해밀턴은 당시 알려져 있던 라그랑지안 과 라그랑주 방정식 에 대한 해석을 내놓았다. 그 결과는
δ
S
δ
q
(
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0}
이다. 여기서
S
[
q
]
=
d
e
f
∫
t
1
t
2
L
(
q
(
t
)
,
q
˙
(
t
)
,
t
)
,
d
t
{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\ ,dt}
이고,
L
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}
해밀턴 원리가 의미하는 바는 '운동 경로의 시작과 끝점이 주어졌고, 중간의 운동 방정식이 미리 주어져 있지 않았을 때, 물체의 운동은 라그랑지안을 시작점에서 끝점까지 시간에 따라 적분한 값이 최소가 되는 경로를 따른다'이다.
복소수 체계
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
순서쌍 복소수 표현
편집
(
a
1
,
b
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
,
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})}
∴
(
0
,
1
)
2
=
(
0
,
1
)
×
(
0
,
1
)
=
(
−
1
,
0
)
=
−
1
=
i
2
{\displaystyle \therefore \;(0,1)^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1=i^{2}}
∴
(
0
,
1
)
=
i
{\displaystyle \therefore \;(0,1)=i}
(
1
,
0
)
=
1
{\displaystyle \;(1,0)=1}
∵
(
1
,
0
)
2
=
(
1
,
0
)
×
(
1
,
0
)
=
(
1
,
0
)
=
1
=
1
2
{\displaystyle \because \;(1,0)^{2}=(1,0)\times (1,0)=(1,0)=1=1^{2}}
편집
2성분의 순서쌍을 확장하여 복소수
a
+
b
i
+
c
j
{\displaystyle a+bi+cj}
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
,
c
2
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})\cdot (a_{2},b_{2},c_{2})}
=
(
a
1
+
b
1
i
+
c
1
j
)
⋅
(
a
2
+
b
2
i
+
c
2
j
)
{\displaystyle =(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j)\cdot (a_{2}+b_{2}i+c_{2}j)}
=
a
1
a
2
+
a
1
b
2
i
+
a
1
c
2
j
+
b
1
i
a
2
+
b
1
i
b
2
i
+
b
1
i
c
2
j
+
c
1
j
a
2
+
c
1
j
b
2
i
+
c
1
j
c
2
j
{\displaystyle =a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+b_{1}ia_{2}+b_{1}ib_{2}i+b_{1}ic_{2}j+c_{1}ja_{2}+c_{1}jb_{2}i+c_{1}jc_{2}j}
=
a
1
a
2
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
b
1
b
2
i
2
+
c
1
c
2
j
2
+
b
1
c
2
i
j
+
c
1
b
2
j
i
{\displaystyle =a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+b_{1}b_{2}i^{2}+c_{1}c_{2}j^{2}+b_{1}c_{2}ij+c_{1}b_{2}ji}
i
2
=
−
1
=
j
2
,
i
j
=
−
j
i
=
k
{\displaystyle i^{2}=-1=j^{2},\;ij=-ji=k}
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
k
{\displaystyle =(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}
그리고
(
a
1
,
b
1
,
c
1
)
=
(
a
2
,
b
2
,
c
2
)
=
(
0
,
1
,
1
)
{\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})=(a_{2},b_{2},c_{2})=(0,1,1)}
(
0
,
1
,
1
)
⋅
(
0
,
1
,
1
)
{\displaystyle (0,1,1)\cdot (0,1,1)}
=
(
0
−
1
−
1
)
+
(
0
+
0
)
i
+
(
0
+
0
)
j
+
(
1
−
1
)
k
{\displaystyle =(0-1-1)+(0+0)i+(0+0)j+(1-1)k}
=
(
−
2
)
+
0
i
+
0
j
+
0
k
{\displaystyle =(-2)+0i+0j+0k}
=
−
2
≠
−
1
=
i
2
=
j
2
{\displaystyle =-2\neq -1=i^{2}=j^{2}}
이렇게 해서 불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 표현은 완전하지 않다.
