포화 집합
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일반위상수학에서, 포화 집합(영어: saturated set)은 (임의의 수의) 열린집합들의 교집합인 부분 집합이다.
정의
편집위상 공간 의 부분 집합 의 포화화(영어: saturation) 는 의 모든 근방들의 교집합이다.
여기서 는 의 근방 필터이다. 이 정의에서 는 의 임의의 국소 기저로 대체할 수 있다.
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 포화 집합이라고 한다.
- (열린집합들의 교집합) 인 열린집합들의 집합 가 존재한다.
- (스스로의 포화화와 일치)
위상 공간 의 부분 집합 가 다음 조건을 만족시키면, 재귀 집합(영어: recurrent set)이라고 한다.
- (모든 포화 집합과 겹침) 인 포화 집합 은 공집합밖에 없다.
성질
편집함의 관계
편집정의에 따라, 모든 Gδ 집합은 자명하게 포화 집합이다. 모든 재귀 집합은 자명하게 조밀 집합이다.
콤팩트 공간과의 관계
편집위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
차분한 공간에서, 콤팩트 포화 집합들의 하향 집합의 교집합은 콤팩트 포화 집합이다.[1]:381, Theorem 2.28
베르 공간과의 관계
편집예
편집임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:380
초른 보조정리에 따라, 닫힌 원순서 집합 위에 스콧 위상을 주었을 때, 극대 원소들의 집합 은 재귀 집합을 이룬다.[1]:397, Proposition 5.6
참고 문헌
편집외부 링크
편집- “Saturated set”. 《nLab》 (영어).