필터 (수학)

순서론에서 필터(영어: filter)는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 영어: order ideal)은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다.

집합 $\{1,2,3,4\}$의 멱집합의 하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의

필터와 순서 아이디얼

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$ 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.

• $S$는 하향 원순서 집합이다.
• $S$는 상집합이다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$ 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.

• $S$는 상향 원순서 집합이다.
• $S$는 하집합이다.

소 필터와 소 순서 아이디얼

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 필터 $S\subseteq X$에 대하여, 만약 $X\setminus S$가 아이디얼이라면, $S$를 소 필터(영어: prime filter), $X\setminus S$를 소 순서 아이디얼(영어: prime order ideal)이라고 한다.

극대 필터와 극대 순서 아이디얼

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 $\operatorname {Filter} (X,\lesssim )$을 이루며, 만약 $X$가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 $X\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )$ 자체이다. 이 경우, $\operatorname {Filter} (X,\lesssim )\setminus \{X\}$의 극대 원소를 극대 필터(極大filter, 영어: maximal filter) 또는 초필터(超filter, 영어: ultrafilter 울트라필터^[*])라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 $\operatorname {Ideal} (X,\lesssim )$을 이루며, 만약 $X$가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 $X\in \operatorname {Ideal} (X,\lesssim )$ 자체이다. 이 경우 $\operatorname {Ideal} (X,\lesssim )\setminus \{X\}$의 극대 원소를 극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 영어: maximal order ideal)라고 한다.

($X$ 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질

합집합과 교집합

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 속의 필터들의 사슬 ${\mathcal {C}}\subseteq \operatorname {Filter} (X,\lesssim )$에 대하여, 합집합 $\textstyle \bigcup {\mathcal {C}}$은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 $\bigcap {\mathcal {C}}$는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 $\mathbb {N}$에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 $\infty$, $\infty '$를 추가하였을 때,

$F_{i}=\{n\in \mathbb {N} \colon n\geq i\}\cup \{\infty ,\infty '\}$

는 필터이지만,

$\bigcap _{i\in \mathbb {N} }F_{i}=\{\infty ,\infty '\}$

는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

극대 필터 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 하향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$
• 필터 $F\subsetneq X$
• 최소 원소 $\bot \in X$. 즉, 모든 $x\in X$에 대하여 $\bot \lesssim x$이다.

극대 필터 정리(極大filter定理, 영어: maximal filter theorem)에 따르면, $F$를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다.

증명:

부분 순서 집합

${\mathcal {R}}=\left\{F'\in \operatorname {Filter} (X,\lesssim )\colon F\subseteq F'\neq X\right\}$

를 생각하자. 초른 보조정리에 따라, ${\mathcal {R}}$ 속의 모든 사슬이 상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

${\mathcal {R}}$ 속의 임의의 사슬 ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {R}}$에 대하여, $\textstyle \bigcup {\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {C}}$의 상계이다. 이제 $\textstyle \bigcup {\mathcal {C}}\neq X$임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, $\textstyle \bigcup {\mathcal {C}}=X$라고 가정하자. 그렇다면

$\bot \lesssim C\in {\mathcal {C}}$

인 $C\in {\mathcal {C}}$를 찾을 수 있다. 그렇다면 $C=X\not \in {\mathcal {R}}$인데, 이는 모순이다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에서, $X$ 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

격자

격자 $L$의 부분 집합 $I\subseteq L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 순서 아이디얼이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • 공집합이 아니다.
  • $x,y\in I$에 대하여 $x\lor y\in I$이다.
  • $x\in I$ 및 $y\in L$에 대하여 $x\land y\in I$이다.
• $I=\phi ^{-1}(0)$인 이음 반격자 준동형 $\phi \colon L\to 2$가 존재한다.

격자 $L$의 부분 집합 $F\subseteq L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $F$는 필터이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • 공집합이 아니다.
  • $x,y\in F$에 대하여 $x\land y\in F$이다.
  • $x\in F$ 및 $y\in L$에 대하여 $x\lor y\in F$이다.
• $F=\phi ^{-1}(1)$인 만남 반격자 준동형 $\phi \colon L\to 2$가 존재한다.

