매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위에 스핀C 구조가 존재할 필요 충분 조건 은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류
W
3
(
M
)
=
β
w
2
(
M
)
∈
H
3
(
M
;
Z
)
{\displaystyle W_{3}(M)=\beta w_{2}(M)\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}
가 0인지 여부이다. 여기서
β
{\displaystyle \beta }
는 복시테인 준동형
β
:
H
2
(
M
;
Z
/
2
)
→
H
3
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \beta \colon \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} /2)\to \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}
이다.
만약 다양체
M
{\displaystyle M}
위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은
H
2
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} )}
위의 아핀 공간 이다.
이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 아벨 군 의 짧은 완전열
0
→
Z
↪
⋅
2
Z
↠
+
2
Z
Z
/
2
→
0
{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\cdot 2}{\hookrightarrow }}\mathbb {Z} {\stackrel {+2\mathbb {Z} }{\twoheadrightarrow }}\mathbb {Z} /2\to 0}
을 생각하자. 이에 따라, 지그재그 보조정리 를 사용하여 다음과 같은 긴 완전열 이 존재한다.
⋯
→
H
2
(
M
,
Z
)
→
⋅
2
H
2
(
M
;
Z
)
→
mod
2
H
2
(
M
;
Z
/
2
)
→
β
H
3
(
M
;
Z
)
→
⋯
{\displaystyle \dotsb \to \operatorname {H} ^{2}(M,\mathbb {Z} ){\xrightarrow {\cdot 2}}\operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} ){\xrightarrow {\bmod {2}}}\operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Z} /2){\xrightarrow {\beta }}\operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )\to \cdots }
여기서
β
{\displaystyle \beta }
는 복시테인 준동형 이다.
스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조 를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발 을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발 들은 그 천 특성류
c
2
∈
H
2
(
M
,
Z
)
{\displaystyle c_{2}\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}
에 의하여 분류된다. 이는 위 긴 완전열 에서 첫
H
2
(
M
,
Z
)
{\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}
에 해당하며, 이는 두 번째
H
2
(
M
,
Z
)
{\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}
에서
⋅
2
{\displaystyle \cdot 2}
의 상 에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째
H
2
(
M
,
Z
)
{\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}
에서
⋅
2
{\displaystyle \cdot 2}
의 상 에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를
α
∈
H
2
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \alpha \in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}
라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류
w
2
∈
H
2
(
M
;
Z
/
2
)
{\displaystyle w_{2}\in H^{2}(M;\mathbb {Z} /2)}
이므로, 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물
α
{\displaystyle \alpha }
와 같으려면
mod
2
{\displaystyle {\bmod {2}}}
에 따른
α
{\displaystyle \alpha }
의 상 이
w
2
{\displaystyle w_{2}}
이어야 한다. 완전열 의 성질에 의하여, 이 조건은
w
2
{\displaystyle w_{2}}
의 복시테인 준동형 에 따른 상
β
w
2
=
W
3
∈
H
3
(
M
,
Z
)
=
0
{\displaystyle \beta w_{2}=W_{3}\in \operatorname {H} ^{3}(M,\mathbb {Z} )=0}
인 조건과 동치 이다.
다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.
모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체 는 스핀C 구조를 갖는다.
모든 개복소 다양체 는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발 은 복소수 접다발
T
+
M
{\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M}
의 행렬식 선다발
⋀
dim
C
M
T
+
M
{\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\dim _{\mathbb {C} }M}\mathrm {T} ^{+}M}
이다.
모든 스핀 다양체 는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발 은 자명한 다발이다.