같은 정의역 을 가진 두 연속 함수
Y
←
g
Z
→
f
X
{\displaystyle Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합
X
⊔
Y
{\displaystyle X\sqcup Y}
이항 관계 를 정의하자.
f
(
z
)
≻
g
(
z
)
∀
z
∈
Z
{\displaystyle f(z)\succ g(z)\qquad \forall z\in Z}
이는 일반적으로 대칭 관계 도, 추이적 관계 도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계 를
∼
{\displaystyle \sim }
x
,
y
∈
X
⊔
Y
{\displaystyle x,y\in X\sqcup Y}
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
∀
x
∈
X
,
y
∈
Y
:
(
x
∼
y
⟺
∃
x
0
,
…
,
x
k
∈
X
,
y
0
,
…
,
y
k
∈
Y
:
x
=
x
0
≻
y
0
≺
x
1
≻
y
1
≺
x
2
≻
⋯
≻
y
k
=
y
)
{\displaystyle \forall x\in X,y\in Y\colon \left(x\sim y\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{0},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y\right)}
마찬가지로,
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x,x'\in X}
x
∼
x
′
{\displaystyle x\sim x'}
∀
x
,
x
′
∈
X
:
(
x
∼
x
′
⟺
∃
x
0
,
…
,
x
k
∈
X
,
y
1
,
…
,
y
k
∈
Y
:
x
=
x
0
≻
y
1
≺
x
1
≻
y
2
≺
x
2
≻
⋯
≺
x
k
=
x
′
)
{\displaystyle \forall x,x'\in X\colon \left(x\sim x'\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{1}\prec x_{1}\succ y_{2}\prec x_{2}\succ \cdots \prec x_{k}=x'\right)}
마찬가지로,
y
,
y
′
∈
Y
{\displaystyle y,y'\in Y}
y
∼
y
′
{\displaystyle y\sim y'}
∀
y
,
y
′
∈
Y
:
(
y
∼
y
′
⟺
∃
x
1
,
…
,
x
k
∈
X
,
y
1
,
…
,
y
k
∈
Y
:
y
=
y
0
≺
x
1
≻
y
1
≺
x
2
≻
⋯
≻
y
k
=
y
′
)
{\displaystyle \forall y,y'\in Y\colon \left(y\sim y'\iff \exists x_{1},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon y=y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y'\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
붙임 공간 은 분리합집합 의 다음과 같은 몫공간 이다.
X
∪
f
,
g
Y
=
X
⊔
Y
∼
{\displaystyle X\cup _{f,g}Y={\frac {X\sqcup Y}{\sim }}}
이는 위상 공간 의 범주 의 밂 을 이룬다.
붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은
Z
{\displaystyle Z}
Z
{\displaystyle Z}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
시작 위상 을 부여하거나 이산 위상 을 부여할 수 있다.
붙임 공간은
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
쌍대올뭉치 가 아니라면 호모토피 이론 적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간 을 사용하여야 한다.
연속 함수
Y
←
g
Z
→
f
X
{\displaystyle Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X}
가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥 (영어 : double mapping cylinder )은 다음과 같다.
X
∪
f
Z
×
[
0
,
1
]
∪
g
Y
{\displaystyle X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y}
이 경우, 표준적인 함수
X
↪
f
X
∪
f
Z
×
[
0
,
1
]
∪
g
Y
{\displaystyle X{\overset {f}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y}
Y
↪
g
X
∪
f
Z
×
[
0
,
1
]
∪
g
Y
{\displaystyle Y{\overset {g}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y}
는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치 를 이룬다.
같은 공역 을 가진 두 연속 함수
Y
→
g
Z
←
f
X
{\displaystyle Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간 (영어 : pullback space )은 다음과 같은, 곱공간
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
부분 공간 이다.
X
×
f
,
g
Y
=
{
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
:
f
(
x
)
=
g
(
y
)
}
⊆
X
×
Y
{\displaystyle X\times _{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y}
이는 위상 공간 의 범주 의 당김 을 이룬다.
이 경우, 표준적 연속 함수
X
×
Z
Y
→
X
{\displaystyle X\times _{Z}Y\to X}
X
×
Z
Y
→
Y
{\displaystyle X\times _{Z}Y\to Y}
가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치 가 아니다.
당김 공간은
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
올뭉치 가 아니라면 호모토피 이론 적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간 을 사용하여야 한다.
같은 공역 을 가진 두 연속 함수
Y
→
g
Z
←
f
X
{\displaystyle Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간 (영어 : pullback space )은 다음과 같은, 곱공간
X
×
path
(
Z
)
×
Y
{\displaystyle X\times \operatorname {path} (Z)\times Y}
부분 공간 이다.
