수론 에서 약수 (約數, 영어 : divisor ) 또는 인수 (因數, 영어 : factor , 전 용어: 승자(乘子) )는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. 다항식 의 약수나 가환환 의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.
두 정수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
=
a
c
{\displaystyle b=ac}
c
{\displaystyle c}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
약수 라고 하며, 이를
a
∣
b
{\displaystyle a\mid b}
모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수 를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수
n
{\displaystyle n}
±
1
∣
n
{\displaystyle \pm 1\mid n}
±
n
∣
n
{\displaystyle \pm n\mid n}
n
∣
0
{\displaystyle n\mid 0}
0
∣
n
⟺
n
=
0
{\displaystyle 0\mid n\iff n=0}
정수
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
−
n
{\displaystyle -n}
n
{\displaystyle n}
자명 약수 (영어 : trivial divisor )라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수 (영어 : non-trivial divisor )라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 진약수 (영어 : proper divisor )라고 한다.
12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 음수 일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.
7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
7은 42의 약수/인수이다.
42는 7의 배수 이다.
7은 42를 나눈다/완제한다.
42는 7로 나누어떨어진다.
6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.
42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.
0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상
n
×
0
=
0
{\displaystyle n\times 0=0}
60의 모든 양의 약수의 집합
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
10
,
12
,
15
,
20
,
30
,
60
}
{\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}
부분 순서 집합 을 이루며, 다음과 같은 하세 도형 을 가진다.
어떤 수의 배수 는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상 0 이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서 다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
∣
a
{\displaystyle a\mid a}
a
∣
b
∣
c
⟹
a
∣
c
{\displaystyle a\mid b\mid c\implies a\mid c}
a
∣
b
∣
a
⟺
a
=
±
b
{\displaystyle a\mid b\mid a\iff a=\pm b}
a
∣
b
,
c
⟹
a
∣
(
b
±
c
)
{\displaystyle a\mid b,c\implies a\mid (b\pm c)}
2를 약수로 갖는 정수를 짝수 , 그렇지 않은 정수를 홀수 라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다).
두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수 라고 한다. 두 정수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
gcd
{
a
,
b
}
{\displaystyle \gcd\{a,b\}}
서로소 라고 한다. 즉 두 정수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
gcd
{
a
,
b
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}
소수 라고 한다. 소수의 집합을
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
부분 집합 이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
a
∣
b
c
{\displaystyle a\mid bc}
gcd
{
a
,
b
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{a,b\}=1}
a
∣
c
{\displaystyle a\mid c}
(유클리드의 보조정리 )
p
∈
P
{\displaystyle p\in \mathbb {P} }
p
∣
a
b
{\displaystyle p\mid ab}
p
∣
a
{\displaystyle p\mid a}
p
∣
b
{\displaystyle p\mid b}
진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수 라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수 라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수 라고 한다.
약수의 개수는 소인수분해 의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각 소인수 가 곱해진 지수 의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의 소인수분해 는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.
각 정수
n
{\displaystyle n}
d
(
n
)
{\displaystyle d(n)}
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (n)}
약수 함수 의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
d
(
n
)
{\displaystyle d(n)}
곱셈적 함수 이다. 즉, 모든 서로소 정수
n
,
m
{\displaystyle n,m}
d
(
n
m
)
=
d
(
n
)
d
(
m
)
{\displaystyle d(nm)=d(n)d(m)}
예를 들어,
d
(
42
)
=
8
=
2
×
2
×
2
=
d
(
2
)
d
(
3
)
d
(
7
)
{\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)d(3)d(7)}
그러나
d
(
n
)
{\displaystyle d(n)}
완전 곱셈적 함수 가 아니다. 즉, 모든 정수
n
,
m
{\displaystyle n,m}
d
(
n
m
)
=
d
(
n
)
d
(
m
)
{\displaystyle d(nm)=d(n)d(m)}
n
,
m
{\displaystyle n,m}
d
(
n
m
)
<
d
(
n
)
d
(
m
)
{\displaystyle d(nm)<d(n)d(m)}
예를 들어,
d
(
12
)
=
6
<
2
×
4
=
d
(
2
)
d
(
6
)
{\displaystyle d(12)=6<2\times 4=d(2)d(6)}
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (n)}
예를 들어,
σ
(
42
)
=
96
=
3
×
4
×
8
=
σ
(
2
)
σ
(
3
)
σ
(
7
)
{\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\sigma (3)\sigma (7)}
정수
n
{\displaystyle n}
소인수 분해 가
n
=
p
1
ν
1
p
2
ν
2
⋯
p
k
ν
k
{\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}
와 같다면,
n
{\displaystyle n}
{
p
1
μ
1
p
2
μ
2
⋯
p
k
μ
k
|
μ
i
∈
Z
,
0
≤
μ
i
≤
ν
i
}
{\displaystyle \left\{p_{1}^{\mu _{1}}p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}|\mu _{i}\in \mathbb {Z} ,\;0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}\right\}}
이며, 이에 따라
n
{\displaystyle n}
d
(
n
)
=
(
ν
1
+
1
)
(
ν
2
+
1
)
⋯
(
ν
n
+
1
)
{\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{n}+1)}
이다. 임의의 정수
n
{\displaystyle n}
d
(
n
)
<
2
n
{\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}
d
(
1
)
+
d
(
2
)
+
⋯
+
d
(
n
)
=
n
ln
n
+
(
2
γ
−
1
)
n
+
O
(
n
)
{\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}})}
γ
{\displaystyle \gamma }
오일러-마스케로니 상수 이다.
임의의 환 의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환
Z
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
x
2
−
1
=
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
{\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)}
이므로,
x
+
1
∣
x
2
−
1
{\displaystyle x+1\mid x^{2}-1}
이다.
다른 뜻에 대해서는 약수 (동음이의) 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
