순서 위상

순서론에서 순서 위상(順序位相, 영어: order topology)은 전순서 집합 위의, 열린구간으로부터 생성되는 위상이다.

정의

원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 주어졌다고 하고, 이로부터 유도되는 동치 관계를

$x\sim y\iff x\lesssim y\lesssim x$

로 표기하고, 이에 대한 동치류를

$[x]_{\sim }=\{y\in X\colon x\sim y\}$

로 표기하자. $X$ 위의 열린 반직선(영어: open ray)을 다음과 같이 표기하자.

$\mathop {\uparrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=\{b\in X\colon a\lesssim b\not \lesssim a\}$

$\mathop {\downarrow } a\setminus [a]_{\sim }=\mathop {\downarrow } a\setminus \mathop {\uparrow } a=\{b\in X\colon b\lesssim a\not \lesssim b\}$

여기서 $\mathop {\uparrow }$는 상폐포이며, $\mathop {\downarrow }$는 하폐포이다.

순서 위상

$X$ 위의, 다음과 같은 집합족을 부분 기저로 삼은 위상을 순서 위상이라고 한다.

$\{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}$

즉, $X$의 기저는 다음과 같은 꼴이다.

$(\mathop {\uparrow } a_{1}\setminus \mathop {\downarrow } a_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\uparrow } a_{m}\setminus \mathop {\downarrow } a_{m})\cap (\mathop {\downarrow } b_{1}\setminus \mathop {\uparrow } b_{1})\cap \cdots \cap (\mathop {\downarrow } b_{n}\setminus \mathop {\uparrow } b_{n})\qquad (m,n\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}\in X)$

(여기서, 0개의 부분 집합들의 교집합은 $X$ 전체이다.)

만약 $X$가 격자라면, $X$의 순서 위상의 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{b\in X}\cup \{X\}$

다음과 같이 구간 표기법

$(a,\infty )=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a$

$(-\infty ,b)=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b$

$(a,b)=(a,\infty )\cap (-\infty ,b)$

$(-\infty ,\infty )=X$

$(\infty ,b)=(a,-\infty )=(\infty ,-\infty )=\varnothing$

을 적용하면, 이는 다음과 같다.

$\{(a,b)\}_{a,b\in X\sqcup \{\pm \infty \}}$

만약 $X$가 유계 격자라면, $X$의 순서 위상의 한 기저는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\{(a,b)\}_{a,b\in X}$

하위상과 상위상

$(X,\lesssim )$ 위의 하위상(영어: lower topology) 또는 좌위상(영어: left topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

$\{X\setminus \mathop {\uparrow } b\}_{a\in X}$

만약 $X$가 전순서 집합이라면, 이 부분 기저의 원소는 열린 반직선

$X\setminus \mathop {\uparrow } b=\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b=(-\infty ,b)$

들이다.

마찬가지로, $(X,\lesssim )$ 위의 상위상(영어: upper topology) 또는 우위상(영어: right topology)은 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상이다.

$\{X\setminus \mathop {\downarrow } a\}_{a\in X}$

만약 $X$가 전순서 집합이라면,

$X\setminus \mathop {\downarrow } a=\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a=(a,\infty )$

이다.

하극한 위상과 상극한 위상

$(X,\lesssim )$ 위의 하극한 위상(영어: lower limit topology) 또는 하 조르겐프라이 위상(영어: lower Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저로 생성된다.

$\{\mathop {\uparrow } a\cap (\mathop {\downarrow } b\setminus \mathop {\uparrow } b)\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\uparrow } a\}_{a\in X}$

이를 구간 표기법으로 쓰면 다음과 같다.

$\{[a,b)\}_{a\in X,b\in X\sqcup \{\infty \}}$

만약 $X$가 격자이거나, $X$의 반대 순서 집합이 나무라면, 위 부분 기저는 $X$의 하극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 $X$가 격자이며, 최대 원소를 가지지 않는다면, 다음 집합족 역시 $X$의 하극한 위상의 기저를 이룬다.

$\{[a,b)\}_{a,b\in X}$

마찬가지로, $(X,\lesssim )$ 위의 상극한 위상(영어: upper limit topology) 또는 상 조르겐프라이 위상(영어: upper Sorgenfrey topology)은 다음 부분 기저를 갖는다.

$\{(\mathop {\uparrow } a\setminus \mathop {\downarrow } a)\cap \mathop {\downarrow } b\}_{a,b\in X}\cup \{\mathop {\downarrow } b\}_{b\in X}$

즉,

$\{(a,b]\}_{a\in X\sqcup \{-\infty \},b\in X}$

만약 $X$가 격자이거나 나무라면, 이는 상극한 위상의 기저를 이룬다. 만약 $X$가 최소 원소를 갖지 않는 격자라면, 상극한 위상은 다음과 같은 기저를 갖는다.

