현수 (위상수학)
대수적 위상수학에서, 위상 공간의 현수(懸垂, 영어: suspension)는 그 위상 공간에 단위 폐구간을 곱해, 양 끝을 각각 한 점으로 치환한 몫공간이다. 관련된 개념으로, 축소 현수(縮小懸垂, 영어: reduced suspension)는 현수보다 더 많은 점들을 동일화시킨 몫공간이다.
호몰로지와 호모토피 군 등 대수적 위상수학에서 쓰이는 개념들은 (축소) 현수에 대하여 자연스러운 성질들을 보인다.
정의
편집현수
편집가 위상 공간이라고 하자. 그렇다면 의 현수 는 다음과 같은 몫공간이다.
여기서 은 표준적인 위상이 주어진 단위 폐구간이다. 즉, 곱공간 에서 양 끝 을 각각 하나의 점으로 동일화시킨 몫공간이다. 만약 연속함수 가 존재한다면, 마찬가지로 자연스럽게 그 정의역과 공역의 현수들 사이의 연속함수
가 존재한다. 이에 따라, 현수는 위상 공간들과 연속 함수들의 범주 의 자기 함자
를 이룬다.
축소 현수
편집가 점을 가진 공간이라고 하자. 그 축소 현수 는 다음과 같은 몫공간이다.
여기서 는 분쇄곱이고, 는 쐐기합이며, 은 원이다. 점을 가진 공간의 축소 현수는 자연스러운 밑점 을 가진다.
현수와 마찬가지로, 밑점을 보존시키는 연속함수 가 주어지면, 밑점을 보존시키는 연속함수
가 존재한다. 이에 따라, 축소 현수는 점을 가진 공간들과 점을 보존시키는 연속 함수들의 범주 의 자기 함자
성질
편집CW 복합체 의 경우, 현수와 축소 현수는 서로 호모토피 동치이다.
가 점을 갖는 CW 복합체이며, 차 이하 호모토피 군이 자명하다고 하자. 그렇다면 함수
로 인하여, 호모토피 군의 준동형
이 존재한다. 프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 이 준동형 사상은 일 경우는 동형이며, 일 경우는 전사이다.
프로이덴탈 현수 정리에 따라서, 만약 가 n-연결 공간일 경우, 는 -연결 공간이다. 이에 따라, 충분히 많은 현수를 취한다면, 프로이덴탈 현수 정리의 호모토피 군 준동형들이 동형이 된다. 의 차 안정 호모토피 군(영어: stable homotopy group)은 충분히 큰 에 대한
이다.
예
편집차원 초구의 현수는 차원 초구와 위상 동형이며, 축소 현수는 이와 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아니다.
역사
편집각주
편집- ↑ Freudenthal, H. (1938). “Über die Klassen der Sphärenabbildungen I. Große Dimensionen”. 《Compositio Mathematica》 (영어) 5: 299–314. ISSN 0010-437X.
- Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic Topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
외부 링크
편집- “Suspension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Suspension”. 《nLab》 (영어).
- “Reduced suspension”. 《nLab》 (영어).
- “Suspension object”. 《nLab》 (영어).
- “Freudenthal suspension theorem”. 《nLab》 (영어).
- “Suspension”. 《Topospaces》 (영어).
- “Reduced suspension”. 《Topospaces》 (영어).
- “Homology for suspension”. 《Topospaces》 (영어).
- “Suspension functor”. 《Topospaces》 (영어).