올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
한 정의는 보다 개념적으로 명확하며, 준층 의 정의의 직접적 일반화이다. 그러나 이는 올범주의 개념을 응용하기에 불필요한 추가 데이터(“쪼갬”)를 담고 있다.
다른 정의는 보다 기술적으로 용이하며, 불필요한 데이터를 담고 있지 않지만, 개념적으로 명확하지 않다.
이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 동치 이다.
위상 공간
B
{\displaystyle B}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
위의 쪼갬을 갖춘 올범주
Π
{\displaystyle \Pi }
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
B
{\displaystyle B}
의 각 열린집합
U
⊆
B
{\displaystyle U\subseteq B}
에 대하여, 범주
Π
(
U
)
{\displaystyle \Pi (U)}
두 열린집합
U
⊆
V
⊆
B
{\displaystyle U\subseteq V\subseteq B}
에 대하여, 함자
res
U
V
:
Π
(
V
)
→
Π
(
U
)
{\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{V}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)}
. 이를 제한 함자 (영어 : restriction functor )라고 한다.
세 열린집합
U
⊆
V
⊆
W
⊆
B
{\displaystyle U\subseteq V\subseteq W\subseteq B}
에 대하여, 함자
res
U
V
∘
res
V
W
{\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}}
와
res
U
W
{\displaystyle \operatorname {res} _{U}^{W}}
사이의 자연 동형
τ
U
,
V
,
W
:
res
U
V
∘
res
V
W
⇒
res
U
W
{\displaystyle \tau _{U,V,W}\colon \operatorname {res} _{U}^{V}\circ \operatorname {res} _{V}^{W}\Rightarrow \operatorname {res} _{U}^{W}}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의 네 열린집합
U
⊆
V
⊆
W
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq V\subseteq W\subseteq X}
에 대하여,
τ
U
,
V
,
X
∘
τ
V
,
W
,
X
=
τ
U
,
W
,
X
∘
τ
U
,
V
,
W
{\displaystyle \tau _{U,V,X}\circ \tau _{V,W,X}=\tau _{U,W,X}\circ \tau _{U,V,W}}
보다 일반적으로, 임의의 범주
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
위의 쪼갬을 갖춘 올범주 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
의 대상
U
{\displaystyle U}
에 대하여, 범주
Π
(
U
)
{\displaystyle \Pi (U)}
두 대상 사이의 사상
i
:
U
→
V
{\displaystyle i\colon U\to V}
에 대하여, 함자
res
i
:
Π
(
V
)
→
Π
(
U
)
{\displaystyle \operatorname {res} _{i}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)}
. 이를 제한 함자 (영어 : restriction functor )라고 한다.
두 사상
U
→
i
V
→
j
W
{\displaystyle U{\xrightarrow {i}}V{\xrightarrow {j}}W}
에 대하여, 함자
res
i
∘
res
j
{\displaystyle \operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}}
와
res
j
∘
i
{\displaystyle \operatorname {res} _{j\circ i}}
사이의 자연 동형
τ
i
,
j
:
res
i
∘
res
j
⇒
res
j
∘
i
{\displaystyle \tau _{i,j}\colon \operatorname {res} _{i}\circ \operatorname {res} _{j}\Rightarrow \operatorname {res} _{j\circ i}}
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
임의의 세 사상
U
→
i
V
→
j
W
→
k
X
{\displaystyle U{\xrightarrow {i}}V{\xrightarrow {j}}W{\xrightarrow {k}}X}
에 대하여,
τ
i
,
k
∘
j
∘
τ
j
,
k
=
τ
j
∘
i
,
k
∘
τ
i
,
j
{\displaystyle \tau _{i,k\circ j}\circ \tau _{j,k}=\tau _{j\circ i,k}\circ \tau _{i,j}}
함자
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
가 주어졌다고 하자.