격자 $L$의 부분 집합 $I\subseteq L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 소 순서 아이디얼이다.
• $L\setminus I$는 소 필터이다.
• $I=\phi ^{-1}(0)$인 격자 준동형 $\phi \colon L\to 2$가 존재한다.

필터 격자와 순서 아이디얼 격자

일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자 $S$의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Ideal} (S)$은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 ${\mathcal {I}}\subseteq \operatorname {Ideal} (S)$의 상한과 하한은 다음과 같다.

$\bigvee {\mathcal {I}}=\{x\in S\colon x\leq i_{1}\vee \cdots \vee i_{n},\;i_{k}\in I_{k},\;k=1,\dots ,n,\;I_{1},\dots ,I_{n}\in {\mathcal {I}},\;n=1,2,\dots \}$

$\bigwedge {\mathcal {I}}=\bigcap {\mathcal {I}}$

쌍대적으로, 유계 만남 반격자 $S$의 필터들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Filter} (S)$은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합 ${\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Filter} (S)$의 상한과 하한은 다음과 같다.

$\bigvee {\mathcal {F}}=\{x\in S\colon x\geq f_{1}\wedge \cdots \wedge f_{n},\;f_{k}\in F_{k},\;k=1,\dots ,n,\;F_{1},\dots ,F_{n}\in {\mathcal {F}},\;n=1,2,\dots \}$

$\bigwedge {\mathcal {F}}=\bigcap {\mathcal {F}}$

반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.^{:53, Theorem 42}

격자 $L$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{:111, Corollary 104}

• 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Ideal} (L)$은 분배 격자이다.
• 필터들의 부분 순서 집합 $\operatorname {Filter} (L)$은 분배 격자이다.
• $L$은 분배 격자이다.

볼록 부분 격자

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$가 다음 두 조건을 만족시키면, (순서) 볼록 집합(영어: (order) convex set)이라고 한다.

• 임의의 $x,y\in S$ 및 $z\in X$에 대하여, 만약 $x\lesssim z\lesssim y$라면, $z\in S$

격자 $L$의 순서 아이디얼 $I$와 필터 $F$의 교집합 $I\cap F$는 항상 $L$의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.^{:34, Lemma 9}

증명:

격자 $L$의 순서 아이디얼 $I$와 필터 $F$가 주어졌다고 하자. $I$와 $F$가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다. $x,y\in I\cap F$ 및 $z\in L$이 주어졌고, $x\leq z\leq y$라고 하자. 그렇다면 $I$가 하집합이므로 $z\in I$이며, $F$가 상집합이므로 $z\in F$이다. 따라서, $I\cap F$는 $L$의 볼록 부분 격자이다.

반대로, $L$의 볼록 부분 격자 $S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $S$는 상향 집합이자 하향 집합이다. $S$를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 $\mathop {\downarrow } S$ 및 필터 $\mathop {\uparrow } S$를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 $S\subseteq \mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S$이다. 또한, $S$가 볼록 부분 격자이므로 $\mathop {\downarrow } S\cap \mathop {\uparrow } S\subseteq S$이다. 따라서 $S$는 순서 아이디얼 $\mathop {\downarrow } S$와 필터 $\mathop {\uparrow } S$의 교집합이다.

이제, $L$의 볼록 부분 격자 $S=I\cap F$가 순서 아이디얼 $I$와 필터 $F$의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라, $I=\mathop {\downarrow } S$를 보이면 족하다. $S\subseteq I$이므로 $\mathop {\downarrow } S\subseteq I$이다. 반대로 $x\in I$라고 하자. 임의의 $y\in S$를 취하자. 그렇다면, $y\in I$이므로 $x\vee y\in I$이며, $y\in F$이므로 $x\vee y\in F$이다. 즉, $x\vee y\in S$이다. $x\leq x\vee y$이므로, $x\in \mathop {\downarrow } S$이다.

