가환환
R
{\displaystyle R}
결합 대수
A
{\displaystyle A}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
분해 집합 (分解集合, 영어 : resolvent set )은 다음과 같은 집합이다.[ 1] :252, Definition 10.10
ρ
(
a
)
=
{
λ
∈
R
:
λ
−
a
∈
Unit
(
A
)
}
{\displaystyle \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\in \operatorname {Unit} (A)\right\}}
여기서
Unit
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Unit} (A)}
A
{\displaystyle A}
가역원군 이다. 즉,
λ
−
a
{\displaystyle \lambda -a}
가역원 이 되는 스칼라
λ
{\displaystyle \lambda }
여집합 을
a
{\displaystyle a}
스펙트럼
σ
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
[ 1] :252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)
σ
(
a
)
=
R
∖
ρ
(
a
)
=
{
λ
∈
R
:
λ
−
a
∉
Unit
(
A
)
}
⊆
R
(
a
∈
A
)
{\displaystyle \sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}\subseteq R\qquad (a\in A)}
이 경우, 원소
(
λ
−
a
)
−
1
∈
A
{\displaystyle (\lambda -a)^{-1}\in A}
a
{\displaystyle a}
λ
{\displaystyle \lambda }
분해식 (分解式, 영어 : resolvent )이라고 한다.
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
실수체 또는 복소수체 이며,
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
결합 대수 라고 하자. 이 경우, 원소
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
스펙트럼 반지름 (spectrum半지름, 영어 : spectral radius )은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한 이다.[ 1] :253, Definition 10.10
s
p
e
c
r
a
d
(
a
)
=
sup
λ
∈
σ
(
a
)
|
λ
|
{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\sup _{\lambda \in \sigma (a)}|\lambda |}
만약
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 대수 라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합 이므로, 이 경우 상한 은 최댓값이 된다.
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
실수체 또는 복소수체 라고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
유계 작용소 의 집합
B
(
V
,
V
)
{\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 대수 를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리 에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소 의 역함수 는 유계 작용소 이다. 즉,
B
(
V
,
V
)
{\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}
가역원 인 것은 전단사 함수 인 것과 동치 이다.
바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수 의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉,
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
유계 작용소
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
σ
(
T
)
{\displaystyle \sigma (T)}
분리합집합 으로 분해된다.
σ
(
T
)
=
σ
p
(
T
)
⊔
σ
r
(
T
)
⊔
σ
c
(
T
)
{\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\text{p}}(T)\sqcup \sigma _{\text{r}}(T)\sqcup \sigma _{\text{c}}(T)}
이 성분들은 각각
점 스펙트럼 (點spectrum, 영어 : point spectrum )
σ
p
(
T
)
{\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)}
잔여 스펙트럼 (殘餘spectrum, 영어 : residual spectrum )
σ
r
(
T
)
{\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)}
연속 스펙트럼 (連續spectrum, 영어 : continuous spectrum )
σ
c
(
T
)
{\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)}
이며, 다음과 같다.
어떤 수
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
λ
∈
σ
(
T
)
{\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}
T
−
λ
{\displaystyle T-\lambda }
전단사 함수 이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
T
−
λ
{\displaystyle T-\lambda }
단사 함수 가 아니다. 이러한
λ
{\displaystyle \lambda }
점 스펙트럼
σ
p
(
T
)
{\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)}
λ
{\displaystyle \lambda }
T
{\displaystyle T}
고윳값
T
v
=
λ
v
{\displaystyle Tv=\lambda v}
고유 벡터
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
T
−
λ
{\displaystyle T-\lambda }
단사 함수 이지만, 전사 함수 가 아니다.