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
의 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 보편 성질 을 만족시킨다면,
f
{\displaystyle f}
를 데카르트 사상 (Descartes寫像, 영어 : Cartesian morphism , 프랑스어 : morphisme cartésien )이라고 한다.
임의의
사상
f
′
:
X
′
→
Y
{\displaystyle f'\colon X'\to Y}
g
^
:
Π
(
X
′
)
→
Π
(
X
)
{\displaystyle {\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)}
에 대하여, 만약
Π
(
f
)
∘
g
^
=
Π
(
f
′
)
{\displaystyle \Pi (f)\circ {\hat {g}}=\Pi (f')}
라면,
Π
(
g
)
=
g
^
{\displaystyle \Pi (g)={\hat {g}}}
이며
f
∘
g
=
f
′
{\displaystyle f\circ g=f'}
인 사상
g
:
X
′
→
X
{\displaystyle g\colon X'\to X}
가 유일하게 존재한다.
E
→
Π
B
X
′
∃
!
g
↓
∃
!
g
↘
f
′
X
→
f
Y
↦
Π
Π
X
′
g
^
↓
g
^
↘
Π
f
′
Π
X
→
Π
f
Π
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f}{\to }}&\Pi Y\end{matrix}}\end{matrix}}}
함자
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
가 다음 조건을 만족시킨다면, 올범주 (영어 : fibered category )라고 한다.
대상
Y
∈
E
{\displaystyle Y\in {\mathcal {E}}}
및
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
속의 임의의 사상
f
^
:
X
^
→
Π
(
Y
)
{\displaystyle {\hat {f}}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y)}
에 대하여,
Π
(
X
)
=
X
^
{\displaystyle \Pi (X)={\hat {X}}}
이며
Π
(
f
)
=
f
^
{\displaystyle \Pi (f)={\hat {f}}}
인 대상
X
∈
E
{\displaystyle X\in {\mathcal {E}}}
및 데카르트 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 존재한다.
E
→
Π
B
∃
X
→
∃
f
Y
↦
Π
X
^
→
f
^
Π
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline \exists X{\overset {\exists f}{\to }}Y&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\hat {X}}{\overset {\hat {f}}{\to }}\Pi Y\end{matrix}}}
이 경우,
f
{\displaystyle f}
를
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
의
X
{\displaystyle X}
에서의 데카르트 올림 (영어 : Cartesian lift )이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질 에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
올범주의 쪼갬 (영어 : cleavage , 프랑스어 : clivage )은 각
(
X
,
f
^
)
{\displaystyle (X,{\hat {f}})}
에 대하여 한 올림을 고르되, 만약
f
^
{\displaystyle {\hat {f}}}
가 항등 사상 일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리 에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라,
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
의 각 사상
f
:
U
→
V
{\displaystyle f\colon U\to V}
에 대하여 함자
res
f
:
Π
(
V
)
→
Π
(
U
)
{\displaystyle \operatorname {res} _{f}\colon \Pi (V)\to \Pi (U)}
가 정의된다.
올범주
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
의, 대상
X
^
∈
B
{\displaystyle {\hat {X}}\in {\mathcal {B}}}
위의 올 (미국 영어 : fiber , 영국 영어 : fibre , 프랑스어 : fibre )
E
(
X
^
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}({\hat {X}})}
은
X
^
{\displaystyle {\hat {X}}}
의 원상 과 그 사이의 사상들로 구성된,
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
의 부분 범주 이다.
같은 밑범주를 갖는 두 올범주
Π
:
E
→
B
{\displaystyle \Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}}
,
Π
′
:
E
′
→
B
{\displaystyle \Pi '\colon {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {B}}}
사이의 사상 은 다음 두 조건을 만족시키는 함자
F
:
E
→
E
′
{\displaystyle F\colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'}
이다.
조각 범주
Cat
/
B
{\displaystyle \operatorname {Cat} /{\mathcal {B}}}
의 사상이다. 즉, 다음과 같은 함자 가환 그림이 성립한다.
