바나흐 대수

함수해석학에서 바나흐 대수(Banach代數, 영어: Banach algebra)는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. $\mathbb {K}$-노름 대수(영어: normed $\mathbb {K}$-algebra) $(A,+,0,\cdot ,1,\|\|)$는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.^{:4, Definition I.10}

• $(A,+,0,\|\|)$는 $\mathbb {K}$-노름 공간이다.
• $(A,+,0,\cdot ,1)$는 $\mathbb {K}$-결합 대수이다.

또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다.

• (노름 부등식) $\Vert a\cdot b\Vert \leq \Vert a\Vert \Vert b\Vert \qquad \forall a,b\in A$
• (항등원의 노름) $\|1\|=1$

(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.^{:246, §10.1})

만약 $X$가 사실 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 거리 공간이라면), $\mathbb {K}$-바나흐 대수(영어: Banach $\mathbb {K}$-algebra)라고 한다.^{:4, Definition I.10:245, Definition 10.1}

유니터리 원소

$\mathbb {K}$-노름 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 이는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 $a\in \operatorname {Unit} (A)$ 가운데 노름이 1인 것을 유니터리 원소(unitary元素, 영어: unitary element)라고 한다.

연산

반대 대수

$\mathbb {K}$-노름 대수 $(A,\cdot ,\|\|)$에 대하여, 그 반대환 $A^{\operatorname {op} }=(A,\cdot ^{\operatorname {op} })$, 즉

$a\cdot ^{\operatorname {op} }b=b\cdot a\qquad (a,b\in A)$

에 같은 노름을 부여하면, $A^{\operatorname {op} }$ 역시 $\mathbb {K}$-노름 대수를 이룬다.^{:6, Example I.17} 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 $A$가 바나흐 대수라면 $A^{\operatorname {op} }$ 역시 바나흐 대수이다.

직합

유한 또는 무한 개의 $\mathbb {K}$-바나흐 대수들 $(A_{i})_{i\in I}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간

$A={\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}=\left\{(a_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}\colon \sup _{i\in I}\|a_{i}\|<\infty \right\}$

위에 L¹ 노름

$\|(a_{i})_{i\in I}\|=\sup _{i=1}^{n}\|a_{i}\|_{A_{i}}\qquad (a\in A)$

및 성분별 곱

$(a_{i})_{i\in I}\cdot (b_{i})_{i\in I}=(a_{i}b_{i})_{i\in I}\qquad (a,b\in A)$

을 부여하면, 이 역시 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 $A$의 항등원은

$1_{A}=(1_{A_{1}},1_{A_{2}},\dotsc ,1_{A_{n}})$

이다.

몫

$\mathbb {K}$-바나흐 대수 $A$의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$가 주어졌으며, ${\mathfrak {I}}$가 닫힌집합이며, ${\mathfrak {I}}\neq A$라고 하자. 그렇다면, 몫환 $A/{\mathfrak {I}}$ 위에는 자연스러운 노름

$\|a+{\mathfrak {I}}\|=\inf _{i\in {\mathfrak {I}}}\|a+i\|$

을 줄 수 있다. 그렇다면, $A/{\mathfrak {I}}$ 역시 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 $1_{A}+{\mathfrak {I}}$이다.

복소화

실수 바나흐 대수 $A$가 주어졌을 때, 그 복소화

$A\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

위에 노름

$\|a\otimes _{\mathbb {R} }z\|=\|a\||z|$

과 곱셈

$(a\otimes _{\mathbb {R} }z)\cdot (b\otimes _{\mathbb {R} }w)=ab\otimes _{\mathbb {R} }zw$

을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.

