스미스 표준형

선형대수학에서, 스미스 표준형(영어: Smith canonical form)은 주 아이디얼 정역 위에 주어진 임의의 모양의 행렬과 동치인 매우 단순한 꼴의 대각 행렬이다. 스미스 표준형의 존재는 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 자유 가군과 부분 가군의 적절한 기저 사이의 선형 관계는 아주 간단할 수 있다는 사실과 동치이다.

정의

주 아이디얼 정역 $R$ (예를 들어, 정수환 $\mathbb {Z}$ 또는 체 계수 일변수 다항식환 $K[x]$ ) 위의 임의의 $m\times n$ 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \operatorname {GL} (m;R)$ 와 $Q\in \operatorname {GL} (n;R)$ 및 유한 개의 원소 $d_{1},d_{2},\dots ,d_{r}\in R$ 가 존재한다.

PAQ={\begin{pmatrix}d_{1}\\&d_{2}\\&&\ddots \\&&&d_{r}\\&&&&0_{(m-r)\times (n-r)}\\\end{pmatrix}}

d_{i}\neq 0\qquad (i=1,2,\dots ,r)

d_{1}\mid d_{2}\mid \cdots \mid d_{r}

(여기서 $0_{(m-r)\times (n-r)}$ 는 $(m-r)\times (n-r)$ 영행렬이다.) 또한 $d_{1},d_{2},\dots ,d_{r}$ 은 가역원배의 차이를 무시하면 유일하다. 이를 $A$ 의 스미스 표준형이라고 한다.

알고리즘

행렬의 스미스 표준형은 두 행 또는 두 열을 교환하는 연산과 한 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 구할 수 있다. $R$ 는 유일 인수 분해 정역이므로, 모든 0이 아닌 원소는 유일한 인수 분해를 갖는다. 임의의 $r\in R\setminus \{0\}$ 에 대하여, $l(r)\in \mathbb {N}$ 이 $r$ 의 소인수의 중복집합의 크기라고 하자.

우선 $R$ 위의 $2\times 2$ 행렬

{\begin{pmatrix}a&b\\c&e\end{pmatrix}}

을 생각하자. $R$ 가 베주 정역이므로, $a$ 와 $b$ 의 최대공약수 $d$ 에 대하여, $d=ua+vb$ 인 $u,v\in R$ 가 존재한다. $a=da'$ , $b=db'$ 라고 하자. 그렇다면 $ua'+vb'=1$ 이다. 따라서

{\begin{pmatrix}u&-b'\\v&a'\end{pmatrix}}

은 가역 행렬이며,

{\begin{pmatrix}a&b\\c&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-b'\\v&a'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&0\\uc+vd&-b'c+a'd\end{pmatrix}}

이다. 마찬가지로, 왼쪽에 가역 행렬을 곱하여 첫 행 첫 열 성분이 $a$ 와 $c$ 의 최대공약수이며 둘째 행 첫 열 성분이 0이도록 만들 수 있다.

이제 일반적인 $m\times n$ 행렬 $A$ 를 생각하자. 만약 $A=0$ 이라면, $A$ 는 이미 스스로의 스미스 표준형이다. $A\neq 0$ 이라고 가정하자. 행과 열의 교환을 통해, 편의상 $A_{11}\neq 0$ 이라고 가정하자. (보통 과정을 간단하게 만들기 위해 $l(A_{11})$ 가 가장 작도록 행·열을 교환한다.) 만약 모든 $i,j=2,\dots ,n$ 에 대하여 $A_{11}\mid A_{ij}$ 라면, 각 열에 첫 열의 배수를 더하고 각 행에 첫 행의 배수를 더하여, 첫 행과 첫 열의 $A_{11}$ 을 제외한 모든 성분이 0이 되게 만들 수 있다. 만약 $A_{11}\nmid A_{ij}$ 인 $i,j=2,\dots ,n$ 이 존재한다면, 행과 열의 교환 및 행 또는 열에 다른 행 또는 열의 배수를 더하는 연산을 통해 $A_{11}\nmid A_{12}$ 이거나 $A_{11}\nmid A_{21}$ 라고 가정할 수 있다. (예를 들어, 만약 $A_{11}\mid A_{12},A_{21}$ 이지만 $A_{11}\nmid A_{22}$ 라면, 첫 행의 적절한 배수를 둘째 행에서 빼 둘째 행 첫 열의 성분을 0으로 만들고, 마찬가지로 첫 행 둘째 열의 성분을 0으로 만든 뒤, 다시 둘째 행을 첫 행에 더하면, $A_{11}$ 은 변하지 않으며, $A_{11}$ 이 바로 오른쪽 성분을 나누지 못하게 된다.) 편의상 $A_{11}\nmid A_{12}$ 라고 하자. 그렇다면

{\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}Q'={\begin{pmatrix}A'_{11}&0\\A'_{21}&A'_{22}\end{pmatrix}}

A'_{11}=\gcd\{A_{11},A_{12}\}

인 가역 행렬 $Q'$ 이 존재한다. 따라서

Q={\begin{pmatrix}Q'&0\\0&1_{(n-2)\times (n-2)}\end{pmatrix}}

는 가역 행렬이며, 행렬 $AQ$ 의 첫 행 첫 열 성분은 $A'_{11}$ 이다. 또한 $A_{11}\nmid A_{12}$ 이므로 $A'_{11}$ 은

l(A'_{11})<l(A_{11})

을 만족시킨다. ( $A_{11}\nmid A_{21}$ 인 경우에도 가역 행렬의 왼쪽 곱셈을 통해 첫 행 첫 열의 소인수의 수를 감소시킬 수 있다.) 첫 행 첫 열의 원소는 소인수의 수가 줄어들수록 가역원에 가까워져 ‘다른 성분들을 나눌 가능성’이 늘어난다. 따라서 이와 같은 과정을 반복하면 결국 첫 행 첫 열의 성분이 모든 다른 성분을 나누는 행렬을 얻는다. 이제 첫 행의 적절한 배수를 다른 행에 더하고 첫 열의 적절한 배수를 다른 열에 더하면 $A$ 는 다음과 같은 꼴의 행렬과 동치가 된다.