E
→
F
E
′
Π
↘
↓
Π
′
B
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}&{\overset {F}{\to }}&{\mathcal {E}}'\\&{\scriptstyle \Pi }\searrow &\downarrow \scriptstyle \Pi '\\&&{\mathcal {B}}\end{matrix}}}
데카르트 사상의 상 은 항상 데카르트 사상이다.
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를
Fib
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {Fib} ({\mathcal {B}})}
라고 한다.
두 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
,
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}
에서
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
(또는
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
)로 사영하는 함자
proj
C
:
C
×
D
→
C
{\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}
proj
D
:
C
×
D
→
D
{\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}
는 올범주를 이룬다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
속의 대상
B
∈
C
{\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}
에 대한 조각 범주
C
/
B
{\displaystyle {\mathcal {C}}/B}
를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역 으로 대응시키는 망각 함자
C
/
B
→
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}/B\to {\mathcal {C}}}
(
X
→
f
B
)
↦
X
{\displaystyle (X{\xrightarrow {f}}B)\mapsto X}
(
X
→
f
Y
↘
↓
B
)
↦
(
X
→
f
Y
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\&\searrow &\downarrow \\&&B\end{pmatrix}}\mapsto (X{\xrightarrow {f}}Y)}
는 이산 올범주를 이룬다. 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
위의 올은 사상 모임 (이산 범주)
hom
C
(
X
,
B
)
{\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,B)}
이다.
이는 사실 표현 가능 준층
hom
C
(
−
,
B
)
:
C
op
→
Set
{\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
가 모든 당김 을 갖는다고 하자. 그렇다면,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 화살표 범주
C
→
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }}
를 생각하자. 사상을 그 공역 으로 대응시키는 함자
codom
C
:
C
→
→
C
{\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}^{\to }\to {\mathcal {C}}}
codom
C
:
(
A
→
f
B
)
↦
B
{\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon (A{\overset {f}{\to }}B)\mapsto B}
codom
C
:
(
A
→
f
B
h
↓
↓
k
C
→
g
D
)
↦
(
B
→
k
D
)
{\displaystyle \operatorname {codom} _{\mathcal {C}}\colon \left({\begin{matrix}A&{\overset {f}{\to }}&B\\{\scriptstyle h}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle k\\C&{\underset {g}{\to }}&D\end{matrix}}\right)\mapsto (B{\overset {k}{\to }}D)}
를 생각하자. 이는 올범주를 이루며,[ 1] :Example 3.15 사상
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
의,
g
∈
C
→
{\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{\to }}
(
g
:
C
→
B
{\displaystyle g\colon C\to B}
)에서의 올림은 다음과 같은 (
A
×
B
C
→
A
{\displaystyle A\times _{B}C\to A}
에서
g
{\displaystyle g}
로 가는
C
→
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }}
의 사상으로 간주한) 당김 이다.
A
×
B
C
→
C
↓
↓
g
A
→
f
B
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}A\times _{B}C&\to &C\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle g\\A&{\underset {f}{\to }}&B\end{matrix}}\end{matrix}}}
작은 범주 의 범주
Cat
{\displaystyle \operatorname {Cat} }
로 가는 함자
F
:
C
op
→
Cat
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} }
가 주어졌을 때,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 그로텐디크 구성 (영어 : Grothendieck construction )
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
를 다음과 같이 정의하자.
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
의 대상
(
X
,
x
)
{\displaystyle (X,x)}
은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
와
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
의 대상
x
∈
F
(
X
)
{\displaystyle x\in F(X)}
의 순서쌍이다.
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
의 사상
(
f
,
ϕ
)
:
(
X
,
x
)
→
(
X
′
,
x
′
)
{\displaystyle (f,\phi )\colon (X,x)\to (X',x')}
은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 사상
f
:
X
→
X
′
{\displaystyle f\colon X\to X'}
과
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
의 사상
x
→
F
f
(
x
′
)
{\displaystyle x\to Ff(x')}
의 순서쌍 이다.