{
(
x
,
γ
,
y
)
∈
X
×
path
(
X
)
×
Y
:
γ
(
0
)
=
f
(
x
)
,
γ
(
1
)
=
g
(
y
)
}
{\displaystyle \{(x,\gamma ,y)\in X\times \operatorname {path} (X)\times Y\colon \gamma (0)=f(x),\;\gamma (1)=g(y)\}}
여기서
X
I
{\displaystyle X^{I}}
콤팩트-열린집합 위상 을 부여한) 경로 공간 이다.
연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
{
∙
}
←
X
→
f
Y
{\displaystyle \{\bullet \}\leftarrow X{\xrightarrow {f}}Y}
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
한원소 공간 이다.)
이에 대한 붙임 공간은
Y
{\displaystyle Y}
몫공간
Y
/
f
(
X
)
{\displaystyle Y/f(X)}
반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔 로 구성된다.
cone
(
X
)
∪
f
Y
=
(
X
×
[
0
,
1
]
)
/
(
X
×
{
0
}
)
⊔
Y
(
(
x
,
1
)
∼
f
(
x
)
∀
x
∈
X
{\displaystyle \operatorname {cone} (X)\cup _{f}Y={\frac {(X\times [0,1])/(X\times \{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}}}
이를 사상뿔 (寫像-, 영어 : mapping cone )이라고 한다. 만약
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
상대 호몰로지
H
∙
(
X
,
A
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(X,A)}
A
↪
X
{\displaystyle A\hookrightarrow X}
축소 호몰로지 로 정의된다.
특히,
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
f
=
id
X
{\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}}
X
{\displaystyle X}
뿔 (영어 : cone )
cone
(
X
)
=
X
×
[
0
,
1
]
/
(
X
×
{
0
}
)
{\displaystyle \operatorname {cone} (X)=X\times [0,1]/(X\times \{0\})}
연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
←
id
X
→
f
Y
{\displaystyle X{\xleftarrow {\operatorname {id} }}X{\xrightarrow {f}}Y}
id
{\displaystyle \operatorname {id} }
항등 함수 이다.)
붙임 공간은 다음과 같은
X
⊔
Y
{\displaystyle X\sqcup Y}
몫공간 이며, 이는
Y
{\displaystyle Y}
위상 동형 이다.
X
∪
id
,
f
Y
=
Y
⊔
X
f
(
x
)
∼
x
∀
x
∈
X
≅
Y
{\displaystyle X\cup _{\operatorname {id} ,f}Y={\frac {Y\sqcup X}{f(x)\sim x\;\forall x\in X}}\cong Y}
호모토피 붙임 공간은 다음과 같이,
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
×
[
0
,
1
]
∪
f
×
{
1
}
Y
=
X
×
[
0
,
1
]
⊔
Y
f
(
x
)
∼
(
x
,
1
)
∀
x
∈
X
{\displaystyle X\times [0,1]\cup _{f\times \{1\}}Y={\frac {X\times [0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim (x,1)\;\forall x\in X}}}
이를 사상기둥 (寫像-, 영어 : mapping cylinder )
M
f
{\displaystyle M_{f}}
X
→
f
Y
‖
↓
X
→
M
f
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\|&&\downarrow \\X&\to &M_{f}\end{matrix}}}
이 경우, 변형 수축
M
f
→
Y
{\displaystyle M_{f}\to Y}
이 존재하며, 따라서
M
f
{\displaystyle M_{f}}
Y
{\displaystyle Y}
호모토피 동치 이다. 또한,
f
~
:
X
→
M
f
{\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}
는 쌍대올뭉치 를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치 의 합성 으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간 의 모형 범주 에서의 쌍대올분해 (영어 : cofibrant resolution )이다.
특히,
X
=
Y
{\displaystyle X=Y}
f
=
id
X
{\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}}
기둥
X
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\times [0,1]}
두 선분(녹색 및 청색으로 표시)의 이음은 위와 같이 사면체 를 이룬다. 다음과 같은, 곱공간 의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.
X
←
X
×
Y
→
Y
{\displaystyle X\leftarrow X\times Y\to Y}
이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간 이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치 와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간
X
∗
Y
=
X
×
Y
×
[
0
,
1
]
(
x
,
y
,
0
)
∼
(
x
,
y
′
,
0
)
,
(
x
,
y
,
1
)
∼
(
x
′
,
y
,
1
)
∀
x
,
x
′
∈
X
,
y
,
y
′
∈
Y
{\displaystyle X*Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{(x,y,0)\sim (x,y',0),\;(x,y,1)\sim (x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}}}
은
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
이음 축약 가능 공간 이 아니다.
