수리논리학 에서 무모순적 이론 (無矛盾的理論, 영어 : consistent theory )은 거짓을 추론할 수 없는 이론이다. 이러한 성질을 무모순성 (無矛盾性, 영어 : consistency ) 또는 일관성 (一貫性)이라고 한다. 자명한 이론(즉, 모든 문장을 증명하는 이론)은 항상 모순적 이론이다. 반대로, 폭발 원리 가 성립하는 형식 체계 (예를 들어, 고전 /직관 명제 /1차 논리 )에서, 모든 모순적 이론은 자명한 이론이다.
관련된 개념으로 만족 가능 이론 이 있다. 무모순성이 구문론적으로 정의되는 반면, 만족 가능성은 의미론적 개념이다. 어떤 이론이 모형 을 갖는다면 만족 가능하다고 한다. (즉, 모든 공리가 참이 되는 해석 을 갖춘 구조 가 존재하여야 한다.) 건전한 형식 체계 의 모든 만족 가능 이론 은 무모순적 이론이지만, 그 역은 성립하지 않는다. (건전성에 의하여, 이론에서의 추론 과정은 모형 이론적 진리를 보존하며, 이론에서 증명 가능한 모든 문장은 모형에서도 참이다. 특히 이론이 모순을 증명할 수 있다면 모형 속에도 모순이 존재하는데, 이는 불가능하다.) 1차 논리 형식 체계는 건전하며 (건전성 정리 ), 또한 1차 이론의 무모순성과 만족 가능성은 동치 이다 (괴델의 완전성 정리 ).
1차 논리 언어
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
1차 논리
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
논리식 )들의 집합
Sent
(
L
)
{\displaystyle \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}
멱집합
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
이론 (영어 : theory )이라고 한다.
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
T
{\displaystyle T}
무모순적 이론 (영어 : consistent theory )이라고 한다.
T
⊬
⊥
{\displaystyle T\not \vdash \bot }
여기서
⊥
{\displaystyle \bot }
∃
x
(
¬
x
=
x
)
{\displaystyle \exists x(\lnot x=x)}
⊢
{\displaystyle \vdash }
페아노 공리계
P
A
{\displaystyle {\mathsf {PA}}}
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
0
{\displaystyle 0}
(
−
)
+
{\displaystyle (-)^{+}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
재귀 집합 을 이룬다고 하자 (특히, 오직 가산 개의 기호만이 존재한다). 그렇다면,
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
T
∈
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
페아노 공리계 의 언어로 나타낼 수 있다. 이
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
Con
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Con} (T)}
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
S
{\displaystyle S}
N
⊨
S
{\displaystyle \mathbb {N} \models S}
라고 하자 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
그렇다면,
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
P
(
Sent
(
L
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}}))}
원순서 를 정의할 수 있다.
T
≲
S
T
′
⟺
S
⊢
(
Con
(
T
′
)
⟹
Con
(
T
)
)
{\displaystyle T\lesssim _{S}T'\iff S\vdash (\operatorname {Con} (T')\implies \operatorname {Con} (T))}
이 원순서를 (메타이론
S
{\displaystyle S}
상대적 무모순성 원순서 (영어 : relative consistency preorder )라고 하며, 이것이 성립한다면 (
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
상대적으로 무모순적 (영어 : relatively consistent )이라고 한다.[ 1] :163, Chapter 12
T
≲
S
T
′
≲
S
T
{\displaystyle T\lesssim _{S}T'\lesssim _{S}T}
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
S
{\displaystyle S}
등무모순적 (等一致, 영어 : equiconsistent )라고 한다.
원순서 집합
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
최대 원소 는 모순적 이론이다. 반대로,
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
최소 원소 는
S
{\displaystyle S}
만약 메타이론
S
{\displaystyle S}
Th
(
N
)
{\displaystyle \operatorname {Th} (\mathbb {N} )}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
(
P
(
Sent
(
L
)
)
,
≲
S
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(\operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})),\lesssim _{S})}
L
Peano
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Peano}}}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
괴델의 불완전성 정리
T
⊆
Sent
(
L
)
{\displaystyle T\subseteq \operatorname {Sent} ({\mathcal {L}})}
(
T
⊬
Con
(
T
)
)
∨
¬
Con
(
T
)
{\displaystyle \left(T\not \vdash \operatorname {Con} (T)\right)\lor \lnot \operatorname {Con} (T)}
즉,
T
{\displaystyle T}
두 이론
T
{\displaystyle T}
T
′
{\displaystyle T'}
S
{\displaystyle S}
T
′
{\displaystyle T'}
T
{\displaystyle T}
보존적 확장 이라면,
T
′
{\displaystyle T'}
T
{\displaystyle T}
S
{\displaystyle S}
이 부분의 본문은 괴델의 불완전성 정리입니다.