그렇다면,
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 올범주를 이룬다.
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
위의 올은 작은 범주
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
이다.
범주
Mod
{\displaystyle \operatorname {Mod} }
를 다음과 같이 정의하자.
Mod
{\displaystyle \operatorname {Mod} }
의 대상
(
R
,
M
)
{\displaystyle (R,M)}
은 가환환
R
{\displaystyle R}
와 그 위의 가군
M
{\displaystyle M}
의 순서쌍 이다.
Mod
{\displaystyle \operatorname {Mod} }
의 사상
(
f
,
ϕ
)
:
(
R
,
M
)
→
(
R
′
,
M
′
)
{\displaystyle (f,\phi )\colon (R,M)\to (R',M')}
은 환 준동형
f
:
R
→
R
′
{\displaystyle f\colon R\to R'}
과
R
{\displaystyle R}
-가군 준동형
ϕ
:
M
→
f
∗
M
′
{\displaystyle \phi \colon M\to f^{*}M'}
의 순서쌍 이다.
그렇다면,
Mod
{\displaystyle \operatorname {Mod} }
는 가환환 범주
CRing
{\displaystyle \operatorname {CRing} }
위의 올범주를 이룬다. 가환환
R
{\displaystyle R}
위의 올은
R
{\displaystyle R}
-가군 들의 범주
Mod
R
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}
이다.
이는 가환환을 가군 아벨 범주 로 대응시키는 함자
M
:
CRing
op
→
Cat
{\displaystyle M\colon \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} }
M
:
R
↦
Mod
R
{\displaystyle M\colon R\mapsto \operatorname {Mod} _{R}}
M
:
(
f
:
R
→
S
)
↦
(
f
∗
:
Mod
S
→
Mod
R
)
{\displaystyle M\colon (f\colon R\to S)\mapsto (f^{*}\colon \operatorname {Mod} _{S}\to \operatorname {Mod} _{R})}
에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은
Mod
R
{\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}
이다.
범주
QCoh
{\displaystyle \operatorname {QCoh} }
를 다음과 같이 정의하자.
QCoh
{\displaystyle \operatorname {QCoh} }
의 대상
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
는 스킴
X
{\displaystyle X}
와 그 위의 준연접층
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
의 순서쌍 이다.
QCoh
{\displaystyle \operatorname {QCoh} }
의 사상
(
f
,
ϕ
)
:
(
X
,
F
)
→
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (f,\phi )\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}
는 스킴 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
과 층 사상
ϕ
:
F
→
f
∗
G
{\displaystyle \phi \colon {\mathcal {F}}\to f^{*}{\mathcal {G}}}
의 순서쌍 이다.
그렇다면, 스킴 의 범주로 가는 망각 함자
QCoh
→
Sch
{\displaystyle \operatorname {QCoh} \to \operatorname {Sch} }
는 올범주를 이룬다.[ 1] :53–55, §3.2.1 이는 스킴 을 준연접층 아벨 범주 로 대응시키는 함자
Sch
op
→
Cat
{\displaystyle \operatorname {Sch} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cat} }
X
↦
QCoh
X
{\displaystyle X\mapsto \operatorname {QCoh} _{X}}
에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 스킴 사상
X
→
f
Y
→
g
Z
{\displaystyle X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z}
에 대하여, 자연 동형
f
∗
∘
g
∗
⇒
(
g
∘
f
)
∗
{\displaystyle f^{*}\circ g^{*}\Rightarrow (g\circ f)^{*}}
이 존재한다.
(만약
Sch
{\displaystyle \operatorname {Sch} }
위에 fpqc 위상 을 부여한다면, 이는 스택 을 이룬다.)
모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.
