환론 에서, 가군 의 근기 (根基, 영어 : radical 래디컬[* ] )는 모든 극대 부분 가군 에 포함되는 가장 큰 부분 가군 이다. 반대로, 가군 의 주각 (柱脚, 영어 : socle 소클[* ] )은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군 이다.
환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기 (Jacobson根基, 영어 : Jacobson radical )라고 한다. 이는 대략 단순 가군 으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼 이다.
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
M
{\displaystyle M}
극대 원소 를 극대 부분 가군 극대 부분 가군
R
N
⊊
R
M
{\displaystyle _{R}N\subsetneq {}_{R}M}
R
(
M
/
N
)
{\displaystyle _{R}(M/N)}
단순 가군 이 되는 것이다.) 마찬가지로,
M
{\displaystyle M}
영가군 이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소 (즉, 부분 가군 가운데 단순 가군 인 것)를 극소 부분 가군 (영어 : minimal submodule )이라고 하자.
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
근기 (根基, 영어 : radical )
rad
M
{\displaystyle \operatorname {rad} M}
주각 (柱脚, 영어 : socle )
soc
M
{\displaystyle \operatorname {soc} M}
왼쪽 가군
M
{\displaystyle M}
극대 부분 가군 들의 교집합 은
M
{\displaystyle M}
잉여적 부분 가군 들의 합과 일치하며, 이를
M
{\displaystyle M}
근기
rad
M
⊆
M
{\displaystyle \operatorname {rad} M\subseteq M}
극대 부분 가군 이 존재하지 않는다면 이는
M
{\displaystyle M}
왼쪽 가군
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
본질적 부분 가군 들의 교집합 과 일치하며, 이를
M
{\displaystyle M}
주각
soc
M
⊆
M
{\displaystyle \operatorname {soc} M\subseteq M}
오른쪽 가군 의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
R
{\displaystyle _{R}R}
오른쪽 가군
R
R
{\displaystyle R_{R}}
R
R
{\displaystyle _{R}R}
R
R
{\displaystyle R_{R}}
R
R
{\displaystyle _{R}R}
R
R
{\displaystyle R_{R}}
R
{\displaystyle R}
부분 집합 을 정의한다.
rad
(
R
R
)
=
rad
(
R
R
)
⊆
R
{\displaystyle \operatorname {rad} (_{R}R)=\operatorname {rad} (R_{R})\subseteq R}
이는 (왼쪽 아이디얼 이자 오른쪽 아이디얼 이므로) 양쪽 아이디얼 을 이루며,
R
{\displaystyle R}
제이컵슨 근기 (영어 : Jacobson radical )라고 한다.
근기의 경우와 달리, 일반적으로
soc
(
R
R
)
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}R)}
왼쪽 아이디얼 의 합)과
soc
(
R
R
)
{\displaystyle \operatorname {soc} (R_{R})}
오른쪽 아이디얼 의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를
R
{\displaystyle R}
왼쪽 주각 (영어 : left socle ) 및 오른쪽 주각 (영어 : right socle )이라고 한다.
임의의
R
{\displaystyle R}
가군 준동형
f
:
R
M
→
R
N
{\displaystyle f\colon {}_{R}M\to {}_{R}N}
f
(
rad
M
)
⊆
rad
N
{\displaystyle f(\operatorname {rad} M)\subseteq \operatorname {rad} N}
f
(
soc
M
)
⊆
soc
N
{\displaystyle f(\operatorname {soc} M)\subseteq \operatorname {soc} N}
모든 유한 생성 가군 은 (초른 보조정리 에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군 을 가지므로, 영가군이 아닌 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
M
≠
rad
(
R
M
)
{\displaystyle M\neq \operatorname {rad} (_{R}M)}
가군의 (유한 또는 무한) 직합
M
=
⨁
i
∈
I
M
i
{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}
에 대하여, 다음이 성립한다.
soc
M
≅
⨁
i
∈
I
soc
M
i
{\displaystyle \operatorname {soc} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {soc} M_{i}}
rad
M
≅
⨁
i
∈
I
rad
M
i
{\displaystyle \operatorname {rad} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {rad} M_{i}}
모든 왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
rad
(
M
R
/
rad
(
R
M
)
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {rad} \left(_{M}R/\operatorname {rad} (_{R}M)\right)=0}
soc
(
soc
(
R
M
)
)
=
soc
(
R
M
)
{\displaystyle \operatorname {soc} \left(\operatorname {soc} (_{R}M)\right)=\operatorname {soc} (_{R}M)}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
동치 이다.