T
−
λ
{\displaystyle T-\lambda }
단사 함수 이지만 그 상 이 조밀 집합 이 아니다. 이러한
λ
{\displaystyle \lambda }
잔여 스펙트럼
σ
r
(
T
)
{\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)}
T
−
λ
{\displaystyle T-\lambda }
단사 함수 이며 그 상 이 조밀 집합 이지만 전사 함수 가 아니다. 이러한
λ
{\displaystyle \lambda }
연속 스펙트럼
σ
c
(
T
)
{\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)}
(
T
−
λ
)
−
1
:
(
T
−
λ
)
(
V
)
→
V
{\displaystyle (T-\lambda )^{-1}\colon (T-\lambda )(V)\to V}
V
{\displaystyle V}
조밀 집합
(
T
−
λ
)
(
V
)
{\displaystyle (T-\lambda )(V)}
복소수 바나흐 대수 의 원소의 스펙트럼은 공집합 이 아니다.[ 1] :253, Theorem 10.13(a) [ 2] :756, Theorem 1
증명: [ 2]
복소수 바나흐 대수
A
{\displaystyle A}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
귀류법 을 사용하여
σ
(
a
)
=
∅
{\displaystyle \sigma (a)=\varnothing }
연속 쌍대 공간
A
′
{\displaystyle A'}
f
∈
A
′
{\displaystyle f\in A'}
그렇다면, 이제 함수
h
:
R
+
→
C
{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} }
h
:
r
↦
∫
0
2
π
f
(
(
r
exp
(
i
θ
)
−
a
)
−
1
)
d
θ
{\displaystyle h\colon r\mapsto \int _{0}^{2\mathrm {\pi } }f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta }
를 정의하자. 그렇다면,
d
h
d
r
=
∫
0
2
π
∂
∂
r
f
(
(
r
exp
(
i
θ
)
−
a
)
−
1
)
d
θ
=
∫
0
2
π
f
(
a
(
r
2
exp
(
2
i
θ
)
)
exp
(
i
θ
)
d
θ
=
1
i
r
∫
0
2
π
f
(
a
(
r
2
exp
(
2
i
θ
)
)
i
r
exp
(
i
θ
)
d
θ
=
1
i
r
∫
0
2
π
∂
∂
θ
f
(
(
r
exp
(
i
θ
)
−
a
)
−
1
)
d
θ
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial r}}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\mathrm {i} r\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=0\end{aligned}}}
이다. (이는 피적분 함수가
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
h
{\displaystyle h}
상수 함수 이며, 그 값은
lim
r
→
0
h
(
r
)
=
−
2
π
f
(
a
−
1
)
{\displaystyle \lim _{r\to 0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})}
이다.
이제, 임의의
r
>
‖
a
‖
{\displaystyle r>\|a\|}
2
π
|
f
(
a
−
1
)
|
=
|
h
(
r
)
|
≤
∫
0
2
π
|
f
(
(
r
exp
(
i
θ
)
−
a
)
−
1
)
d
θ
≤
2
π
‖
f
‖
r
−
‖
a
‖
{\displaystyle 2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\leq \int _{0}^{2\pi }|f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \leq 2\pi {\frac {\|f\|}{r-\|a\|}}}
가 되므로, 사실
f
(
a
−
1
)
=
0
{\displaystyle f(a^{-1})=0}
f
∈
A
′
{\displaystyle f\in A'}
f
(
a
−
1
)
=
0
{\displaystyle f(a^{-1})=0}
a
−
1
≠
0
{\displaystyle a^{-1}\neq 0}
복소수 바나흐 대수
A
{\displaystyle A}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
겔판트 공식 (영어 : Gelfand formula )에 의하여 주어진다.[ 3] :195–197
s
p
e
c
r
a
d
(
a
)
=
lim
n
→
∞
‖
a
n
‖
n
{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}}
(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소 의 스펙트럼은 공집합 일 수 있다.)
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간 위의 유계 작용소
T
{\displaystyle T}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
콤팩트 집합 이다.[ 1] :253, Theorem 10.13(a)
|
λ
|
≤
‖
T
‖
(
∀
λ
∈
σ
(
T
)
)
{\displaystyle |\lambda |\leq \|T\|\qquad (\forall \lambda \in \sigma (T))}
이다. 여기서
‖
T
‖
{\displaystyle \|T\|}
작용소 노름 이다.