집합 의 범주
Set
{\displaystyle \operatorname {Set} }
로 가는 함자
F
:
C
op
→
Set
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
가 주어졌을 때,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 원소 범주 (영어 : category of elements )
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
를 다음과 같이 정의하자.
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
의 대상
(
X
,
x
)
{\displaystyle (X,x)}
은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
와
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
의 원소
x
∈
F
(
X
)
{\displaystyle x\in F(X)}
의 순서쌍이다.
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
의 사상
f
:
(
X
,
x
)
→
(
X
′
,
x
′
)
{\displaystyle f\colon (X,x)\to (X',x')}
은
F
f
:
x
′
↦
x
{\displaystyle Ff\colon x'\mapsto x}
을 만족시키는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 사상
f
:
X
→
X
′
{\displaystyle f\colon X\to X'}
이다.
그렇다면,
C
∫
F
{\displaystyle {\mathcal {C}}\textstyle \int F}
는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 이산 올범주를 이룬다.
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
이다.
원소 범주 구성은 함자
F
{\displaystyle F}
의 치역 이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.
모든 부분 순서 집합 은 작은 얇은 범주 로 생각할 수 있다.
모든 당김 을 갖는 작은 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
에 대하여, 부분 순서 집합 의 범주
Poset
{\displaystyle \operatorname {Poset} }
로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.
Sub
:
C
op
→
Poset
{\displaystyle \operatorname {Sub} \colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Poset} }
Sub
:
X
↦
Sub
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} \colon X\mapsto \operatorname {Sub} (X)}
Sub
:
(
f
:
X
→
Y
)
↦
(
f
∗
:
Sub
(
Y
)
→
Sub
(
X
)
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto \left(f^{*}\colon \operatorname {Sub} (Y)\to \operatorname {Sub} (X)\right)}
여기서
Sub
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}
는
X
{\displaystyle X}
의 부분 대상 들의 부분 순서 집합 이며,
f
∗
{\displaystyle f^{*}}
은 단사 사상 의 당김 이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 부분 대상 올범주
Sub
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})}
라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
Sub
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})}
의 대상
(
X
,
x
)
{\displaystyle (X,x)}
은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 대상
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
와 그 부분 대상
x
∈
Sub
(
X
)
{\displaystyle x\in \operatorname {Sub} (X)}
의 순서쌍 이다.
Sub
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} ({\mathcal {C}})}
의 사상
f
:
(
X
,
x
)
→
(
X
′
,
x
′
)
{\displaystyle f\colon (X,x)\to (X',x')}
은
x
≤
f
∗
(
x
′
)
{\displaystyle x\leq f^{*}(x')}
을 만족시키는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
-사상
f
:
X
→
X
′
{\displaystyle f\colon X\to X'}
이다.
이는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 올범주를 이루며,
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
위의 올은
Sub
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}
이다.
모든 위상 함자 는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.
올다발 의 범주
Bun
{\displaystyle \operatorname {Bun} }
을 생각하자. 그 대상은 올다발
π
:
E
↠
B
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B}
이며, 그 사상은 다발 사상
E
→
f
E
′
π
↓
π
π
′
↓
π
′
B
→
g
B
′
{\displaystyle {\begin{matrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{matrix}}}
이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 함자
codom
:
Bun
→
Top
{\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Bun} \to \operatorname {Top} }
codom
:
(
E
→
π
B
)
↦
B
{\displaystyle \operatorname {codom} \colon (E\,{\xrightarrow {\pi }}\,B)\mapsto B}
codom
:
(
E
→
f
E
′
π
↓
π
π
′
↓
π
′
B
→
g
B
′
)
↦
g
{\displaystyle \operatorname {codom} \colon \left({\begin{smallmatrix}E&{\overset {f}{\to }}&E'\\{\scriptstyle \!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!}&&{\scriptstyle \!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi '\!\!}\\B&{\underset {g}{\to }}&B'\end{smallmatrix}}\right)\mapsto g}
는 올범주이다. 위상 공간
B
{\displaystyle B}
위의 올은
B
{\displaystyle B}
위의 올다발과, 밑공간에 대하여 항등 함수 인 올다발 사상의 범주
Bun
B
{\displaystyle \operatorname {Bun} _{B}}
이다.