그러나[ 1]
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
k
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}
오일러의 네 제곱수 항등식
(
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
+
a
4
2
)
(
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
+
b
4
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,}
(
a
1
a
2
−
a
2
b
2
−
a
3
b
3
−
a
4
b
4
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
+
a
3
b
4
−
a
4
b
3
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,}
(
a
1
b
3
−
a
2
b
4
+
a
3
b
1
+
a
4
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
4
+
a
2
b
3
−
a
3
b
2
+
a
4
b
1
)
2
{\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,}
a
4
2
=
b
4
2
=
0
{\displaystyle a_{4}^{2}=b_{4}^{2}=0}
불안정한 복소수 3성분의 순서쌍 공식의 계수가 네 제곱수 항등식의 그것과 같고,
이로써, 4성분의 순서쌍으로 복소 표현이 확장될수있음을 예상할 수 있고,[ 2]
편집
이렇게 해서 확장시킨 복소수
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\displaystyle a+bi+cj+dk}
[ 3] [ 4]
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
i
+
(
a
1
c
2
+
c
1
a
2
)
j
+
(
b
1
c
2
−
c
1
b
2
)
k
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i+(a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2})j+(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})k}
여기에
i
2
=
−
1
=
j
2
,
i
j
=
−
j
i
=
k
{\displaystyle i^{2}=-1=j^{2},\;ij=-ji=k}
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\;}
[ 5]
(
a
1
2
+
b
1
2
+
c
1
2
+
d
1
2
)
(
a
2
2
+
b
2
2
+
c
2
2
+
d
2
2
)
=
{\displaystyle (a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2})(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2})=\,}
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
−
d
1
d
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})^{2}+\,}
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
+
c
1
d
2
−
d
1
c
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})^{2}+\,}
(
a
1
c
2
−
b
1
d
2
+
c
1
a
2
+
d
1
b
2
)
2
+
{\displaystyle (a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})^{2}+\,}
(
a
1
d
2
+
b
1
c
2
−
c
1
b
2
+
d
1
a
2
)
2
{\displaystyle (a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})^{2}\,}
(
a
1
,
b
1
,
c
1
,
d
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
,
c
2
,
d
2
)
=
{\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})\cdot (a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})=\,}
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
−
c
1
c
2
−
d
1
d
2
,
)
+
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
+
c
1
d
2
−
d
1
c
2
)
{\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},)+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\,}
+
(
a
1
c
2
−
b
1
d
2
+
c
1
a
2
+
d
1
b
2
)
+
(
a
1
d
2
+
b
1
c
2
−
c
1
b
2
+
d
1
a
2
)
{\displaystyle +(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})+\,(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\,}
[ 6]
↑ 사원수의 발견 ↑ For two elements a1 + b1i + c1j + d1k and a2 + b2i + c2j + d2k, their product, called the Hamilton product (a1 + b1i + c1j + d1k) (a2 + b2i + c2j + d2k), is determined by the products of the basis elements and the distributive law. The distributive law makes it possible to expand the product so that it is a sum of products of basis elements. This gives the following expression.....Hamilton product(Quaternion)
↑ Hamilton, William Rowan (1844). “On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra”. 《Philosophical Magazine (series 3)》 (영어) 25 (163): 10–13. doi :10.1080/14786444408644923 . ISSN 1941-5966 . ↑ Hamilton, William Rowan (1866). William Edwin Hamilton, 편집. 《Elements of quaternions》 (영어). 런던 : Longmans, Green, & Co. ↑ 허수의 확장 ↑ Using the basis 1, i, j, k of H makes it possible to write H as a set of quadruples:.....Then the basis elements are:.......and the formulas for addition and multiplication are:..........Quaternion's Ordered list form
↑ Hamilton, William Rowan (1844). “On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (2)”. 《Philosophical Magazine (series 3)》 (영어) 25 (166): 241–246. doi :10.1080/14786444408644984 . ISSN 1941-5966 .
![{\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\ ,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c401896066f7bf40fdbe91d7a577249a456639)
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