완비화

$\mathbb {K}$-노름 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 완비화 ${\bar {A}}$는 다음과 같이 자연스럽게 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

$\|{\bar {a}}\|_{\bar {A}}=\lim _{i\to \infty }\|a_{i}\|_{A}\qquad ({\bar {a}}\in {\bar {A}})$

(여기서 $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A$는 ${\bar {a}}\in {\bar {A}}$로 수렴하는, $A$ 속의 임의의 코시 열이다.) 그 위에 곱셈

${\bar {a}}{\bar {b}}=\lim _{i\to \infty }a_{i}b_{i}\qquad ({\bar {a}},{\bar {b}}\in {\bar {A}})$

을 정의하면, ${\bar {A}}$는 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다. (여기서 $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A$와 $(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq A$는 각각 ${\bar {a}},{\bar {b}}\in {\bar {A}}$로 수렴하는, $A$ 속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를 $A$의 완비화(完備化, 영어: completion)라고 한다.^{:5, Definition I.13}

무게 부여

$\mathbb {K}$-바나흐 대수 $A$의 원소 $w\in A$가 주어졌으며, $\|w\|\leq 1$이라고 하자. 또한, $w$가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자.

$w\in \operatorname {Z} (A)\cap \operatorname {Unit} (A)$

이 경우, $A$ 위에 새 이항 연산 $\star _{w}$를 다음과 같이 부여하자.

$a\star _{w}b=wab\qquad \forall a,b\in A$

그렇다면 $(A,\star _{w},w^{-1})$ 역시 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이루며, $\star _{w}$에 대한 항등원은 $w^{-1}$이다.

아렌스 곱

$\mathbb {K}$-노름 대수 $A$의 이중 연속 쌍대 공간 $A''$ 위에 (이중) 쌍대 노름 및 곱셈

$\phi \chi \colon f\mapsto \phi (a\mapsto G(f(a)))\qquad (\phi ,\chi \in A'',\;f\in A',\;a\in A)$

을 정의하자. 그렇다면, $A''$는 항상 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다. (만약 $A$가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 $A''$은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 아렌스 곱(영어: Arens product)이라고 한다.

성질

환론적 성질

겔판트-마주르 정리(Гельфанд-Mazur定理, 영어: Gelfand–Mazur theorem)에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 나눗셈환이다.
• 영역이며, 모든 주 아이디얼이 닫힌집합이다.
• $\mathbb {R}$ (실수체) · $\mathbb {C}$ (복소수체) · $\mathbb {H}$ (사원수 대수) 가운데 하나이다.

또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 $\mathbb {C}$ 밖에 없다.

증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 $\mathbb {C}$ 밖에 없다):

단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 공집합이 아닌 스펙트럼을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) $A$가 복소수 바나흐 대수라고 하고, $A$의 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 임의의 원소 $a\in A$에 대하여, $\lambda _{a}\in \mathbb {C}$가 $a$의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, $\lambda _{a}-a$는 가역원이 아니다. 가정에 따라서 $a=\lambda _{a}$이다. 즉, $a$의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 $a\mapsto \lambda _{a}$는 동형 사상 $A\cong \mathbb {C}$를 이룬다.

실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 $\mathbb {R}$와 $\mathbb {C}$ 밖에 없다.

복소수 바나흐 대수 $B$의 임의의 두 원소 $a,b\in B$에 대하여, $ab-ba\neq 1$이다. (이는 $ab$와 $ba$의 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)

위상수학적 성질

$\mathbb {K}$-바나흐 대수는 위상환을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 연속 함수를 이룬다.

$\mathbb {K}$-바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, $\mathbb {K}$-바나흐 대수 $B$의 가역원군 $\operatorname {Unit} (B)\subseteq B$는 $B$의 열린집합이며, 역원 함수

$(-)^{-1}\colon \operatorname {Unit} (B)\to \operatorname {Unit} (B)$

는 연속 함수이다.

스펙트럼

 이 부분의 본문은 스펙트럼 (함수해석학)입니다.

임의의 $\mathbb {K}$-바나흐 대수 $B$의 원소 $b\in B$의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\sigma (b)=\left\{\lambda \in \mathbb {K} \colon \nexists (\lambda -b)^{-1}\right\}$

이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.

겔판트 표현

가환 복소수 바나흐 대수 $B$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• $B$의 극대 아이디얼의 집합 $\operatorname {Max} (B)$
• (항등원을 보존하는) 결합 대수 준동형 $B\to \mathbb {C}$의 집합 $\Delta (B)$. (이는 물론 전단사 함수이어야 한다.)

구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.