불 대수

불 대수 $(B,\lor ,\land ,\lnot )$는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

$xy=x\land y$

$x+y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)$

또한, 불 대수 $(B,\lor ,\land ,\lnot )$는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

$x\leq y\iff x=x\land y\iff y=x\lor y$

그렇다면, $B$의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수 $B$ 위의 필터 ${\mathcal {U}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {U}}$는 극대 필터이다.
• 임의의 $x\in B$에 대하여, $x\in {\mathcal {U}}$이거나 $\lnot x\in {\mathcal {U}}$이다.
• $B\setminus {\mathcal {U}}$는 극대 순서 아이디얼이다.

그물의 유도 필터

집합 $X$와 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$ 및 그물 $x_{\bullet }\colon I\to X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(x_{i})_{i\in I}$의 꼬리들의 집합

$\left\{\{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\colon i\in I\right\}$

은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

$\left\{S\subseteq X\colon \exists i\in I\colon \{x_{i'}\colon i\lesssim i'\}\subseteq S\right\}$

를 그물 $x_{\bullet }$의 유도 필터(영어: derived filter)라고 한다.

마찬가지로, 집합 $Y$와 하향 원순서 집합 $(J,\lesssim )$ 및 함수 $y_{\bullet }\colon J\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(y_{j})_{j\in J}$의 머리들의 집합

$\left\{\{y_{j'}\colon j'\lesssim j\}\colon j\in J\right\}$

은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

$\left\{S\subseteq Y\colon \exists j\in J\colon \{x_{j'}\colon j'\lesssim j\}\subseteq S\right\}$

를 $y_{\bullet }$의 유도 순서 아이디얼(영어: derived order ideal)라고 한다.

수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

필터에 대응되는 그물

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.

집합 $X$의 멱집합 $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$의 부분 집합 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$가 주어졌을 때, 집합

$I=\{(x,A)\colon x\in A\in {\mathcal {F}}\}\subseteq X\times {\mathcal {F}}$

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

$(x,A)\lesssim (y,B)\iff A\subseteq B$

만약 ${\mathcal {F}}$가 상향 원순서 집합이며 ${\mathcal {F}}\neq \{\varnothing \}$이라면 $I$ 역시 상향 원순서 집합이며,

$n\colon I\to X$

$n\colon (x,A)\mapsto x$

는 그물을 이룬다. 반대로, ${\mathcal {F}}$가 하향 원순서 집합이며 ${\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)$라면 $I$ 역시 하향 원순서 집합이며,

$n\colon I^{\operatorname {op} }\to X$

$n\colon (x,A)\mapsto x$

는 그물을 이룬다.

멱집합 위의 필터

집합 $X$의 멱집합 $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ 위의 필터 ${\mathcal {U}}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {U}}$는 극대 필터이다.
• ${\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)$이며, 임의의 $A,B\subseteq X$에 대하여, 만약 $A\cup B\in {\mathcal {U}}$라면 $A\in {\mathcal {U}}$이거나 $B\in {\mathcal {U}}$이다.
• ${\mathcal {U}}\neq {\mathcal {P}}(X)$이며, 임의의 $A\subseteq X$에 대하여, $A\in {\mathcal {U}}$이거나 $X\setminus A\in {\mathcal {U}}$이다.

따라서, 집합 $X$의 멱집합 $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ 위의 극대 필터 ${\mathcal {U}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 $A\subseteq X$는 "대부분"이거나 ($A\in {\mathcal {U}}$), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 ($X\setminus A\in {\mathcal {U}}$).

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

$\uparrow \{x\}=\{S\subseteq X\colon x\in S\}$

는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

완비 극대 필터

기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa$-완비 극대 필터(영어: $\kappa$-complete maximal filter)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 ${\mathcal {U}}$이다.

• 임의의 ${\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}$에 대하여, 만약 $|V|<\kappa$라면 $\textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {U}}$이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는 $\aleph _{0}$-완비 극대 필터이다.

