외측도

측도론에서 외측도(外測度, 영어: outer measure)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.

정의

집합 $X$ 위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, 영어: (abstract) outer measure)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

$\mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

이다.

• $\mu ^{*}(\varnothing )=0$
• 임의의 $S\subseteq T\subseteq X$에 대하여, $\mu ^{*}(S)\leq \mu ^{*}(T)$
• (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ($|{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}$)에 대하여, $\textstyle \mu ^{*}\left(\bigcup {\mathcal {S}}\right)\leq \sum \mu ^{*}({\mathcal {S}})$

집합 $X$ 위의 외측도 $\mu ^{*}$에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, 영어: Carathéodory measurable set)은 다음 조건을 만족시키는 집합 $S\subseteq X$이다.

• 임의의 $T\subseteq X$에 대하여, $\mu ^{*}(T)=\mu ^{*}(S\cap T)+\mu ^{*}(T\setminus S)$

카라테오도리 가측 집합의 집합은 ${\mathcal {M}}(\mu ^{*})$로 표기한다.

성질

집합 $X$ 위의 외측도 $\mu ^{*}$에 대하여, ${\mathcal {M}}(\mu ^{*})$는 ${\mathcal {P}}(X)$의 부분 시그마 대수를 이루며, $\mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})}$는 $(X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))$ 위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉, $(X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}),\mu ^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu ^{*})})$는 완비 측도 공간이다.

거리 외측도

거리 공간 $(X,d_{X})$ 속 두 집합 $S,T\subseteq X$ 사이의 거리는 다음과 같다.

$d_{X}(S,T)=\inf _{\scriptstyle s\in S \atop t\in T}d_{X}(s,t)$

거리 공간 $(X,d_{X})$ 위의 외측도 $\mu ^{*}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mu ^{*}$를 거리 외측도(距離外測度, 영어: metric outer measure)라고 한다.

• 임의의 $S,T\subseteq X$에 대하여, 만약 $d_{X}(S,T)>0$이라면, $\mu ^{*}(S\cup T)=\mu ^{*}(S)+\mu ^{*}(T)$
• ${\mathcal {B}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})$. 즉, 모든 보렐 집합은 $\mu ^{*}$-카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라 $(X,{\mathcal {B}}(X),\mu ^{*}|_{{\mathcal {B}}(X)})$는 측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)^{:140, §7.14.x, Theorem 7.14.29}
• 모든 열린집합은 $\mu ^{*}$-카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간 $(X,d_{X})$ 위의 거리 외측도 $\mu ^{*}$가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수와 하반연속 함수 $(X,{\mathcal {M}}(\mu ^{*}))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$는 가측 함수이다.^{:53, Property 2. 2}

카라테오도리 확장 정리

 이 부분의 본문은 카라테오도리 확장 정리입니다.

집합 $X$ 속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$이다.

• $\varnothing \in {\mathcal {S}}$
• (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의 $S,T\in {\mathcal {S}}$에 대하여, $S\cap T\in {\mathcal {S}}$
• 임의의 $S,T\in {\mathcal {S}}$에 대하여, $\textstyle S\setminus T=\bigcup {\mathcal {F}}$인 유한 개의 서로소 집합들의 족 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}$ ($|{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}$)이 존재한다.

집합 $X$ 속의 집합 반환 ${\mathcal {S}}$ 위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

$\mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mu$를 ${\mathcal {S}}$ 위의 준측도(準測度, 영어: premeasure)라고 한다.^{:20, §1.3.1, Definition 1.3.2:170, §11, Problem 11.2}

• (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}$ ($|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}$)에 대하여, 만약 $\textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}$이라면, $\textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})$. (특히, ${\mathcal {T}}=\varnothing$을 생각하면 $\mu (\varnothing )=0$을 얻는다.)
• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}$ ($|{\mathcal {T}}|<\aleph _{0}$)에 대하여, 만약 $\textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}$이라면, $\textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)=\sum \mu ({\mathcal {T}})$. (특히, ${\mathcal {T}}=\varnothing$을 생각하면 $\mu (\varnothing )=0$을 얻는다.)
  • (가산 준가법성) 임의의 가산 집합 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}$ ($|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}$)에 대하여, 만약 $\textstyle \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}$이라면, $\textstyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {T}}\right)\leq \sum \mu ({\mathcal {T}})$

집합 $X$ 속의 집합족 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, $\sigma ({\mathcal {S}})$가 ${\mathcal {S}}$로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 집합 반환 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$
• 준측도 $\mu \colon {\mathcal {S}}\to [0,\infty ]$

이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$\mu ^{*}\colon {\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$

$\mu ^{*}\colon A\mapsto \inf \left\{\sum \mu ({\mathcal {T}})\colon {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\;|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0},\;A\subseteq \bigcup {\mathcal {T}}\right\}$

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.

• $\mu ^{*}$는 $X$ 위의 외측도이다.
• $\sigma ({\mathcal {S}})\subseteq {\mathcal {M}}(\mu ^{*})$
• $\mu ^{*}|_{\mathcal {S}}=\mu$
• 만약 $\textstyle X=\bigcup {\mathcal {T}}$이며 $\infty \not \in \mu ({\mathcal {T}})$인 가산 집합 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}$ ($|{\mathcal {T}}|\leq \aleph _{0}$)이 존재한다면, $\mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})}$는 $(\mu ^{*}|_{\sigma ({\mathcal {S}})})|_{\mathcal {S}}=\mu$를 만족시키는 유일한 $\sigma ({\mathcal {S}})$ 위의 측도이다.

그러나 $\sigma ({\mathcal {S}})$보다 큰 시그마 대수 위에서 $\mu$의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

예

1차원 르베그-스틸티어스 외측도

 이 부분의 본문은 르베그-스틸티어스 측도입니다.

