반단순환

환론에서 반단순환(半單純環, 영어: semisimple ring)은 모든 가군이 반단순 가군인 환이다. 유한 개의 나눗셈환들의 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

정의

환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 반단순환이라고 한다.

• 스스로에 대한 왼쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• 스스로에 대한 오른쪽 가군으로서 반단순 가군이다.
• $R$의 왼쪽 가군들의 범주 $R{\text{-Mod}}$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• $R$의 오른쪽 가군들의 범주 ${\text{Mod-}}R$에서, 모든 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
• $R$ 위의 모든 왼쪽 가군이 반단순 가군이다.
• $R$ 위의 모든 오른쪽 가군이 반단순 가군이다.
• 왼쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이며, 반원시환이다.
• 유한 개의 아르틴 단순환들의 직접곱이다. (단순환의 경우, 왼쪽 아르틴 조건과 오른쪽 아르틴 조건이 서로 동치이다.)
• (아르틴-웨더번 정리 영어: Artin–Wedderburn theorem) 유한 개의 나눗셈환들 $D_{1},\dots ,D_{k}$에 대한 직접곱 $\textstyle \prod _{i}\operatorname {Mat} (n_{i};D_{i})$과 동형이다.

성질

모든 반단순환은 왼쪽 아르틴 환이며, 오른쪽 아르틴 환이며, 왼쪽 뇌터 환이며, 오른쪽 뇌터 환이며, 반원시환이다. 또한, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^:173

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	左·右 원시환	⇒	소환

만약 (왼쪽 또는 오른쪽) 아르틴 환의 조건을 가정하면, 이 함의 관계는 다음과 같이 단순해진다.^{:173, Proposition 11.7}

반단순환	⇔	아르틴 반원시환	⇔	아르틴 반소환
		⇑
아르틴 단순환	⇔	아르틴 원시환	⇔	아르틴 소환

단순환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 왼쪽 아르틴 환이다.
• 오른쪽 아르틴 환이다.

특히, 반단순환이 아닌 단순환이 존재한다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 반단순환이다.
• 아르틴 축소환이다.
• 유한 개의 체들의 직접곱이다.

유한 개의 반단순환들의 직접곱은 반단순환이다.

분류

반단순환의 구조는 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)로서 완전히 알려져 있다.^{:40, Theorem 1.11} 구체적으로, 반단순환 $R$가 주어졌을 때, 정의에 따라 $_{R}R$는 반단순 가군이며, 이를 유한 개의 단순 가군의 직합으로 나타내어진다.

$_{R}R=\bigoplus _{i=1}^{k}{}_{R}M_{i}^{\oplus n_{i}}\qquad (i\neq j\implies M_{i}\not \cong M_{j})$

이 경우,

$R^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {End} (_{R}R)\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} _{R}(M_{i}))$

$R\cong \operatorname {End} (_{R}R)^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i}))^{\operatorname {op} }\cong \prod _{i=1}^{k}\operatorname {Mat} (n_{i};\operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} })$

가 된다. 슈어 보조정리에 의하여 $\operatorname {End} (_{R}M_{i})^{\operatorname {op} }$는 나눗셈환이다. 즉, 반단순환은 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱과 동형이다.

예

정수환 $\mathbb {Z}$는 반원시환이지만 아르틴 환이 아니므로 반단순환이 아니다. 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합인데, 이렇게 표기될 수 없는 아벨 군들이 존재한다.

바일 대수 $\mathbb {Q} \langle x,p\rangle /(xp-px-1)$는 단순환이자 영역이지만, 반단순환이 아니다.

복소수 행렬 대수

자연수 $n\in \mathbb {N}$이 주어졌다고 하자. 복소수체 위의 $n\times n$ 행렬 대수

${\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )=\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})$

가 주어졌을 때, 만약

${\mathcal {A}}=\{A^{*}\colon A\in {\mathcal {A}}\}$

라면, ${\mathcal {A}}$는 반단순 대수이다. (여기서 $(-)^{*}$는 에르미트 수반이다.)

증명:

${\mathcal {A}}$는 유한 차원 복소수 결합 대수이므로, 아르틴 환이다. 따라서 ${\mathcal {A}}$가 반원시환임(즉, 제이컵슨 근기가 $\{0\}$임)을 보이면 족하다.

임의의 $M\in {\sqrt {\mathcal {A}}}$라고 하자. 그렇다면,

1. ${\mathcal {A}}$가 유한 차원 결합 대수이므로, 제이컵슨 근기 $\operatorname {rad} ({\mathcal {A}})$는 멱영 아이디얼이다.
2. 따라서 $(M^{*}M)^{k}=0$인 양의 정수 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$가 존재한다.
3. 그런데 $M^{*}M$은 양의 준정부호 행렬이며, 따라서 $M^{*}M=0$이다.
4. 이에 따라, 임의의 $v\in \mathbb {C} ^{n}$에 대하여 $\|Mv\|^{2}=v^{*}M^{*}Mv=0$이며, 즉 $Mv=0$이다.
5. 따라서 $M=0$이다.

마슈케 정리

유한군 $G$와 체 $K$가 주어졌고, 또

$\operatorname {char} K\nmid |G|$

라고 하자. (즉, $G$의 크기는 $K$의 표수를 소인수로 갖지 않는다.) 그렇다면 군환 $K[G]$를 정의할 수 있다. 이는 유한 차원 $K$-벡터 공간이므로 자명하게 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환이다. 마슈케 정리(영어: Maschke’s theorem)에 따르면, 군환 $K[G]$는 반단순환이다. 이는 하인리히 마슈케(영어: Heinrich Maschke, 1853~1908)가 증명하였다.

외부 링크

• “Classical semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semi-simple algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Wedderburn-Artin theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Semisimple Artinian ring”. 《Commalg》 (영어). 
• 이철희. “아틴-웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)”. 《수학노트》.