M
{\displaystyle M}
콤팩트 리만 곡면 이라고 하자.
M
{\displaystyle M}
인자 는
M
{\displaystyle M}
아벨 군 의 원소다. 즉, 인자
D
{\displaystyle D}
D
=
∑
i
n
i
x
i
{\displaystyle D=\sum _{i}n_{i}x_{i}}
x
i
∈
M
{\displaystyle x_{i}\in M}
n
i
∈
Z
{\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} }
인자의 차수 (degree )는 다음과 같다.
deg
∑
i
n
i
x
i
=
∑
i
n
i
{\displaystyle \deg \sum _{i}n_{i}x_{i}=\sum _{i}n_{i}}
α
{\displaystyle \alpha }
M
{\displaystyle M}
유리형 복소 미분 형식 이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.)
α
{\displaystyle \alpha }
극점 과 영점(zero )들을 갖는다. 극들이
p
i
{\displaystyle p_{i}}
−
n
(
p
i
)
{\displaystyle -n(p_{i})}
q
j
{\displaystyle q_{j}}
n
(
q
j
)
{\displaystyle n(q_{j})}
α
{\displaystyle \alpha }
div
(
α
)
=
∑
i
n
(
p
i
)
p
i
+
∑
j
n
(
q
j
)
q
j
{\displaystyle \operatorname {div} (\alpha )=\sum _{i}n(p_{i})p_{i}+\sum _{j}n(q_{j})q_{j}}
유리형 함수 (즉, 0차 유리형 복소 미분 형식 )의 인자를 주인자 (principal divisor )라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식 의 인자를 표준 인자 canonical divisor )라고 한다.
인자
D
{\displaystyle D}
div
(
f
)
+
D
{\displaystyle \operatorname {div} (f)+D}
유리형 함수
f
{\displaystyle f}
벡터 공간 의 (복소) 차원을
I
(
D
)
{\displaystyle I(D)}
D
{\displaystyle D}
M
{\displaystyle M}
인자 이고,
K
{\displaystyle K}
표준 인자 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
I
(
D
)
−
I
(
K
−
D
)
=
deg
D
+
χ
(
M
)
/
2
{\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D+\chi (M)/2}
여기서
χ
(
M
)
{\displaystyle \chi (M)}
M
{\displaystyle M}
오일러 지표 이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus)
g
{\displaystyle g}
I
(
D
)
−
I
(
K
−
D
)
=
deg
D
−
g
+
1
{\displaystyle I(D)-I(K-D)=\deg D-g+1}
이다.
인자 (의 동치류 )는 정칙 선다발 에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면
M
{\displaystyle M}
정칙 선다발
L
{\displaystyle L}
층 코호몰로지 (
L
{\displaystyle L}
돌보 코호몰로지 )
H
0
(
M
,
O
(
L
)
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))}
H
1
(
M
,
O
(
L
)
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))}
dim
H
k
=
h
k
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{k}=h^{k}}
χ
(
M
,
L
)
=
dim
H
0
(
M
,
O
(
L
)
)
−
dim
H
1
(
M
,
O
(
L
)
)
=
deg
L
−
g
+
1
{\displaystyle \chi (M,L)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=\deg L-g+1}
(여기서
χ
(
M
,
L
)
{\displaystyle \chi (M,L)}
L
{\displaystyle L}
오일러 지표 다.) 세르 쌍대성 을 사용하여,
H
1
(
M
,
O
(
L
)
)
∗
≅
H
0
(
M
,
O
(
L
−
1
⊗
K
)
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))^{*}\cong \operatorname {H} ^{0}(M,{\mathcal {O}}(L^{-1}\otimes K))}
따라서,
L
{\displaystyle L}
[
D
]
{\displaystyle [D]}
h
0
(
M
,
O
(
L
)
)
=
I
(
D
)
{\displaystyle h^{0}(M,{\mathcal {O}}(L))=I(D)}
h
1
(
M
,
O
(
L
)
)
=
I
(
K
−
D
)
{\displaystyle h^{1}(M,{\mathcal {O}}(L))=I(K-D)}
가 된다.
보다 일반적으로, 리만 곡면
M
{\displaystyle M}
정칙 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
χ
(
M
,
E
)
=
dim
H
0
(
M
,
E
)
−
dim
H
1
(
M
,
E
)
=
deg
E
+
(
1
−
g
)
rk
E
{\displaystyle \chi (M,E)=\dim \operatorname {H} ^{0}(M,E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(M,E)=\deg E+(1-g)\operatorname {rk} E}
여기서
rk
E
{\displaystyle \operatorname {rk} E}
E
{\displaystyle E}
정칙 벡터 다발 의 차수는
deg
E
=
deg
(
E
∧
rk
E
)
{\displaystyle \deg E=\deg(E^{\wedge \operatorname {rk} E})}
E
∧
rk
E
{\displaystyle E^{\wedge \operatorname {rk} E}}
E
{\displaystyle E}
외대수 로 구성된 정칙 선다발 이다.
