파동 방정식
O
^
ψ
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle {\hat {O}}\psi (x,t)=0}
을 따르는 장
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (x,t)}
O
^
{\displaystyle {\hat {O}}}
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
미분 연산자 다. 이 때, 전파인자
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
{\displaystyle K(x,t;x',t')}
O
^
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
−
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
t
−
t
′
)
{\displaystyle {\hat {O}}K(x,t;x',t')=-\delta (x-x')\delta (t-t')}
즉 파동 방정식 연산자의 그린 함수 다. 이는 간혹 유일하지 않을 수 있는데, 이 경우 적절한 경계 조건 을 가한다.
비상대론적 입자는 슈뢰딩거 방정식 을 따른다. 따라서, 그 전파인자는 슈뢰딩거 방정식의 그린 함수이다. 계 의 해밀토니안 을
H
{\displaystyle H}
x
′
,
t
′
{\displaystyle x',t'}
x
,
t
{\displaystyle x,t}
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
{\displaystyle K(x,t;x',t')}
(
−
i
H
/
ℏ
−
∂
∂
t
)
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
−
i
ℏ
δ
(
x
−
x
′
)
δ
(
t
−
t
′
)
{\displaystyle \left(-iH/\hbar -{\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')}
따라서, 시간 변화 연산자
U
(
t
,
t
′
)
=
exp
(
−
i
/
ℏ
∫
t
t
′
H
d
t
)
{\displaystyle U(t,t')=\exp \left(-i/\hbar \int _{t}^{t'}H\;dt\right)}
에 대하여 다음을 만족한다.
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
⟨
x
|
U
^
(
t
,
t
′
)
|
x
′
⟩
{\displaystyle K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle }
즉, 전파인자는 시간 변화에 대한 확률 진폭 이다.
초기 상태가 주어지면, 그 시간 변화를 전파 인자로 나타낼 수 있다.
ψ
(
x
,
t
)
=
∫
−
∞
∞
ψ
(
x
′
,
t
′
)
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
d
x
′
{\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'}
전파 인자를 경로 적분 으로 정의할 수도 있다. 계의 라그랑지언
L
{\displaystyle L}
K
(
x
,
t
;
x
′
,
t
′
)
=
∫
exp
[
i
ℏ
∫
t
t
′
L
(
q
˙
,
q
,
t
)
d
t
]
D
[
q
(
t
)
]
{\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]}
여기서 경계조건 은
q
(
t
)
=
x
,
q
(
t
′
)
=
x
′
{\displaystyle q(t)=x,q(t')=x'}
상대론적 스칼라 (스핀 0) 입자의 파동 방정식은 클라인-고든 방정식 이다. 따라서, 전파 인자는 클라인-고든 방정식의 그린 함수이다. 위치 공간에서 전파 인자
G
(
x
,
y
)
{\displaystyle G(x,y)}
(
◻
x
2
+
m
2
)
G
(
x
,
y
)
=
−
δ
(
x
−
y
)
{\displaystyle (\square _{x}^{2}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)}
푸리에 변환으로, 이를 운동량공간으로 고쳐 쓸 수 있다.
G
(
x
,
y
)
=
1
(
2
π
)
4
∫
d
4
p
e
−
i
p
(
x
−
y
)
p
2
−
m
2
{\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}}}}
그러나 민코프스키 공간 에서는 이 적분이 극 (極)을 가지므로, 적분을 제대로 정의할 수 없다. 따라서 분모에 무한소의 작은 값을 더하여 적분 경로를 명확히 하는데, 이에는 여러 가지 방법이 있다.
뒤처진 전파 인자 (retarded propagator ):
G
r
e
t
(
x
,
y
)
=
lim
ϵ
→
0
1
(
2
π
)
4
∫
d
4
p
e
−
i
p
(
x
−
y
)
(
p
0
+
i
ϵ
)
2
−
p
→
2
−
m
2
=
{
1
2
π
δ
(
τ
x
y
2
)
−
m
J
1
(
m
τ
x
y
)
4
π
τ
x
y
if
x
≺
y
0
otherwise
{\displaystyle G_{ret}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})-{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,x\prec y\\0&{\textrm {otherwise}}\end{matrix}}\right.}
여기서
τ
x
y
:=
(
x
0
−
y
0
)
2
−
(
x
→
−
y
→
)
2
{\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}
는
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
고유시간 이고,
J
1
{\displaystyle J_{1}}
제1종 베셀함수 이다.
앞선 전파 인자 (advanced propagator ):
G
a
d
v
(
x
,
y
)
=
lim
ϵ
→
0
1
(
2
π
)
4
∫
d
4
p
e
−
i
p
(
x
−
y
)
(
p
0
−
i
ϵ
)
2
−
p
→
2
−
m
2
=
{
−
1
2
π
δ
(
τ
x
y
2
)
+
m
J
1
(
m
τ
x
y
)
4
π
τ
x
y
if
y
≺
x
0
otherwise
.
{\displaystyle G_{adv}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,y\prec x\\0&{\textrm {otherwise}}.\end{matrix}}\right.}
파인먼 전파 인자 :
G
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle \ G_{F}(x,y)}
=
lim
ϵ
→
0
1
(
2
π
)
4
∫
d
4
p
e
−
i
p
(
x
−
y
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
{\displaystyle \ =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}}
=
{
−
1
4
π
δ
(
s
)
+
m
8
π
s
H
1
(
1
)
(
m
s
)
if
s
≥
0
−
i
m
4
π
2
−
s
K
1
(
m
−
s
)
if
s
<
0.
{\displaystyle \ =\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\textrm {if}}\,s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\textrm {if}}\,s<0.\end{matrix}}\right.}
이를 운동량 공간으로 푸리에 변환 하면 훨씬 더 간단하다.
G
~
r
e
t
(
p
)
=
1
(
p
0
+
i
ϵ
)
2
−
p
→
2
−
m
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{ret}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}
G
~
a
d
v
(
p
)
=
1
(
p
0
−
i
ϵ
)
2
−
p
→
2
−
m
2
{\displaystyle {\tilde {G}}_{adv}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}
G
~
F
(
p
)
=
1
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
.
{\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}
디랙 방정식 을 따르는 입자의 전파 인자는 다음과 같다.
S
~
F
(
p
)
=
1
γ
μ
p
μ
−
m
+
i
ϵ
=
1
p
/
−
m
+
i
ϵ
{\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }}
위치 공간에서는 다음과 같다.
S
F
(
x
−
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
e
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
(
γ
μ
p
μ
+
m
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
=
(
γ
μ
(
x
−
y
)
μ
|
x
−
y
|
5
+
m
|
x
−
y
|
3
)
J
1
(
m
|
x
−
y
|
)
.
{\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).}
광자 의 전파 인자는 다음과 같다. (파인먼 게이지)
−
i
g
μ
ν
p
2
+
i
ϵ
{\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }}
![{\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75be17a4303d785dc2e0b6360c15585249c5027d)