반단순 가군 이다.
soc
(
R
M
)
=
M
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}M)=M}
환
R
{\displaystyle R}
동치 이다.
반단순환 이다.
soc
(
R
R
)
=
R
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}R)=R}
soc
(
R
R
)
=
R
{\displaystyle \operatorname {soc} (R_{R})=R}
모든 왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
soc
(
R
M
)
=
M
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{R}M)=M}
모든 오른쪽 가군
M
R
{\displaystyle M_{R}}
soc
(
M
R
)
=
M
{\displaystyle \operatorname {soc} (M_{R})=M}
환
R
{\displaystyle R}
동치 이다.
반원시환 이다.
rad
R
=
0
{\displaystyle \operatorname {rad} R=0}
제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼 이다. 모든 환은 (초른 보조정리 에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼 을 가지므로, 자명환 이 아닌 환
R
{\displaystyle R}
R
≠
rad
(
R
)
{\displaystyle R\neq \operatorname {rad} (R)}
환
R
{\displaystyle R}
양쪽 아이디얼 이다.
환
R
{\displaystyle R}
왼쪽 가군
R
M
{\displaystyle _{R}M}
rad
R
{\displaystyle \operatorname {rad} R}
아이디얼 이므로,
(
rad
R
)
M
=
{
r
1
m
1
+
r
2
m
2
+
⋯
+
r
k
m
k
:
k
∈
N
,
r
1
,
…
,
r
k
∈
rad
R
,
m
1
,
…
,
m
k
∈
M
}
⊆
M
{\displaystyle (\operatorname {rad} R)M=\left\{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+\cdots +r_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;r_{1},\dots ,r_{k}\in \operatorname {rad} R,\;m_{1},\dots ,m_{k}\in M\right\}\subseteq M}
는
R
M
{\displaystyle _{R}M}
부분 가군 을 이룬다. 나카야마 보조정리 (영어 : Nakayama lemma )에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.
M
{\displaystyle M}
유한 생성 왼쪽 가군 이 아니다.
(
rad
R
)
M
⊊
M
{\displaystyle (\operatorname {rad} R)M\subsetneq M}
M
=
0
{\displaystyle M=0}
증명:
R
M
{\displaystyle _{R}M}
영가군 이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군 이라고 하자.
m
1
,
…
,
m
k
∈
M
{\displaystyle m_{1},\dots ,m_{k}\in M}
(생성 집합 )
R
m
1
+
R
m
2
+
⋯
+
R
m
k
=
M
{\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{k}=M}
(극소성) 임의의
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle 1\leq i\leq k}
R
m
1
+
R
m
2
+
⋯
+
R
m
i
−
1
+
R
m
i
+
1
+
⋯
+
R
m
k
≠
M
{\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots +Rm_{k}\neq M}
M
{\displaystyle M}
영가군 이 아니므로
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
귀류법 을 사용하여,
rad
(
R
)
M
=
M
{\displaystyle \operatorname {rad} (R)M=M}
∑
i
=
1
k
m
i
=
∑
i
=
1
k
j
i
r
i
m
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}m_{i}=\sum _{i=1}^{k}j_{i}r_{i}m_{i}}
가 되는
r
1
,
…
,
r
k
∈
R
{\displaystyle r_{1},\dots ,r_{k}\in R}
j
1
,
…
,
j
k
∈
rad
(
R
)
{\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}\in \operatorname {rad} (R)}
제이컵슨 근기 의 성질에 의하여, 모든
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle 1\leq i\leq k}
1
−
j
i
r
i
∈
R
×
{\displaystyle 1-j_{i}r_{i}\in R^{\times }}
가역원 이다. 따라서,
m
1
=
−
(
1
−
j
1
r
1
)
−
1
∑
i
=
2
k
(
1
−
j
i
r
i
)
m
i
{\displaystyle m_{1}=-(1-j_{1}r_{1})^{-1}\sum _{i=2}^{k}(1-j_{i}r_{i})m_{i}}
가 되며, 이는
{
m
1
,
…
,
m
k
}
{\displaystyle \{m_{1},\dots ,m_{k}\}}
환
R
{\displaystyle R}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
동치 이다.
r
∈
rad
R
{\displaystyle r\in \operatorname {rad} R}
임의의 왼쪽 단순 가군
M
{\displaystyle M}
r
M
=
{
0
}
{\displaystyle rM=\{0\}}
임의의 오른쪽 단순 가군
M
{\displaystyle M}
M
r
=
{
0
}
{\displaystyle Mr=\{0\}}
모든 왼쪽 극대 아이디얼
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
r
∈
m
{\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}}
모든 오른쪽 극대 아이디얼
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
r
∈
m
{\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}}
모든
s
∈
R
{\displaystyle s\in R}
1
−
r
s
{\displaystyle 1-rs}
가역원 이다.