$\{(a,b]\}_{a,b\in X}$

성질

순서 위상을 준 전순서 집합은 항상 완비 정규 하우스도르프 공간이며,^{:67, 39.6} 완비 가산 파라콤팩트 공간이며, 완비 직교 콤팩트 공간이다.^:17

유한 전순서 집합 위의 순서 위상은 이산 위상이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:68, 39.8}

• 선형 연속체이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 연결 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:67, 39.7}

• 완비 격자이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 콤팩트 공간이다.

전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:199, Theorem 1}

• 순서 위상을 가했을 때, 파라콤팩트 공간이다.
• 순서 위상을 가했을 때, 메타콤팩트 공간이다.

예

유한 집합

$\{a,b\}$의 멱집합 위의 순서 위상을 생각하자. 이 경우, 열린집합은 다음과 같이 7개이다.

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a\},\{b\},\varnothing \right\}$

$\left\{\{a\},\{b\}\right\}$

$\left\{\{a,b\}\right\}$

$\{\varnothing \}$

$\varnothing$

$\{a,b\}$의 멱집합 위의 상순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\{a,b\}\right\}$

$\varnothing$

$\{a,b\}$의 멱집합 위의 하순서 위상의 열린집합은 다음과 같이 4개이다.

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\right\}$

$\left\{\varnothing ,\{a\},\{b\}\right\}$

$\left\{\varnothing \right\}$

$\varnothing$

자명한 순서

집합 $X$ 위의 동치 관계는 (자명한) 원순서를 이룬다. 이 경우, 이에 대한 순서 위상 · 상위상 · 하위상은 모두 비이산 위상이다.

순서체

실수체 $\mathbb {R}$, 유리수체 $\mathbb {Q}$, 정수환 $\mathbb {Z}$ 자연수 집합 $\mathbb {N}$ 위의 표준적 위상은 순서 위상이다. ($\mathbb {Z}$와 $\mathbb {N}$의 경우 이는 이산 위상이다.)

초실수체 ${}^{*}\mathbb {R}$에도 순서 위상을 줄 수 있다. 이 경우 ${}^{*}\mathbb {R}$는 완전 분리 공간이 된다.

실수체 $\mathbb {R}$ 위에 하극한 위상을 부여하여 만든 위상 공간을 조르겐프라이 직선(영어: Sorgenfrey line)이라고 한다. 조르겐프라이 직선은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 완전 정규 하우스도르프 공간이며, 린델뢰프 공간이다. (따라서, 파라콤팩트 공간이다.)
• 분해 가능 공간이며, 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다. (따라서, 거리화 가능 공간이 아니다.)
• 이다.
• 완전 분리 공간이다.

두 조르겐프라이 직선의 곱공간은 조르겐프라이 평면(영어: Sorgenfrey plane)이라고 한다. 이는 정규 공간이 아니다. 따라서 이는 파라콤팩트 공간이 아니며, 린델뢰프 공간이 아니다.

순서수의 위상

순서수 $\alpha$는 정렬 집합이므로, 여기에 순서 위상을 주어 위상 공간으로 만들 수 있다. 이 경우, $\alpha$의 극한점은 $\alpha$보다 작은 극한 순서수이다.

순서 위상을 주었을 때, 모든 순서수는 완전 분리 공간이다. 최초의 비가산 순서수 $\omega _{1}$은 제1 가산 공간이지만 제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이 아니며, 완전 정규 공간이 아니다. $\omega _{1}+1$은 제1 가산 공간·제2 가산 공간이 아니며, 콤팩트 공간이며, 완전 정규 공간이 아니다. $\omega _{1}+1$은 $\omega$의 스톤-체흐 콤팩트화이자 알렉산드로프 콤팩트화이다.

전순서 집합의 부분 집합

전순서 집합 $(X,\leq )$의 부분 집합 $Y\subseteq X$ 위에서, 다음 두 가지 위상을 생각할 수 있다.

• $(X,\leq )$ 위에 순서 위상을 주었을 때, $Y$ 위의 부분 공간 위상
• $(Y,\leq \upharpoonright Y)$ 위의 순서 위상

전자는 후자보다 더 섬세한 위상이지만, 전자와 후자는 일반적으로 일치하지 않는다. 예를 들어, 실수의 순서체 $\mathbb {R}$의 부분 집합

$(0,1)\cup [2,3)$

에서,

$[2,3)$

는 전자의 위상에 대하여 열린집합이지만, 후자의 위상에 대한 열린집합이 아니다.

만약 $Y$가 순서 볼록 집합이라면, 이 두 위상은 서로 일치한다.

같이 보기

• 긴 직선
• 선형 연속체

외부 링크

• “Order topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sorgenfrey topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Order topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Order topology”. 《Topospaces》 (영어). 2016년 5월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함. 
• “Linearly orderable space”. 《Topospaces》 (영어). 2016년 8월 10일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함. 
• “Sorgenfrey line”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Sorgenfrey plane”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Definition: order topology”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 4월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함. 
• “Order topology is Hausdorff”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Order topology is normal”. 《ProofWiki》 (영어).