x
{\displaystyle x}
바이어슈트라스 점 이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원
I
(
D
)
{\displaystyle I(D)}
종수
D
=
0
{\displaystyle D=0}
D
=
x
{\displaystyle D=x}
D
=
2
x
{\displaystyle D=2x}
D
=
3
x
{\displaystyle D=3x}
D
=
4
x
{\displaystyle D=4x}
D
=
5
x
{\displaystyle D=5x}
…
I
(
n
x
)
{\displaystyle I(nx)}
n
≥
g
{\displaystyle n\geq g}
0 (리만 구 )
1
2
3
4
5
6
…
1
,
z
−
1
,
…
,
z
−
n
{\displaystyle 1,z^{-1},\dots ,z^{-n}}
1 (타원 곡선 )
1
1
2
3
4
5
…
타원 함수
℘
,
…
,
℘
⌊
n
/
2
⌋
,
℘
℘
′
,
…
,
℘
⌊
n
−
3
⌋
℘
′
{\displaystyle \wp ,\dots ,\wp ^{\lfloor n/2\rfloor },\wp \wp ',\dots ,\wp ^{\lfloor n-3\rfloor }\wp '}
2
1
1
1
2
3
4
…
3
1
1
1
1
2
3
…
g
≥
2
{\displaystyle g\geq 2}
deg
D
≤
g
{\displaystyle \deg D\leq g}
I
(
D
)
{\displaystyle I(D)}
I
(
K
−
D
)
>
g
−
deg
D
{\displaystyle I(K-D)>g-\deg D}
바이어슈트라스 점
g
=
2
{\displaystyle g=2}
I
(
2
x
)
=
2
{\displaystyle I(2x)=2}
리만-로흐 정리를 써서, 곡면 종수 가
g
{\displaystyle g}
리만 곡면 의 표준 인자
K
{\displaystyle K}
deg
K
=
2
g
−
2
{\displaystyle \deg K=2g-2}
콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수 는 상수함수밖에 없다. 즉,
I
(
0
)
=
1
{\displaystyle I(0)=1}
deg
(
0
)
=
0
{\displaystyle \deg(0)=0}
D
=
0
{\displaystyle D=0}
1
−
I
(
K
)
=
−
g
+
1
{\displaystyle 1-I(K)=-g+1}
I
(
K
)
=
g
{\displaystyle I(K)=g}
D
=
K
{\displaystyle D=K}
I
(
K
)
−
1
=
deg
K
−
g
1
{\displaystyle I(K)-1=\deg K-g1}
deg
K
=
2
g
−
2
{\displaystyle \deg K=2g-2}
예를 들어,
g
=
0
{\displaystyle g=0}
리만 구
P
1
{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
동형류
O
(
k
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}
dim
H
0
(
P
1
,
O
(
k
)
)
=
max
{
k
+
1
,
0
}
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\max\{k+1,0\}}
dim
H
0
(
P
1
,
O
(
k
)
)
=
dim
H
0
(
P
1
,
O
(
−
2
−
k
)
)
=
max
{
−
k
−
1
,
0
}
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(k))=\dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2-k))=\max\{-k-1,0\}}
이다. 그 특별한 경우는 다음과 같다.
0차 선다발은 자명한 선다발이다. 이 경우,
dim
H
1
(
P
1
,
O
(
1
)
)
=
1
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(1))=1}
상수 함수
f
(
z
)
=
1
{\displaystyle f(z)=1}
리만 구 저체 위의 정칙 함수 는 상수 함수 밖에 없다.)
2차 선다발은 정칙 접다발
O
(
2
)
≅
T
P
1
{\displaystyle {\mathcal {O}}(2)\cong \mathrm {T} \mathbb {P} ^{1}}
∂
/
∂
z
{\displaystyle \partial /\partial z}
w
=
1
/
z
{\displaystyle w=1/z}
−
w
2
∂
/
∂
w
{\displaystyle -w^{2}\partial /\partial w}
dim
H
0
(
P
1
,
O
(
2
)
)
=
3
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))=3}
기저 는
{
∂
/
∂
z
,
z
∂
/
∂
z
,
z
2
∂
/
∂
z
}
{\displaystyle \{\partial /\partial z,z\partial /\partial z,z^{2}\partial /\partial z\}}
−2차 선다발은 표준 선다발
O
(
−
2
)
≅
T
∗
P
1
{\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\cong \mathrm {T} ^{*}\mathbb {P} ^{1}}
복소수 미분 형식
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} z}
w
=
1
/
z
{\displaystyle w=1/z}
−
w
−
2
d
w
{\displaystyle -w^{-2}\mathrm {d} w}
dim
H
0
(
P
1
,
O
(
−
2
)
)
=
0
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{0}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0}
dim
H
1
(
P
1
,
O
(
−
2
)
)
=
1
{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=1}
돌보 코호몰로지 에서 그 대표원은 푸비니-슈투디 계량
(
1
+
z
z
¯
)
−
2
d
z
∧
d
z
¯
{\displaystyle (1+z{\bar {z}})^{-2}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}}
1차 선다발은 스피너 다발이다. 그 단면 공간은 2차원이며, 그 기저는
{
∂
/
∂
z
,
z
∂
/
∂
z
}
{\displaystyle \textstyle \{{\sqrt {\partial /\partial z}},z{\sqrt {\partial /\partial z}}\}}
구스타프 로흐 곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만 이 1857년 표준 인자 항
I
(
K
−
D
)
{\displaystyle I(K-D)}
부등식 의 형태로 증명하였다.[ 2] 구스타프 로흐 가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.[ 3] 결핵 에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.
곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터 가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스 가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보 가 1896년에 증명하였다.
![{\displaystyle [D]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4bcb25d77a0de74082c849178200b8cf1340b4)