V
=
K
n
{\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간 이라고 하자. 그렇다면,
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환
V
→
V
{\displaystyle V\to V}
단사 함수 이거나 전사 함수 인 것은 전단사 함수 인 것과 동치 이다 (차원 정리 ). 이에 따라, 유한 차원
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.
특히, 선형 변환
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
행렬 )의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값 들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.
복소수 바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
콤팩트 작용소
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값 )으로 구성된다.
복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소 의 잔여 스펙트럼은 공집합 이다.
복소수 힐베르트 공간
V
{\displaystyle V}
정규 작용소
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
s
p
e
c
r
a
d
(
T
)
=
sup
v
∈
V
∖
{
0
}
|
⟨
v
,
T
v
⟩
|
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (T)=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|\langle v,Tv\rangle |}{\langle v,v\rangle }}}
보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소 의 수치 반지름 (數値半지름, 영어 : numerical radius )이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소 를 스펙트럼형 작용소 (spectrum型作用素, 영어 : spectraloid operator )라고 한다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 대수
A
{\displaystyle A}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
z
∈
ρ
(
a
)
{\displaystyle z\in \rho (a)}
‖
a
‖
<
|
z
|
{\displaystyle \|a\|<|z|}
노이만 급수 (Neumann級數, 영어 : Neumann series )가 (노름 으로 정의되는 거리 위상 에서) 수렴한다.[ 1] :250, Chapter 10
1
z
−
a
=
1
z
∑
n
=
0
∞
(
a
/
z
)
n
{\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }(a/z)^{n}}
실수 행렬
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
는
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
공집합 이다. 그러나 이는
C
2
{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}
{
±
i
}
{\displaystyle \{\pm \mathrm {i} \}}
복소수 힐베르트 공간
V
=
ℓ
2
(
C
)
{\displaystyle V=\ell ^{2}(\mathbb {C} )}
T
:
(
x
1
,
x
2
,
…
)
↦
(
0
,
x
1
,
x
2
,
…
)
{\displaystyle T\colon (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}
은 유계 작용소 이며, 사실 콤팩트 작용소 이다.
T
{\displaystyle T}
고윳값 을 가지지 않지만,
T
{\displaystyle T}
전사 함수 가 아니므로
T
{\displaystyle T}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
T
{\displaystyle T}
상 은 사실 조밀 집합 조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.
임의의
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
르베그 공간
V
=
L
p
(
X
,
Σ
,
μ
;
K
)
{\displaystyle V=\operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간 을 이룬다. 그 위의 가측 함수
f
:
(
X
,
Σ
)
→
(
K
,
B
(
K
)
)
{\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}
의 상 이 유계 집합 이라고 하자. (물론, 어떤 영집합
N
⊆
X
{\displaystyle N\subseteq X}
f
↾
(
X
∖
N
)
{\displaystyle f\upharpoonright (X\setminus N)}
유계 집합 인 것만으로도 족하다.) 여기서
B
(
K
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {K} )}
보렐 시그마 대수 이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
T
f
:
V
→
V
{\displaystyle T_{f}\colon V\to V}
T
f
:
g
↦
f
g
{\displaystyle T_{f}\colon g\mapsto fg}
는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
유계 작용소 이다.
이제, 집합
e
s
s
r
a
n
f
⊆
K
{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \mathbb {K} }
를 다음과 같이 정의하자.
