확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
위너 확률 과정
(
W
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}}
이 주어졌다고 하자. 위와 여과 확률 공간
(
Ω
,
σ
(
F
t
∪
G
)
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )}
이
W
{\displaystyle W}
자연 여과 확률 공간 의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.
W
{\displaystyle W}
이토 확률 과정 은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}}
이다.
X
t
=
X
0
+
∫
0
t
Y
s
d
s
+
∫
0
t
Z
s
d
W
s
{\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}Y_{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}Z_{s}\,\mathrm {d} W_{s}}
여기서
(
Z
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (Z_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}}
이토 적분 가능 확률 과정이다.
(
Y
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}}
(
Ω
,
σ
(
F
t
∪
G
)
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )}
순응 확률 과정 이다.
X
0
∈
L
2
(
Ω
,
R
)
{\displaystyle X_{0}\in \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}
W
{\displaystyle W}
독립 인 확률 변수 이다.
∫
d
W
{\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} W}
이토 적분 이다.흔히, 이토 확률 과정의 분해는 상수항
X
0
{\displaystyle X_{0}}
d
X
t
=
Y
t
d
t
+
Z
t
d
W
t
{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=Y_{t}\,\mathrm {d} t+Z_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}
와 같이 표기된다.
보다 일반적으로, 매끄러운 다양체 위의 이토 과정을 생각할 수 있다. 다음이 주어졌다고 하자.
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
위너 확률 과정
W
t
:
Ω
→
R
m
{\displaystyle W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
보렐 가측 공간 으로 간주하자.그렇다면,
M
{\displaystyle M}
이토 확률 과정 은 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있는 확률 과정
(
X
(
t
)
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (X(t)\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}}
이다. (미분 기하학에서 첨자를 널리 사용하므로, 편의상 시간을 첨자 대신 괄호로 표기하였다.)
X
μ
(
t
)
=
X
μ
(
0
)
+
∫
0
t
Y
i
(
s
)
e
i
μ
d
s
+
∫
0
t
Z
i
j
(
t
)
e
j
μ
d
W
s
i
{\displaystyle X^{\mu }(t)=X^{\mu }(0)+\int _{0}^{t}Y^{i}(s)e_{i}^{\mu }\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}Z_{i}^{j}(t)e_{j}^{\mu }\,\mathrm {d} W_{s}^{i}}
여기서
(
Z
t
:
Ω
→
R
m
×
n
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (Z_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m\times n})_{t\in [0,\infty )}}
이토 적분 가능 확률 과정이다.
(
Y
t
:
Ω
→
R
n
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}}
(
Ω
,
σ
(
F
t
∪
G
)
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )}
순응 확률 과정 이다.
X
(
0
)
:
Ω
→
M
{\displaystyle X(0)\colon \Omega \to M}
W
{\displaystyle W}
독립 인,
M
{\displaystyle M}
확률 변수 이다.
e
1
μ
,
…
,
e
n
μ
{\displaystyle e_{1}^{\mu },\dotsc ,e_{n}^{\mu }}
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
벡터장 이다. 즉,
e
∈
Γ
(
T
M
×
R
n
)
{\displaystyle e\in \Gamma (\mathrm {T} M\times \mathbb {R} ^{n})}
매끄러운 다양체 의 접다발 의 지표는
μ
,
ν
,
…
{\displaystyle \mu ,\nu ,\dotsc }
유클리드 공간 의 지표는
i
,
j
,
…
{\displaystyle i,j,\dotsc }
이토 적분에서, 변수의 변환은 일반적으로 추가 항을 갖는다. 즉, 통상적인 연쇄법칙 이 성립하지 않으며, 위너 확률 과정 의 스스로와의 상관 현상에 의한 추가 항이 등장한다. 이를 이토 보조 정리 ([伊藤]補助定理, 영어 : Itō’s lemma ) 또는 이토-되블린 정리 (영어 : Itō–Döblin theorem )라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
위너 확률 과정
(
W
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty )}}
W
{\displaystyle W}
X
t
=
X
0
+
∫
0
t
Y
s
d
s
+
∫
0
t
Z
s
d
W
s
{\displaystyle X_{t}=X_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}Y_{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}Z_{s}\,\mathrm {d} W_{s}}
함수
f
:
R
+
×
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
(
t
,
x
)
↦
f
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
C
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}
그렇다면, 이토 보조 정리 에 따르면,
X
t
′
=
f
(
t
,
X
t
)
{\displaystyle X'_{t}=f(t,X_{t})}
는 역시 이토 확률 과정을 이루며, 또한 그 분해는 다음과 같다.