실수선 $\mathbb {R}$ 위에서, 구간들의 족

${\mathcal {S}}_{1}=\{(a,b]\}_{-\infty \leq a\leq b<\infty }\cup \{(a,\infty )\}_{-\infty \leq a<\infty }\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$

은 집합 반환을 이루며, $\mathbb {R} \in {\mathcal {S}}$이다. 또한, $\sigma ({\mathcal {S}})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$이다.

임의의 증가 함수 $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$\mu _{F}\colon {\mathcal {S}}_{1}\to [0,\infty ]$

$\mu _{F}\colon (a,b]\mapsto F(b^{+})-F(a^{+})$

$\mu _{F}\colon (a,\infty )\mapsto F(\infty )-F(a^{+})$

그렇다면, $\mu _{F}$는 ${\mathcal {S}}_{1}$ 위의 준측도를 이룬다.^{:33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23} 이 경우 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})$ (또는 $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )})$)를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다.

증명:

자명하게 $\mu _{F}$는 $\mu _{F}(\varnothing )=0$과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합 ${\mathcal {S}}\subseteq \Sigma _{0}$ ($|{\mathcal {S}}|\leq \aleph _{0}$) 이 주어졌고, $\textstyle \bigcup {\mathcal {S}}\in \Sigma _{0}$이라고 하자. 편의상 ${\mathcal {S}}$의 모든 원소가 유계 구간이며,

$\bigcup {\mathcal {S}}=({\widetilde {a}},\infty )$

${\widetilde {a}}\in \mathbb {R}$

$F(\infty )<\infty$

라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의 $[a,b]\subseteq ({\widetilde {a}},\infty )$ 및 $\epsilon >0$에 대하여,

$\sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\epsilon _{(c,d]}=\epsilon$

인 $\epsilon _{(c,d]}>0$을 취하자. 그렇다면 $x\mapsto F(x^{+})$가 우연속 함수임에 따라

$F({e_{(c,d]}}^{+})<F(d^{+})+\epsilon _{(c,d]}\qquad \forall (c,d]\in {\mathcal {S}}$

인 $e_{(c,d]}>d$가 존재한다. $\{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {S}}}$는 $[a,b]$의 열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

$\{(c,e_{(c,d]})\}_{(c,d]\in {\mathcal {F}}}$

${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}$

$|{\mathcal {F}}|<\aleph _{0}$

를 갖는다. 따라서

${\begin{aligned}\mu _{F}((a,b])&=F(b^{+})-F(a^{+})\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {F}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F({e_{(c,d]}}^{+})-F(c^{+}))\\&\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}(F(d^{+})-F(c^{+}))+\epsilon \\&=\sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])+\epsilon \end{aligned}}$

이다. 여기서 첫 번째 부등호는

$\sup\{e_{(c_{n},d_{n}]}\colon n\in \mathbb {Z} ^{+},\;(c_{1},d_{1}],\dots ,(c_{n},d_{n}]\in {\mathcal {F}},\;a\in (c_{1},e_{(c_{1},d_{1}]}),\;e_{(c_{i},d_{i}]}\in (c_{i+1},e_{(c_{i+1},d_{i+1}]})\forall i\in \{1,\dots ,n-1\}\}>b$

때문이다. 여기에 $\epsilon \to 0$을 취하면

$\mu _{F}((a,b])\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])$

를 얻으며, 다시 $a\to {\widetilde {a}}$ 및 $b\to \infty$를 취하면 $x\mapsto F(x^{+})$의 우연속성에 따라

$\mu _{F}(({\widetilde {a}},\infty ))\leq \sum _{(c,d]\in {\mathcal {S}}}\mu _{F}((c,d])$

를 얻는다.

n차원 르베그-스틸티어스 외측도

 이 부분의 본문은 르베그-스틸티어스 측도입니다.

임의의 $a_{1},b_{1}\in \mathbb {R}$에 대하여, 선형 연산자

$\Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n-1}}$

$\Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon F\mapsto F(b_{1},\cdot )-F(a_{1},\cdot )$

를 정의하자.

또한, 임의의 $a,b\in \mathbb {R} ^{n}$에 대하여,

$\Delta _{a,b}=\Delta _{1,a_{n},b_{n}}\circ \Delta _{2,a_{n-1},b_{n-1}}\circ \cdots \circ \Delta _{n,a_{1},b_{1}}\colon {\mathbb {R} }^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R}$

라고 하자.

함수

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

$\Delta _{a,b}F\geq 0\qquad (a_{i}\leq b_{i})$

가 주어졌을 때, 집합 반환

${\mathcal {S}}_{n}=\left\{\prod _{i=1}^{n}S_{i}\colon S_{i}\in {\mathcal {S}}_{1}\right\}$

$\mathbb {R} ^{n}\in {\mathcal {S}}_{n}$

$\sigma ({\mathcal {S}}_{n})={\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$

위에 준측도

$\mu _{F}\colon \prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\mapsto \lim _{\delta _{i},\epsilon _{i}\to 0^{+}}\Delta _{a+\delta ,b+\epsilon }F$

를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간 $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*}),\mu _{F}^{*}|_{{\mathcal {M}}(\mu _{F}^{*})})$을 구성할 수 있다.

르베그 외측도

 이 부분의 본문은 르베그 측도입니다.

함수

$F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$F\colon x\mapsto x$

또는

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

$F\colon x\mapsto x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$

에 대한 르베그-스틸티어스 외측도를 르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도를 르베그 측도라고 한다.

하우스도르프 외측도

 이 부분의 본문은 하우스도르프 측도입니다.

하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.^{:1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30}

외부 링크

• “Outer measure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Outer measure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.