λ
∈
e
s
s
r
a
n
f
⟺
def
∀
ϵ
∈
R
+
:
μ
(
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
ϵ
)
)
)
>
0
{\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f{\overset {\text{def}}{\iff }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\colon \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)>0}
그렇다면,
e
s
s
r
a
n
f
=
σ
(
T
f
)
{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f=\sigma (T_{f})}
증명 (
e
s
s
r
a
n
f
⊇
σ
(
T
f
)
{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\supseteq \sigma (T_{f})}
임의의
λ
∈
K
∖
e
s
s
r
a
n
f
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} \setminus \operatorname {ess\,ran} f}
μ
(
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
ϵ
)
)
)
=
0
{\displaystyle \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)=0}
인 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
그렇다면, 가측 함수
g
:
(
X
,
Σ
)
→
(
K
,
B
(
K
)
)
{\displaystyle g\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}
g
:
x
↦
1
λ
−
f
(
x
)
{\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{\lambda -f(x)}}}
를 생각하자. 그렇다면,
T
g
∘
(
λ
−
T
f
)
=
1
{\displaystyle T_{g}\circ (\lambda -T_{f})=1}
이다. 따라서
λ
∈
ρ
(
T
f
)
{\displaystyle \lambda \in \rho (T_{f})}
증명 (
e
s
s
r
a
n
f
⊆
σ
(
T
f
)
{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})}
p
<
∞
{\displaystyle p<\infty }
임의의
λ
∈
e
s
s
r
a
n
f
{\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f}
가측 함수 의 열
g
n
=
1
μ
(
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
)
1
/
p
χ
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
∈
L
p
(
X
,
Σ
,
μ
;
K
)
(
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle g_{n}={\frac {1}{{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}^{1/p}}}\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
을 정의하자. (여기서
χ
{\displaystyle \chi }
지시 함수 이다.)
그렇다면,
(
‖
(
λ
−
T
f
)
g
n
‖
L
p
)
p
=
1
μ
(
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
)
∫
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
|
λ
−
f
|
p
d
μ
≤
1
n
p
{\displaystyle \left(\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}\right)^{p}={\frac {1}{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}}\int _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}|\lambda -f|^{p}\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}}
이므로, 특히
lim
n
→
∞
‖
(
λ
−
T
f
)
g
n
‖
L
p
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}=0}
이다. 이에 따라,
λ
−
T
f
{\displaystyle \lambda -T_{f}}
유계 작용소 일 수 없다.
증명 (
e
s
s
r
a
n
f
⊆
σ
(
T
f
)
{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})}
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
임의의
λ
∈
e
s
s
r
a
n
f
{\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f}
가측 함수 의 열
g
n
=
χ
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
∈
L
∞
(
X
,
Σ
,
μ
;
K
)
(
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle g_{n}=\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
을 정의하자. (여기서
χ
{\displaystyle \chi }
지시 함수 이다.)
그렇다면,
‖
(
λ
−
T
f
)
g
n
‖
L
∞
=
e
s
s
s
u
p
(
|
λ
−
f
|
↾
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
)
≤
1
/
n
{\displaystyle \|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=\operatorname {ess\,sup} \left(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)\leq 1/n}
이므로, 특히
lim
n
→
∞
‖
(
λ
−
T
f
)
g
n
‖
L
∞
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=0}
이다. 이에 따라,
λ
−
T
f
{\displaystyle \lambda -T_{f}}
유계 작용소 일 수 없다.
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
임의의
λ
∈
e
s
s
r
a
n
f
{\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f}
μ
−
1
(
{
λ
}
)
>
0
{\displaystyle \mu ^{-1}(\{\lambda \})>0}
λ
∈
σ
p
(
T
f
)
{\displaystyle \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})}
λ
∈
σ
c
(
T
f
)
{\displaystyle \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})}
T
f
{\displaystyle T_{f}}
증명 (
μ
(
f
−
1
(
{
λ
}
)
)
>
0
⟹
λ
∈
σ
p
(
T
f
)
{\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))>0\implies \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})}
지시 함수
χ
f
−
1
(
{
λ
}
)
{\displaystyle \chi _{f^{-1}(\{\lambda \})}}
λ
{\displaystyle \lambda }
고유 벡터 이다.