집합 $X$ 위의 극대 필터 ${\mathcal {U}}$의 완비성 $\kappa$는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

• $\textstyle \bigcap {\mathcal {V}}\not \in {\mathcal {U}}$이며 $|{\mathcal {V}}|=\kappa$인 ${\mathcal {V}}\subset {\mathcal {U}}$가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 $\aleph _{0}$ 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

예

자명한 필터

임의의 하향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 속에서, $X$ 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 속에서, $X$ 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

주 필터와 주 아이디얼

어떤 원소 $x$를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(영어: principal filter)로 부르며,

$\uparrow x=\{y\in X\colon x\lesssim y\}$

로 표기한다. 어떤 원소 $x$를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(영어: principal order ideal)로 부르며,

$\downarrow x=\{y\in X\colon y\lesssim x\}$

로 표기한다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

프레셰 필터

집합 $S$ 및 무한 기수 $\aleph _{0}\leq \kappa$에 대하여,

${\mathcal {F}}_{\kappa }(S)=\{T\subset S\colon |S\setminus T|<\kappa \}$

는 $S$위의 필터를 이룬다. 만약 $\kappa =\aleph _{0}$이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(영어: Fréchet filter)라고 한다.

근방 필터

 이 부분의 본문은 근방 필터입니다.

위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사

순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다. "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(영어: μ-ideal)이라는 이름으로 일반화하였다.^{:3, Definition 1} 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(영어: α-ideal)이라고 명명하였다.^{:4, Definition 1}

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(프랑스어: filtre 필트르^[*])와 "초필터"(프랑스어: ultrafiltre 윌트라필트르^[*])라는 용어를 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

각주

• Comfort, W. W. (1977). “Ultrafilters: some old and some new results”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 83 (4): 417–455. doi:10.1090/S0002-9904-1977-14316-4. ISSN 0002-9904. MR 0454893. 
• Comfort, W. W.; Negrepontis, S. (1974). 《The theory of ultrafilters》 (영어). Springer-Verlag. MR 0396267. 
• Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling, 편집. (2010). 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) 530. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/530. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2742582. 
  • Bergelson, Vitaly (2010). 〈Ultrafilters, IP sets, dynamics, and combinatorial number theory〉 (PDF). Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling. 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) 530. American Mathematical Society. 23–47쪽. doi:10.1090/conm/530/10439. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2757532. 
  • Fremlin, D. H. (2010). 〈Measure-centering ultrafilters〉 (PDF). Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling. 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) 530. American Mathematical Society. 73–120쪽. doi:10.1090/conm/530/10441. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2757534. 2016년 3월 25일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 6월 16일에 확인함. 
  • Neeman, Italy (2010). 〈Ultrafilters and large cardinals〉 (PDF). Bergelson, Vitaly; Blass, Andreas; Di Nasso, Mauro; Jin, Renling. 《Ultrafilters across Mathematics》. Contemporary Mathematics (영어) 530. American Mathematical Society. 181–200쪽. doi:10.1090/conm/530/10445. ISBN 978-0-8218-4833-3. MR 2757538. 

외부 링크

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• “Ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ultrafilter”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Filter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ultrafilter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Filter”. 《nLab》 (영어). 
• “Ideal”. 《nLab》 (영어). 
• “Prime ideal theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Ultrafilter”. 《nLab》 (영어). 
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• “Definition: filter”. 《ProofWiki》 (영어). 
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• “Boolean prime ideal theorem”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Ultrafilter lemma”. 《ProofWiki》 (영어). 
• Tao, Terrence (2007년 6월 25일). “Ultrafilters, nonstandard analysis, and epsilon management”. 《What’s New》 (영어). 
• Leinster, Tom (2011년 7월 2일). “Definitions of ultrafilter”. 《The n-Category Café》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2010년 11월 22일). “Boolean rings, ultrafilters, and Stone’s representation theorem”. 《Annoying Precision》 (영어). 
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• Yuan, Qiaochu (2010년 12월 14일). “Ultrafilters in Ramsey theory”. 《Annoying Precision》 (영어).