특히, 0차원 초구
S
0
=
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}=\{0,1\}}
현수
S
0
∗
X
=
S
X
{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}*X=\operatorname {S} X}
한원소 공간 과의 이음은 뿔
{
∙
}
∗
X
=
cone
(
X
)
{\displaystyle \{\bullet \}*X=\operatorname {cone} (X)}
연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
→
f
Y
←
id
Y
{\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {\operatorname {id} }}Y}
id
{\displaystyle \operatorname {id} }
항등 함수 이다.)
당김 공간의 경우는 이는
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
부분 공간 위상을 부여한
f
{\displaystyle f}
그래프
graph
f
=
{
(
x
,
f
(
x
)
)
∈
X
×
Y
:
x
∈
X
}
⊆
X
×
Y
{\displaystyle \operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\in X\times Y\colon x\in X\}\subseteq X\times Y}
이며 따라서
X
{\displaystyle X}
위상 동형 이다.
호모토피 당김 공간의 경우, 이는
cocyl
f
=
{
(
x
,
γ
)
∈
X
×
path
(
Y
)
:
f
(
x
)
=
γ
(
0
)
}
{\displaystyle \operatorname {cocyl} f=\{(x,\gamma )\in X\times \operatorname {path} (Y)\colon f(x)=\gamma (0)\}}
를 이루며, 이를 사상 경로 공간 (寫像經路空間, 영어 : mapping path space ) 또는 사상 쌍대기둥 (영어 : mapping cocylinder )이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.
X
→
Y
↓
‖
cocyl
f
→
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &Y\\\downarrow &&\|\\\operatorname {cocyl} f&\to &Y\end{matrix}}}
여기서
cocyl
f
{\displaystyle \operatorname {cocyl} f}
X
{\displaystyle X}
약한 호모토피 동치 이며
f
~
:
cocyl
f
→
Y
{\displaystyle {\tilde {f}}\colon \operatorname {cocyl} f\to Y}
올뭉치 이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치 의 합성 으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간 의 모형 범주 에서의 올분해 (영어 : fibrant resolution )이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x,x'\in X}
{
∙
}
→
x
X
←
x
′
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}{\xrightarrow {x}}X{\xleftarrow {x'}}\{\bullet \}}
의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.
당김 공간은 단순히 한원소 공간 이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치 와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x'}
경로 들의 공간이다. 만약
x
=
x
′
{\displaystyle x=x'}
경로 연결 성분 들은 기본군
π
1
(
X
,
x
)
{\displaystyle \pi _{1}(X,x)}
이 부분의 본문은
쐐기합 입니다.
점을 가진 공간
(
X
,
x
)
{\displaystyle (X,x)}
(
Y
,
y
)
{\displaystyle (Y,y)}
X
←
x
{
∙
}
→
y
Y
{\displaystyle X\xleftarrow {x} \{\bullet \}\xrightarrow {y} Y}
의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.
붙임 공간은 쐐기합
X
∨
Y
=
(
X
⊔
Y
)
/
{
x
,
y
}
{\displaystyle X\vee Y=(X\sqcup Y)/\{x,y\}}
X
⊔
Y
⊔
[
0
,
1
]
0
∼
x
,
1
∼
y
{\displaystyle {\frac {X\sqcup Y\sqcup [0,1]}{0\sim x,\;1\sim y}}}
이다. 즉, 선분
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
쐐기합 과 호모토피 동치 이다.
![{\displaystyle X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ca3c9fa2ba95fb45b3846e26167b4578daa7de)
![{\displaystyle X{\overset {f}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db8808648b4cf0b56023006c78146c8da4df004)
![{\displaystyle Y{\overset {g}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e66a2340055381e22d51223df0bbb9b6a3acb60)
![{\displaystyle \operatorname {cone} (X)\cup _{f}Y={\frac {(X\times [0,1])/(X\times \{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4efe055405389b911eb35cd8b32a78ef9f02b98)
![{\displaystyle \operatorname {cone} (X)=X\times [0,1]/(X\times \{0\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4613343cbe22588f453e26c204beee4a97b910b7)
![{\displaystyle X\times [0,1]\cup _{f\times \{1\}}Y={\frac {X\times [0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim (x,1)\;\forall x\in X}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a93bc3e47e737b5d65da7e12f268bf1c20818e)
![{\displaystyle X\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd76f8aa27cdb748a869ec11fc6548bcab6d396b)
이 부분의 본문은 이음 (위상수학)입니다.
![{\displaystyle X*Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{(x,y,0)\sim (x,y',0),\;(x,y,1)\sim (x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8598f4991c2595980e3d9e6e8305f1ba38a0e035)
![{\displaystyle {\frac {X\sqcup Y\sqcup [0,1]}{0\sim x,\;1\sim y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811f20a1634536e08d59cefb33ab57ff28935198)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)