극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)$에 대하여, $B/{\mathfrak {m}}$은 체인 복소수 바나흐 대수이므로, $B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C}$이다. 따라서, 몫 준동형 $(/\mathbb {m} )\colon B\twoheadrightarrow B/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C}$이 존재한다.

이 때문에, $B$의 극대 아이디얼은 지표(指標, 영어: character)라고도 한다.

임의의 지표 $\chi \in \Delta (B)$는 항상 연속 함수이다. (이는 그 핵 ${\mathfrak {m}}\in \operatorname {Max} (B)$는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, $\Delta (B)$ 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, $\Delta (B)$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 ${\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )$를 정의할 수 있다.

이 경우, $B$의 겔판트 표현(Гельфанд表現, 영어: Gelfand representation)은 다음과 같다.

${\hat {\;}}\colon B\to {\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )$

${\hat {b}}\colon \chi \mapsto \chi (b)\qquad (b\in B,\;\chi \in \Delta (B))$

이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.

$\sigma (b)=\sigma ({\hat {b}})=\{\chi (b)\colon \chi \in \Delta (B)\}\subseteq \mathbb {C} \qquad \forall b\in B$

여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 ${\mathcal {C}}^{0}(\Delta (B),\mathbb {C} )$에서 취한 스펙트럼이다.

예

연속 함수 공간

공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위에 정의된 연속 함수의 공간 ${\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )$은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다.^{:247, Example 10.3(a)}

나눗셈 대수

실수체 $\mathbb {R}$ · 복소수체 $\mathbb {C}$ · 사원수 대수 $\mathbb {H}$는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 $\mathbb {C}$는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. ($\mathbb {R}$와 $\mathbb {H}$는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)

유클리드 공간

자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 유한 차원 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $V=\mathbb {K} ^{n}$ 위에 1-노름

$\|(a_{1},\dotsc ,a_{n})\|=\max\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}$

및 성분별 곱

$(a_{1},\dotsc ,a_{n})\cdot (b_{1},\dotsc ,b_{n})=(a_{1}b_{1},\dotsc ,a_{n}b_{n})$

을 부여하면, 이는 가환 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은

$\operatorname {Unit} (V)=(\mathbb {K} ^{\times })^{n}$

이다.

유계 작용소

1차원 이상의 $\mathbb {K}$-노름 공간 $V$ 위의 $V\to V$ 유계 작용소들의 집합 $\operatorname {B} (V,V)$는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 $\mathbb {K}$-노름 대수를 이룬다.^{:5, Example I.14} 만약 $V$가 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라면, $\operatorname {B} (V,V)$는 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다.^{:5, Example I.14:248, Example 10.3(b)}

C* 대수

 이 부분의 본문은 C* 대수입니다.

모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수 $(A,^{*})$가 주어졌을 때, 그 위에 노름

$\|a\|=\sup \left\{{\sqrt {|\lambda |}}\colon \lambda \in \mathbb {C} ,\;\lambda -a^{*}a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}$

을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다.

위상군 위의 함수

콤팩트 하우스도르프 위상군 $G$ 위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간 $\operatorname {L} ^{1}(G;\mathbb {K} )$은 $\mathbb {K}$-바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱

$(f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\;\mathrm {d} y\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{1}(G;\mathbb {K} ))$

을 부여하면, 이는 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다.

역사

‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.

바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오(일본어: 南雲 道夫, 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’(독일어: linearer metrischer Ring)이라는 이름으로 도입하였다. 이후 이즈라일 겔판트가 이를 ‘노름환’(독일어: normierter Ring)이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다. 1945년에 워런 앰브로즈(영어: Warren Ambrose, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’(영어: Banach algebra)라는 용어를 도입하였다.

아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스(독일어: Richard Friederich Arens, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다.

겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데, 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.

외부 링크

• “Banach algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Commutative Banach algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Normed algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Banach function algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Arens multiplication”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Moslehian, Mohammad Sal. “Banach algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gelfand transform”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Moslehian, Mohammad Sal. “Gelfand-Mazur theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Banach algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Gelfand-Mazur theorem”. 《nLab》 (영어).