유선망

유선망(flow net)은 토질역학에서 유선과 등수두선으로 이루어진 망을 말한다. 흙 속의 물의 흐름을 나타낸다. 인접한 2개의 유선으로 이루어진 공간을 유로(flow path)라 하고, 인접한 2개의 등수두선으로 이루어진 공간을 등수두면(equipotential space)이라고 한다. 그림에서는 4개의 유로, 6개의 등수두면이 있다.

파란 선은 등수두선, 등수두선과 교차하는 선은 유선

특성

• 유선과 등수두선은 직교
• 유선, 등수두선으로 이루어지는 사변형은 정사각형(그림에서 a=b)
• 인접한 두 유선 사이의 침투수량은 동일
• 인접한 두 등수두선 사이의 손실수두는 동일
• 침투속도와 동수경사는 유선망의 폭에 반비례
• 유선망 성립에 필요한 유로 수는 4~6개

등방 토질에서 침투유량

등방인 토질에서 단위폭당 침투유량 q는 다음 식으로 구한다.

$q=kh{\frac {n_{f}}{n_{d}}}$

k : 투수계수

h : 측정하는 두 지점 사이의 전손실수두

n_f : 유로 수

n_d : 등수두면 수

비등방 토질에서 침투유량

자연계 토질은 대부분 비등방성이다. 연직방향 투수계수가 수평방향 투수계수보다 작다($k_{z}<k_{x}$) 연속방정식을 라플라스 방정식으로 바꾸면 x방향으로 축소된 유선망을 그릴 수 있다. 즉 축소된 좌표는 다음과 같이 변환된다.

$x_{t}={\sqrt {\frac {k_{z}}{k_{x}}}}x$

침투가 x방향으로만 일어난다고 할 때, 단위폭당 침투유량은

$q_{x}=k'h{\frac {n_{f}}{n_{d}}}={\sqrt {k_{x}\cdot k_{z}}}h{\frac {n_{f}}{n_{d}}}$

$k'={\sqrt {k_{x}\cdot k_{z}}}$은 등가투수계수이다.

등가투수계수

그림에서 각 경우의 단위폭당 유량을 구하면

• 축소단면 $q=k'{\frac {\Delta h}{b}}b$
• 원축척 환원 단면 $q=k_{x}{\frac {\Delta h}{b{\sqrt {\frac {k_{x}}{k_{z}}}}}}b$

두 유량은 같으므로 $k'=k_{x}{\sqrt {\frac {k_{z}}{k_{x}}}}={\sqrt {k_{x}\cdot k_{z}}}$

비균질 토질에서 유선망

실제 흙댐은 균질한 재료로 이루어지는 경우가 드물고 중앙 차수벽, 댐 하류측 필터 등으로 인해 비균질하게 된다. 투수계수가 k₁인 토층과 k₂인 토층이 경사지지 않게 만나는 경우 연속방정식에 의해

$Q=k_{1}i_{1}A_{1}=k_{2}i_{2}A_{2}$

동수경사 $i_{1}={\frac {\Delta h}{l_{1}}},i_{2}={\frac {\Delta h}{l_{2}}}$이므로

${\frac {l_{2}}{l_{1}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}$

투수계수가 k₁인 토층과 k₂인 토층이 경사지게 만나는 경우 연속방정식에 의해 단위폭에 대해서

$Q=k_{1}{\frac {\Delta h}{CA}}b_{1}=k_{2}{\frac {\Delta h}{BD}}b_{2}$

${\frac {CA}{b_{1}}}=\tan \alpha ,{\frac {BD}{b_{2}}}=\tan \beta$

${\frac {k_{1}}{\tan \alpha }}={\frac {k_{2}}{\tan \beta }}$

$\therefore {\frac {\tan \beta }{\tan \alpha }}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}$

흙댐의 침윤선

흙댐에서 유선망을 그리기 위해서는 침윤선을 그려야 한다. 침윤선을 그리는 방법 중 카사그란드(1937)가 제시한 방법이 많이 쓰인다. 그림에서 aefbc가 실제 침윤선이라고 할 때, 이와 유사한 포물선 모양의 침윤선 a'efb'c'으로부터 실제 침윤선 aefbc를 그리는 과정은 다음과 같다. 이때 포물선 a'efb'c'의 초점은 c이다.

그림 1

1. a'efb'c'을 간략화한 그림 1과 같은 포물선을 생각한다. 포물선의 성질에 의해 ${\sqrt {x^{2}+z^{2}}}=x+2p$
2. p에 대해 정리하면 $p={\frac {1}{2}}({\sqrt {x^{2}+z^{2}}}-x)$이며, p를 구하기 위해 이미 알고 있는 값 x=d, z=H를 대입. 즉 $p={\frac {1}{2}}({\sqrt {d^{2}+H^{2}}}-d)$
3. p값을 알게 되었으므로 원 식 ${\sqrt {x^{2}+z^{2}}}=x+2p$를 x에 관해 정리한 $x={\frac {z^{2}-4p^{2}}{4p}}$를 이용해 포물선을 그린다.

a'a=0.3Δ

4. ae는 수작업으로 작도
5. 하류면 경사각 $\beta <30^{\circ }$인 경우 침윤면의 길이 ${\overline {bc}}=l={\frac {d}{\cos \beta }}-{\sqrt {{\frac {d^{2}}{\cos ^{2}\beta }}-{\frac {H^{2}}{\sin ^{2}\beta }}}}$
6. 하류면 경사각 $\beta \geq 30^{\circ }$인 경우 카사그란드의 도표를 이용해 l을 계산, 7번 과정을 진행
7. fb는 수작업으로 작도

단위폭당 침투수량 $q=kiA=k(\tan \beta )(l\sin \beta )=kl\sin \beta \tan \beta \quad (\because i={\frac {dz}{dx}}=\tan \beta ,A=1\cdot l\sin \beta )$

같이 보기

• 포텐셜 유동
• 해석 함수

외부 링크

• 위키배움터에 유선망 관련 자료가 있습니다.

참고 문헌

• 장병욱; 전우정; 송창섭; 유찬; 임성훈; 김용성 (2010). 《토질역학》. 구미서관. 107-117쪽. ISBN 978-89-8225-697-4. 
• 김도열; 김석환; 기완서; 정상국; 이병철 (2009). 《알기쉬운 토질역학》. 구미서관. 153-155쪽. ISBN 978-89-8225-688-2. 
• 임진근; 정대석; 허경한; 이동현 (2015). 〈4〉. 《토목기사 과년도 - 토질 및 기초》. 성안당. ISBN 9788931568110. 
• 이재수 (2018). 《수문학》 2판. 구미서관. ISBN 9788982252914.