이 함자의 쪼갬은 사상
g
:
B
→
B
′
{\displaystyle g\colon B\to B'}
에 대하여 올다발의 당김 함자
g
∗
:
Bun
B
′
→
Bun
B
{\displaystyle g^{*}\colon \operatorname {Bun} _{B'}\to \operatorname {Bun} _{B}}
를 고르는 것에 대응한다.
마찬가지로, 벡터 다발 의 범주
Vect
{\displaystyle \operatorname {Vect} }
역시 위상 공간의 범주 위의 올범주
codom
:
Vect
→
Top
{\displaystyle \operatorname {codom} \colon \operatorname {Vect} \to \operatorname {Top} }
를 이룬다.
모든 위상 공간의 범주 대신, 한 위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 열린집합 들의 범주
Open
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Open} (X)}
를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로
X
{\displaystyle X}
의 열린집합 에 정의된 올다발 또는 벡터 다발 의 범주의 망각 함자
Bun
Open
(
X
)
→
Open
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Bun} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)}
Vect
Open
(
X
)
→
Open
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Vect} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)}
역시 올범주를 이룬다.
(이 함자에서, 밑범주를 위상 공간의 범주 또는 주어진 위상 공간의 열린집합 의 범주 대신 다양체 의 범주로 잡으면, 이는 더 이상 올범주가 아니다. 이는 다양체 의 범주에서는 올곱 이 존재하지 않기 때문이다.)
범주
Sh
{\displaystyle \operatorname {Sh} }
가 다음과 같다고 하자.
그 대상은 순서쌍
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}
이다. 여기서
X
{\displaystyle X}
는 위상 공간 이며
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
는 그 위의 (집합 값의) 층 이다.
그 사상
(
f
,
ϕ
)
:
(
X
,
F
)
→
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (f,\phi )\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}
은 연속 함수
X
→
Y
{\displaystyle X\to Y}
와 층 사상
F
→
f
∗
G
{\displaystyle {\mathcal {F}}\to f^{*}{\mathcal {G}}}
로 주어진다. 만약 층을 에탈레 공간 으로 생각할 경우, 이는 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
F
→
f
G
π
F
↓
π
π
′
↓
π
G
X
→
f
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {F}}&{\overset {f}{\to }}&{\mathcal {G}}\\{\scriptstyle \!\!\!\!\pi _{\mathcal {F}}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}\pi \!\!\!\!}&&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\pi '}\downarrow {\scriptstyle \pi _{\mathcal {G}}\!\!\!\!}\\X&{\underset {f}{\to }}&Y\end{matrix}}}
즉, 에탈레 공간 구성에 따라서
Sh
{\displaystyle \operatorname {Sh} }
는 화살표 범주
Top
→
{\displaystyle \operatorname {Top} ^{\to }}
의 부분 범주 로 여길 수 있다.
그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간
X
{\displaystyle X}
위의 올은
X
{\displaystyle X}
위의 층들의 범주
Sh
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}
이다.
마찬가지로, 임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
에 대하여, 그 열린집합 의 범주
Open
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Open} (X)}
및 열린집합 에 정의된 층의 범주
Sh
Open
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sh} _{\operatorname {Open} (X)}}
를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자
Sh
Open
(
X
)
→
Open
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sh} _{\operatorname {Open} (X)}\to \operatorname {Open} (X)}
역시 올범주이다.
위 정의에서, 집합 값의 층 대신 군 이나 아벨 군 이나 환 이나 가환환 (또는 일반적으로 대수 구조 다양체 ) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다.