증명 (
μ
(
f
−
1
(
{
λ
}
)
)
=
0
⟹
λ
∈
σ
c
(
T
f
)
{\displaystyle \mu (f^{-1}(\{\lambda \}))=0\implies \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})}
임의의
g
∈
L
p
(
X
,
Σ
,
μ
;
K
)
{\displaystyle g\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )}
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수 의 열을 정의하자.
h
n
=
g
λ
−
f
χ
X
∖
f
−
1
(
ball
K
(
λ
,
1
/
n
)
)
(
n
∈
Z
+
)
{\displaystyle h_{n}={\frac {g}{\lambda -f}}\chi _{X\setminus f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n))}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
여기서
χ
{\displaystyle \chi }
지시 함수 이다.
그렇다면, 지배 수렴 정리 에 따라
(
λ
−
T
f
)
h
n
→
L
p
g
{\displaystyle (\lambda -T_{f})h_{n}\,{\overset {\operatorname {L} ^{p}}{\to }}\,g}
이다. 즉,
λ
−
T
f
{\displaystyle \lambda -T_{f}}
상 은 항상 조밀 집합 이다.
가환환
R
{\displaystyle R}
결합 대수 로 간주하였을 때, 원소
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
σ
(
r
)
=
R
∖
(
r
+
Unit
(
R
)
)
{\displaystyle \sigma (r)=R\setminus (r+\operatorname {Unit} (R))}
이다. (여기서
Unit
(
R
)
=
{
r
∈
R
:
∃
r
−
1
}
{\displaystyle \operatorname {Unit} (R)=\{r\in R\colon \exists r^{-1}\}}
가역원군 이다.)
사원수 대수
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
실수 바나흐 대수 를 이루며, 사원수
a
∈
H
{\displaystyle a\in \mathbb {H} }
σ
(
a
;
R
)
=
R
∩
{
a
}
{\displaystyle \sigma (a;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{a\}}
(특히, 만약
a
∉
R
⊆
H
{\displaystyle a\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} }
σ
(
a
)
=
∅
{\displaystyle \sigma (a)=\varnothing }
마찬가지로, 복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
실수 바나흐 대수 로 간주하였을 때,
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
σ
(
z
;
R
)
=
R
∩
{
z
}
{\displaystyle \sigma (z;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{z\}}
(특히, 만약
z
∉
R
⊆
H
{\displaystyle z\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H} }
σ
(
z
)
=
∅
{\displaystyle \sigma (z)=\varnothing }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
복소수 바나흐 대수 로 간주하였을 때,
σ
(
z
;
C
)
=
{
z
}
{\displaystyle \sigma (z;\mathbb {C} )=\{z\}}
콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 대수
C
0
(
X
,
K
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}
f
∈
C
0
(
X
,
K
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}
상 이다.
σ
(
f
)
=
{
f
(
x
)
:
x
∈
X
}
⊆
K
{\displaystyle \sigma (f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq \mathbb {K} }
양자역학 에서, 복소수 힐베르트 공간
H
=
L
2
(
R
;
C
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )}
위에 매끄러운 함수 인 퍼텐셜
V
:
R
→
R
{\displaystyle V\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
이 주어졌으며,
inf
x
∈
R
V
(
x
)
>
∞
{\displaystyle \inf _{x\in \mathbb {R} }V(x)>\infty }
이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
H
=
−
d
2
d
x
2
+
V
(
x
)
{\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)}
를
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
α
∈
C
,
ℜ
(
α
)
≤
0
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;\Re (\alpha )\leq 0}
에 대하여 유계 작용소
exp
(
α
H
)
:
H
→
H
{\displaystyle \exp(\alpha H)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}
를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소 이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
σ
(
exp
(
α
H
)
)
=
{
exp
(
α
E
)
:
E
∈
R
}
{\displaystyle \sigma (\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in \mathbb {R} \}}
의 꼴이다. 이에 따라,
E
{\displaystyle E}
H
{\displaystyle H}
ℜ
(
α
)
<
0
{\displaystyle \Re (\alpha )<0}
exp
(
α
H
)
{\displaystyle \exp(\alpha H)}
![{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d4f000699693f8238f00ffe9844338c87e72aa)