모든
s
∈
R
{\displaystyle s\in R}
1
−
s
r
{\displaystyle 1-sr}
가역원 이다.
모든
s
,
s
′
∈
R
{\displaystyle s,s'\in R}
1
−
s
r
s
′
{\displaystyle 1-srs'}
가역원 이다. 즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼 들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자 들의 교집합이다. (이는 가환환 의 영근기 가 모든 소 아이디얼 들의 교집합인 것과 유사하다.)
가환환
R
{\displaystyle R}
영근기 를 부분 아이디얼로 갖는다.
(
0
)
⊆
rad
R
{\displaystyle {\sqrt {(0)}}\subseteq \operatorname {rad} R}
만약 가환환
R
{\displaystyle R}
정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수 이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수 라면, 제이컵슨 근기는 영근기 와 같다.
체
K
{\displaystyle K}
영 아이디얼 와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼 이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.
rad
K
=
0
{\displaystyle \operatorname {rad} K=0}
soc
K
=
K
{\displaystyle \operatorname {soc} K=K}
보다 일반적으로, 모든 원시환 의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
국소환
(
R
,
m
)
{\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}
극대 아이디얼 이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
정수환의 몫환
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
주 아이디얼 이다. 따라서,
n
{\displaystyle n}
소인수 분해 가
n
=
∏
i
p
i
n
i
{\displaystyle n=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}}
라면,
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}
영근기 와 같으며, 만약
n
{\displaystyle n}
제곱 인수가 없는 정수 라면 이는 영 아이디얼과 같다.
rad
(
Z
/
(
n
)
)
=
(
0
)
=
(
∏
i
p
i
)
⊆
Z
/
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {rad} (\mathbb {Z} /(n))={\sqrt {(0)}}=(\prod _{i}p_{i})\subseteq \mathbb {Z} /(n)}
아벨 군 은 정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
가군 과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.
무한 순환군
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
소수
p
{\displaystyle p}
p
Z
{\displaystyle p\mathbb {Z} }
자명군 이다.
rad
(
Z
Z
)
=
soc
(
Z
Z
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=0}
임의의 자연수
n
{\displaystyle n}
소인수 분해
n
=
p
1
n
1
p
2
n
2
⋯
p
k
n
k
{\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기
rad
(
n
)
=
p
1
p
2
⋯
p
k
{\displaystyle \operatorname {rad} (n)=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}
를 정의할 수 있다.
n
{\displaystyle n}
순환군
Z
/
n
{\displaystyle \mathbb {Z} /n}
n
{\displaystyle n}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
(
n
/
p
i
)
Z
/
n
{\displaystyle (n/p_{i})\mathbb {Z} /n}
n
/
p
i
{\displaystyle n/p_{i}}
(
p
i
)
Z
/
n
{\displaystyle (p_{i})\mathbb {Z} /n}
rad
(
Z
(
Z
/
n
)
)
=
(
rad
n
)
Z
/
n
≅
Z
/
(
n
/
rad
n
)
)
{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(n/\operatorname {rad} n))}
soc
(
Z
(
Z
/
n
)
)
=
(
n
/
rad
n
)
Z
/
n
≅
Z
/
(
rad
n
)
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(n/\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(\operatorname {rad} n)}
이다.
나눗셈군 (예를 들어, 유리수체 의 덧셈군이나 프뤼퍼 군 )은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군 은 스스로의 근기와 같다. 유리수체 의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.
rad
(
Z
Q
)
=
Q
{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }
soc
(
Z
Q
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=0}
프뤼퍼 군 의 부분군들은
0
⊊
p
−
1
Z
/
Z
⊊
p
−
2
Z
/
Z
⊊
⋯
⊂
Z
(
p
∞
)
{\displaystyle 0\subsetneq p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq p^{-2}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subset \mathbb {Z} (p^{\infty })}
이므로, 그 유일한 극소 부분군은
p
−
1
Z
/
Z
{\displaystyle p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }
rad
(
Z
Z
(
p
∞
)
)
=
Z
(
p
∞
)
{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=\mathbb {Z} (p^{\infty })}
soc
(
Z
Z
(
p
∞
)
)
=
p
−
1
Z
/
Z
{\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }
