슈티펠-휘트니 특성류

대수적 위상수학에서 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney特性類, 영어: Stiefel–Whitney class)는 실수 벡터 다발을 분류하는 유한체 계수 특성류이다. 이는 복소수 벡터 다발천 특성류에 의하여 분류되는 것과 마찬가지다.

정의

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위상 공간   위의 실수 유한 차원 벡터 다발  슈티펠-휘트니 특성류

 

는 다음 네 조건을 만족시키는 유일한 특성류이다.

  • (직합의 분해) 임의의 벡터 다발  에 대하여,  
  • (당김) 임의의 연속 함수  에 대하여,  
  • (계수)  이며,  이다.
  • (규격화) 실수 사영 직선  의 자명 선다발  의 슈티펠-휘트니 특성류는 자명하지 않다. 즉,  코호몰로지 환 ,  이라면  이다.

이 네 조건들을 모두 만족시키는 특성류는 유일하게 존재한다는 것을 보일 수 있다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류

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아벨 군짧은 완전열

 

에 대한 복시테인 준동형

 

를 생각하자. 유한 차원 실수 벡터 다발  정수 슈티펠-휘트니 특성류  는 슈티펠-휘트니 특성류의, 이 복시테인 준동형에 대한 이다.

 

우 특성류

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유한 차원 실수 벡터 다발  우 특성류([吳]特性類, 영어: Wu class)  는 그 총 스틴로드 제곱이 슈티펠-휘트니 특성류가 되는 코호몰로지류이다.

 
 

구성

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슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같이 여러 방법으로 구성할 수 있다.

톰 동형을 통한 구성

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슈티펠-휘트니 특성류는 톰 동형을 사용하여 다음과 같이 구성할 수 있다.[1]

 차원 실수 벡터 다발  이 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

또한,   속에 다음 조건을 만족시키는 유일한 코호몰로지류  가 존재한다.

  • 모든  에 대하여, 올  에 국한한 코호몰로지류  는 0이 아니다.

이를 톰 특성류라고 한다.

그렇다면, 각종 코호몰로지 공간 사이에 다음과 같은 사상들을 정의할 수 있다.

 

이 경우,    벡터 공간동형 사상이다. 이를 톰 동형이라고 한다.

기본 코호몰로지류  의 총 스틴로드 제곱

 

를 생각하자. 그렇다면, 슈티펠-휘트니 특성류는 톰 특성류의 총 스틴로드 제곱의 톰 동형에 대한 원상이다.

 

무한 사영 공간을 통한 구성

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선다발의 슈티펠-휘트니 특성류는 무한 사영 공간을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.

 차원 실수 벡터 다발은 무한 그라스만 다양체  에 의하여 분류된다. 특히, 실수 선다발은 무한 사영 공간  에 의하여 분류된다. 무한 사영 공간은 에일렌베르크-매클레인 공간

 

이다.

실수 선다발  에 대응하는 연속 함수

 

를 생각하자. 에일렌베르크-매클레인 공간의 성질에 따라,

 

이다. 그렇다면, 실수 선다발  슈티펠-휘트니 특성류  는 다음과 같다.

 

여기서   호모토피류를 뜻한다.

성질

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일반적으로 특성류매끄러움 구조 또는 복소구조에 의존한다. 유리수 계수 폰트랴긴 특성류는 (위상) 다양체의 불변량이다. 즉, 매끄러움 구조에 의존하지 않는다. 그러나 이는 호모토피 동치에 대한 불변량이 아니다. 우 정리([吳]定理, 영어: Wu’s theorem)에 따르면, 슈티펠-휘트니 특성류는 호모토피 동치에 대한 불변량이다.

방해물 이론

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처음 몇 개의 슈티펠-휘트니 특성류는 다음과 같은 구조의 존재에 대한 방해물을 이룬다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

특히, 다양체  가향 다양체필요충분조건은 그 접다발의 1차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체 위의 유한 차원 실수 벡터 다발에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 스핀 구조를 갖는다.
  • 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0이다.

특히, 다양체  스핀 다양체가 될 수 있는 필요충분조건은 그 접다발의 1차 및 2차 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

매끄러운 다양체  위의 유한 차원 실수 벡터 다발  에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 스핀C 구조를 갖는다.
  • 1차 슈티펠-휘트니 특성류  가 0이고, 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류  가 0이다.

특히, 다양체  스핀C 다양체가 될 수 있는 필요충분조건가향 다양체이며 접다발의 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류가 0인 것이다.

역사

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에두아르트 슈티펠(독일어: Eduard Stiefel)[2]해슬러 휘트니[3]가 발견하였다.

우 특성류는 우원쥔(중국어 간체자: 吴文俊, 정체자: 吳文俊, 병음: Wú Wénjùn, 한자음: 오문준)이 도입하였다.[4]

같이 보기

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각주

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  1. Thom, René (1954). “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) 28: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 2016년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 24일에 확인함. 
  2. Stiefel, Eduard (1935). “Richtungsfelder und Fernparallelismus in  -dimensionalen Mannigfaltigkeiten”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 8 (1): 305–353. doi:10.1007/BF01199559. ISSN 0010-2571.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 42) (도움말)
  3. Whitney, Hassler (1937). “Topological properties of differentiable manifolds”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 43: 785–805. doi:10.1090/S0002-9904-1937-06642-0. ISSN 0273-0979. MR 1563640. Zbl 0018.23902. 
  4. Wu, Wen-Tsun (1955). “On Pontrjagin classes II”. 《Scientia Sinica》 (영어) 4: 455-490. 

외부 링크

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