제3 정리

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켤레 작용을 통한 증명

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쉴로브 p-부분군의 집합을  라고 하고, 이 위의 켤레 작용

 
 

를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의  에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군  이다. 따라서

 

이며, 이는

 

의 약수이다.

이제, 임의의  에 제한된 켤레 작용

 
 

를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식

 

가 성립한다. 이제  가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약  가 임의의  에 대하여  를 만족시킨다면,  이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

따라서, 합동식

 

가 성립한다.

빌란트의 증명

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집합

 

을 생각하자. 그렇다면,  는 정확히 다음과 같은 집합이다.

 

여기서   오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 p-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,

 

이다.

임의의  의 안정자군  p-부분군이다. 이는 임의의  에 대하여,  이므로,   의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히,  의 원소들의 안정자군은 p-부분군이다. 또한,   의 작용에 대하여 닫혀있으므로,   속 궤도들의 대표원  를 취할 수 있으며, 이 경우

 

가 성립한다.

또한,

 

가 성립한다. 이는 임의의  에 대하여,  의 소인수  의 중복도가  라고 할 때,

 

이기 때문이다.

이들 결론을 종합하면

 

을 얻으며,  이므로

 

가 성립한다.

쉴로브 부분군의 성질

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유한군  와 소수  가 주어졌다고 하자.

연산에 대한 닫힘

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만약   의 쉴로브 p-부분군이며,   의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.

  •   의 쉴로브 p-부분군이다.
  •   의 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

  의 쉴로브 p-부분군이라고 하자. 그렇다면   가 존재한다. 따라서

 

이며,

 

이다.   p-부분군이므로,

 

이며,   의 쉴로브 p-부분군이다.

두 번째 명제는 첫 번째 명제와

 

으로부터 유도된다.

충분 조건

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만약   p-부분군이며,  라면,   의 쉴로브 p-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

증명:

  의 켤레 부분군의 집합

 

위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.

 
 

그렇다면, 각 궤도의 크기는  의 약수이며, 특히  의 거듭제곱이다.

이제,  가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약  가 임의의  에 대하여  를 만족시킨다면,   를 취하면

 

이므로,  이다.

따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여

 

이며, 특히   의 쉴로브 p-부분군이다.

교집합

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만약   의 모든 쉴로브 p-부분군의 교집합이라고 하면,   특성 부분군이자 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 만약   의 정규 쉴로브 p-부분군이라면,  이며,   의 유일한 쉴로브 p-부분군이다.

증명:

우선,   의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 p-부분군  에 대하여,

 

 정규핵이기 때문이다.

이제,   의 모든 정규 p-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 p-부분군   및 쉴로브 p-부분군  에 대하여,  임을 보이면 된다.   의 부분군이며,

 

이므로 이는 p-부분군이다. 따라서  이며, 특히  이다.

이에 따라   의 유일한 극대 정규 p-부분군이다. 극대 정규 p-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상  에 대하여,   역시  의 극대 정규 p-부분군이며, 따라서  이다. 즉,   의 특성 부분군이다.

만약   의 정규 쉴로브 p-부분군이라면,  이므로,

 

이며, 따라서  이다.

다음과 같은 조건을 생각하자.

  •  인 두 쉴로브 p-부분군  가 존재한다.

이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.[1]

  •  홀수 비(非)메르센 소수이다.
  •  는 홀수이다.
  •  이며,  페르마 소수나 메르센 소수를 소인수로 갖지 않는다.

프라티니 논증

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만약   의 정규 부분군이며,   의 쉴로브 p-부분군이라면,  이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약   의 쉴로브 p-부분군,   의 부분군이며,  라면,  이다. 특히,  가 성립한다.

응용

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실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다.   소수이며,  라고 하자.

  •  일 경우, 크기가  인 군은 순환군동형이다.
  •  일 경우, 크기가  이며, 아벨 군이 아닌 군들은 모두 서로 동형이다.
  • 크기가   ( )인 군은 단순군이 아니다. 이는 번사이드 정리의 특수한 경우다.

역사

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노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.

같이 보기

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각주

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  1. Mann, Avionam (1975년 12월). “The Intersection of Sylow Subgroups”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 262-264. ISSN 0002-9939. JSTOR 2039991. 

외부 링크

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