사용자:Eric4266/작업장

• 사용자 문서
• 연습장

디리클레 베타 함수

디리클레 베타 함수

수학에서 디리클레 베타 함수(Dirichlet beta function) 혹은 카탈랑 베타 함수(Catalan beta function)는 리만 제타 함수와 밀접한 관련이 있는 특수 함수이다. 디리클레 L-함수의 특수한 경우이다.

정의

디리클레 베타 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}$

혹은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx$

특별한 값

$\beta (0)={\frac {1}{2}}$

$\beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}}$

$\beta (2)\;=\;G,$ 여기서 $G$는 카탈랑 상수를 의미한다.

$\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$

$\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}$

0 이상의 정수 k에 대하여 $\beta (-k)={{E_{k}} \over {2}},$ 여기서 ${E_{n}}$는 오일러 수를 의미한다.

오일러 수 ${E_{n}}$은 n이 홀수일 때 0이므로 k가 홀수일 때 $\beta (-k)=0$임을 알 수 있다.

표

s	β(s)	OEIS
1/5	0.5737108471859466493572665
1/4	0.5907230564424947318659591
1/3	0.6178550888488520660725389
1/2	0.6676914571896091766586909	A195103
1	0.7853981633974483096156608	A003881
2	0.9159655941772190150546035	A006752
3	0.9689461462593693804836348	A153071
4	0.9889445517411053361084226	A175572
5	0.9961578280770880640063194	A175571
6	0.9986852222184381354416008	A175570
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

카탈랑 상수

카탈랑 상수는 외젠 샤를 카탈랑에 의해 정의된 상수로 조합론에서 쓰인다.

정의

카탈랑 상수는 다음과 같이 정의된다.

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!$

여기서 β 는 디리클레 베타 함수를 의미한다.

카탈랑 상수의 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A006752)

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 천 억 자리까지 계산되었으나 이 수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

표현

카탈랑 상수는 적분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!$

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!$

$G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt\!$

$G={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt\!$

$G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!$

$G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!$

$G=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!$

델토이드 곡선

델토이드를 그리는 과정

기하학에서, 델토이드(deltoid)는 반지름의 길이가 $r$인 원의 안에서 원주를 따라 반지름의 길이가 $r/3$인 원이 구를 때, 작은 원의 원주 위에 있는 한 정점이 그리는 곡선으로, 세 개의 뾰족점을 갖는 하이포사이클로이드이다.

방정식

델토이드 곡선은 매개변수 방정식으로 다음과 같이 나타내어진다.

$x=2a\cos(t)+a\cos(2t)\,$

$y=2a\sin(t)-a\sin(2t)\,$

여기서 a는 굴리는 원의 반지름이다.

넓이와 둘레

델토이드 곡선 내부의 넓이는 $2\pi a^{2}$이며, 둘레는 16a이다.

같이 보기

• 아스트로이드
• 사이클로이드
• 뢸로 삼각형
• 초타원