f
(
t
,
X
t
)
=
f
(
0
,
X
0
)
+
∫
0
t
(
∂
f
∂
t
(
s
,
X
s
)
+
∂
f
∂
x
(
s
,
X
s
)
Y
s
+
1
2
∫
0
t
Z
s
2
∂
2
f
∂
2
x
(
s
,
X
(
s
)
)
)
d
s
+
∫
0
t
∂
f
∂
x
(
s
,
X
s
)
Z
s
d
W
s
{\displaystyle f(t,X_{t})=f(0,X_{0})+\int _{0}^{t}\left({\frac {\partial f}{\partial t}}(s,X_{s})+{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,X_{s})Y_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}Z_{s}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x}}(s,X(s))\right)\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}(s,X_{s})Z_{s}\,\mathrm {d} W_{s}}
미분 표기법으로는 이토 보조 정리는 다음과 같이 표기된다.
d
f
(
X
t
)
=
∂
f
∂
t
(
t
,
X
t
)
d
t
+
∂
f
∂
x
(
t
,
X
t
)
d
X
t
+
1
2
Z
t
2
∂
2
f
∂
x
2
(
t
,
X
t
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} f(X_{t})={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,X_{t})\,\mathrm {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}(t,X_{t})\,\mathrm {d} X_{t}+{\frac {1}{2}}Z_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})\,\mathrm {d} t}
여기서 마지막 항은 비(非)확률 미적분학의 연쇄법칙 에 등장하지 않는 것이다.
특히, 만약
X
t
=
W
t
{\displaystyle X_{t}=W_{t}}
f
(
t
,
x
)
{\displaystyle f(t,x)}
t
{\displaystyle t}
d
f
(
W
t
)
=
f
′
(
W
t
)
d
W
t
+
1
2
f
″
(
W
t
)
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} f(W_{t})=f'(W_{t})\,\mathrm {d} W_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})\,\mathrm {d} t}
유클리드 공간 위의 이토 과정
d
X
i
(
t
)
=
Y
i
(
t
)
d
t
+
Z
j
i
(
t
)
d
W
t
j
{\displaystyle \mathrm {d} X^{i}(t)=Y^{i}(t)\,\mathrm {d} t+Z_{j}^{i}(t)\,\mathrm {d} W_{t}^{j}}
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle t\in [0,\infty )}
무한소 생성원 은 다음과 같은 2차 미분 연산자 의 족
(
D
(
t
)
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (D(t))_{t\in [0,\infty )}}
D
(
t
)
f
(
x
)
=
lim
h
→
0
E
(
f
(
X
t
+
h
)
|
X
t
=
x
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle D(t)f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbb {E} (f(X_{t+h})|X_{t}=x)-f(x)}{h}}}
이는 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.
(
D
(
t
)
f
)
i
(
x
)
=
Y
j
(
t
)
∂
j
f
i
+
1
2
Z
j
l
Z
k
l
(
t
)
∂
j
∂
k
f
i
(
t
)
{\displaystyle (D(t)f)^{i}(x)=Y^{j}(t)\partial _{j}f^{i}+{\frac {1}{2}}Z_{j}^{l}Z_{k}^{l}(t)\partial _{j}\partial _{k}f^{i}(t)}
이 경우,
D
(
t
)
p
(
x
,
t
)
=
∂
t
p
(
x
,
t
)
{\displaystyle D(t)p(x,t)=\partial _{t}p(x,t)}
와 같은 편미분 방정식 을 포커르-플랑크 방정식
Pr
(
X
t
∈
S
)
=
∫
S
p
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle \Pr(X_{t}\in S)=\int _{S}p(x,t)\,\mathrm {d} x}
는 이 편미분 방정식 을 따른다.
